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Grundwissen

Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

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Um Rechenaufgaben zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung bearbeiten zu können, benötigt man - wie bei allen anderen physikalischen Themen auch - die berüchtigten "Formeln". Diese Formeln sind aber letzten Endes nur die in mathematischen Symbolen konzentrierten Erkenntnisse, die man durch Experimente und Überlegungen gewonnen hat, sogenannte Physikalische Gesetze. Wir wollen an dieser Stelle unsere Erkenntnisse zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Form von Formeln zusammenfassen.

Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Bewegt sich ein Körper gleichmäßig beschleunigt, dann gilt:

  • Die Beschleunigung \(a\) des Körpers ist während der gesamten Bewegung konstant: \(a = \rm{konstant}\). Man berechnet diese Beschleunigung \(a\), indem man für eine beliebige seit dem Start der Bewegung erreichte Geschwindigkeit \(v\) diese Geschwindigkeit durch die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit \(t\) dividiert: \(a = \frac{v}{t}\).
  • Ist \(a\) die Beschleunigung des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit und \(v\) die seit dem Start der Bewegung erreichte Geschwindigkeit, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen drei Größen das sogenannte Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung \[v = a \cdot t\]
  • Ist \(a\) die Beschleunigung des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit und \(s\) die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen drei Größen das sogenannte Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung \[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}\]

Hinweis: Diese Zusammenhänge gelten nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0\rm{s}\) beginnt, der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Strecke zurückgelegt und noch keine Geschwindigkeit hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu lösen musst du häufig die Gleichungen \(v = a \cdot t\) und \(s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden Animationen.

Die Gleichung\[\color{Red}{v} = {a} \cdot {t}\]ist bereits nach \(\color{Red}{v}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{v} = \color{Red}{a} \cdot {t}\]nach \(\color{Red}{a}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{a} \cdot {t} = {v}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({t}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({t}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{a} \cdot {t}}{{t}} = \frac{{v}}{{t}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({t}\).\[\color{Red}{a} = \frac{{v}}{{t}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{a}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{v} = {a} \cdot \color{Red}{t}\]nach \(\color{Red}{t}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{a} \cdot \color{Red}{t} = {v}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({a}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({a}\) im Nenner steht.
\[\frac{{a} \cdot \color{Red}{t}}{{a}} = \frac{{v}}{{a}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({a}\).\[\color{Red}{t} = \frac{{v}}{{a}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{t}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen des Zeit-Geschwindigkeit-Gesetzes der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach den drei in der Formel auftretenden Größen
Die Gleichung\[\color{Red}{s} = {\frac{1}{2}} \cdot {a} \cdot {t}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{s}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{s} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{a} \cdot {t}^2\]nach \(\color{Red}{a}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{a} \cdot {t}^2 = {s}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {t}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {t}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{a} \cdot {t}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {t}^2} = \frac{{s}}{{\frac{1}{2}} \cdot {t}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {t}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{a} = \frac{{s}}{{\frac{1}{2}} \cdot {t}^2} = \frac{2 \cdot s}{{t}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{a}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{s} = {\frac{1}{2}} \cdot {a} \cdot \color{Red}{t}^2\]nach \(\color{Red}{t}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {a} \cdot \color{Red}{t}^2 = {s}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {a}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {a}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {a} \cdot \color{Red}{t}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {a}} = \frac{{s}}{{\frac{1}{2}} \cdot {a}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {a}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{t}^2 = \frac{{s}}{{\frac{1}{2} \cdot {a}}} = \frac{2 \cdot s}{{a}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{t} = \sqrt{\frac{2 \cdot {s}}{{a}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{t}\) aufgelöst.
Abb. 2 Schrittweises Auflösen des Zeit-Weg-Gesetzes der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach den drei in der Formel auftretenden Größen
Aufgabe

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt und erreicht in der Zeit \(12,0{\rm{s}}\) eine Geschwindigkeit von \(72,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Berechne die Beschleunigung \(a\) des Körpers.

Lösung

\[a = \frac{v}{t} \Rightarrow a = \frac{{72,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{12,0{\rm{s}}}} = 6,00\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \(15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\). Berechne die Geschwindigkeit \(v\), die der Körper nach der Zeit \(6,0{\rm{s}}\) erreicht hat.

Lösung

\[v = a \cdot t \Rightarrow v = 15\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 6,0{\rm{s}} = 90\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \({\rm{5,0}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\). Berechne die Zeit \(t\), die der Körper bis zum Erreichen der Geschwindigkeit \(45\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) benötigt.

Lösung

\[v = a \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{v}{a} \Rightarrow t = \frac{{45\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{5,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = \frac{{45}}{{5,0}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \frac{{{{\rm{s}}^2}}}{{\rm{m}}} = 9,0{\rm{s}}\]

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \(15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\). Berechne die Strecke \(s\), die der Körper nach der Zeit \(6,0{\rm{s}}\) zurückgelegt hat.

Lösung

\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Rightarrow s = \frac{1}{2} \cdot 15\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {6,0{\rm{s}}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot 15\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 36{{\rm{s}}^2} = 270{\rm{m}}\]

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \({\rm{5,0}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\). Berechne die Zeit \(t\), die der Körper zum Zurücklegen der Strecke \(160\rm{m}\) benötigt.

Lösung

\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{a}} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 160{\rm{m}}}}{{5,00\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 160{\rm{m}}}}{{5,00}} \cdot \frac{{{{\rm{s}}^2}}}{{\rm{m}}}} = \sqrt {{\rm{64}}{\rm{,0}}{{\rm{s}}^2}} = 8,0{\rm{s}}\]