Allgemeines und Hilfsmittel

Neben der gleichförmigen Bewegung (v = const. a = 0), bei der die auf einen Körper wirkende resultierende Kraft Null ist, können Sie inzwischen auch Bewegungen behandeln, bei denen die wirkende Kraft konstant ist (a = const.). Die daraus resultierenden Bewegungsgleichungen wurden bereits in der 9. Jahrgangsstufe behandelt.

Bei realen Bewegungen ist es jedoch eher die Ausnahme, dass die Beschleunigung Null oder einen konstanter Wert hat. Um solche Bewegungen in den Griff zu bekommen, müsste man als mathematisches Hilfsmittel das Integrieren beherrschen, welches Sie erst in der Oberstufe zur Verfügung haben werden. Mit der Methode der kleinen Schritte, die man besonders bequem mit einem Computer anwenden kann lassen sich aber auch mit beschränktem mathematischen Aufwand komplexere Bewegungstypen behandeln.

Im Folgenden wird zunächst das Prinzip dieser Methode erläutert. Dann testen wir diese Methode an dem uns bereits bekannten Beispiel der konstant beschleunigten Bewegung (vertrauensbildende Maßnahme). Schließlich sind Sie dann in der Lage, diese Methode auf schwierigere Bewegungen (z.B. freier Fall mit Luftreibung) anzuwenden.

Prinzip

Bei sehr vielen Bewegungsabläufen ist die resultierende Kraft, die auf einen Körper einwirkt, zeitlich nicht konstant. Denken Sie z.B. an das Anfahren eines Autos. Wie man für eine solchen Bewegungsvorgang z.B. den in der Beschleunigungsphase zurückgelegten Weg ermitteln kann soll hier prinzipiell erläutert werden.

Näherungsweise Berechnung der Geschwindigkeit am Ende des Intervalls

Wie die Animation in Abb. 1 nahe legt, kann man bei genügend kleinem betrachteten Zeitintervall \(\Delta t\) näherungsweise von einer konstanten Beschleunigung \(a\) ausgehen. Ist die Geschwindigkeit des Körpers zu Beginn des betrachteten Zeitintervalls \(v(t)\), so kann man aus der Beziehung\[ a = \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t} \]die Geschwindigkeit \(v(t + \Delta t)\) am Ende des betrachteten Zeitintervalls bestimmen:\[ v(t + \Delta t) = v(t) + a \cdot \Delta t \quad (1) \]

Näherungsweise Berechnung des Ortes am Ende des Intervalls

Ist der Körper zu Beginn des Zeitintervalls am Ort \(x(t)\), so kann man mit Hilfe der mittleren Geschwindigkeit \( \overline{v} \) den Ort \(x(t + \Delta t)\) am Ende des Zeitintervalls näherungsweise berechnen:\[ \overline{v} = \frac{x(t + \Delta t) - x(t) }{\Delta t} \Rightarrow x(t + \Delta t) = x(t) + \overline{v} \cdot \Delta t \quad (2) \]Bei einer konstant beschleunigten Bewegung (die wir im Zeitintervall \(\Delta t\) näherungsweise annehmen) liegt ein lineares Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz vor. In diesem Fall ist die mittlere Geschwindigkeit \( \overline{v} \) im Intervall gleich der Momentangeschwindigkeit in der Intervallmitte:\[ \overline{v} = v \left( t + \frac{\Delta t}{2} \right) = v(t) + a \cdot \frac{\Delta t}{2} \]Die mittlere Geschwindigkeit im neuen Zeitintervall kann aus der mittleren Geschwindigkeit des vorangegangenen (alten) Zeitintervalls durch die folgende Beziehung bestimmt werden:\[ \overline{v}_{neu} = \overline{v}_{alt} + a \cdot \Delta t \]

Methode der kleinen Schritte am Beispiel der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Einführung

Für eine konstant beschleunigte, geradlinige Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsort haben wir nach einer Reihe nicht ganz einfacher Überlegungen die Beziehung\[ x(t) = x_0 + v_{0,x} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \]als Lösung erarbeitet. Als Graphen ergaben sich im t-x-Diagramm eine Parabel und im t-v-Diagramm eine Gerade.

Steht ein Rechner zur Verfügung, so kann man mit sehr einfachen Überlegungen schrittweise den t-x-Graphen ermitteln. Man nennt diese Vorgehensweise die Methode der kleinen Schritte. Diese Methode hat den Vorteil, dass man sie auch auf kompliziertere Bewegungsvorgänge anwenden kann, für die wir in der 10. Klasse sonst keine Lösung finden würden. Die Grundidee dieses Verfahrens wurde oben erläutert.

Zunächst soll das Beispiel einer Bewegung bei der eine konstante resultierende Kraft \(F_{res}\) auf einen Körper mit konstanter Masse einwirkt behandelt werden. Für dieses Problem bräuchten wir die Methode der kleinen Schritte eigentlich nicht, da wir die Lösung mit den Bewegungsgleichungen für die konstant beschleunigte Bewegung finden können. Wir wollen aber - sozusagen als vertrauensbildende Maßnahme - zeigen, dass die Methode der kleinen Schritte eine gute Näherungslösung des Problems - dessen Lösung wir schon kennen - erbringt.

Bestimmung der Beschleunigung \(a\):\[ F_{res} = m \cdot a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{F_{res}}{m} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{100}{20} \mathrm{\frac{N}{kg}} = 5,0 \mathrm{\frac{m}{s^2}} \]

Bestimmung von Geschwindigkeit und Ort mit Hilfe der Bewegungsgleichungen

Bestimmung von Geschwindigkeit und Ort mit Hilfe der Methode der kleinen Schritte

Der Rechenaufwand für die Tabellenerstellung ist relativ groß. Allerdings sind stets die gleichen Rechenschritte durchzuführen. Dies ist ein ideales Einsatzfeld für einen Computer. Im nächsten Abschnitt zeigen wir dir, wie dies mit einer Tabellenkalkulation nach kurzer Einarbeitungszeit gemacht wird.

Einsatz einer Tabellenkalkulation

Hinweis: Für das Verständnis der folgenden Seite wäre es sehr günstig, wenn Sie gewisse Vorkenntnisse auf dem Informatik-Unterricht oder aus dem Studium eines Handbuchs über Tabellenkalkulationsprogramme besitzen würden.

Die folgenden Erläuterungen beziehen sich auf das Programm Excel von Microsoft.

• Dokumentation der Anfangsbedingungen
  In einem ersten Schritt erhält das Excel-Dokument eine Überschrift. In der gelb unterlegten Tabelle sind die Anfangswerte der konstant beschleunigten Bewegung zusammengestellt. Dabei ist es recht günstig, wenn man diesen Anfangswerten eine Variable zuweist. Bei Veränderung der Anfangsbedingungen braucht man dann nicht direkt in das später folgende Rechenblatt eingreifen.

So wird dem Anfangsort x₀ = 2,0 m die Variable x, der Anfangsgeschwindigkeit die Variable v und dem Zeitschritt Δt die Variable Dt zugeordnet. Der Variablenname wird in das Namensfeld (links oben) eingetragen.

• Anlage des Rechenblatts
  Im Rechenblatt sollen die Zeit t, die Geschwindigkeit v(t + Δt) am Ende eines Intervalls, die Geschwindigkeit v(t + Δt/2) in der Mitte des betrachteten Intervalls, und der Ort am Ende des Intervalls dargestellt werden. In die Kopfzeilen des Rechenblatts sind zur Erinnerung jeweils noch die Rechenvorschriften, welche auf der "Prinzip-Seite" erläutert wurden, eingetragen.
  • Da wir zur Zeit t = 0,00 s starten, tragen wir in die Zelle D11 0,00 ein.
  • In die Zelle E11 tragen wir den Wert 5,0 für die Beschleunigung a ein. Wir gehen mit dem Cursor auf die Zelle E11 und tragen in das Eingabefeld "=a" (anschließend Return-Taste drücken) ein. Damit erscheint in E11 die Zahl 5,0. Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, dass für ein anderes Beispiel mit anderer Beschleunigung nicht das Rechenblatt (lila Kopfzeile) umgeschrieben werden muss, sondern nur das gelbe Feld mit dem Anfangswert für a. Analog verfahren wir mit der Zelle F11 für die Anfangsgeschwindigkeit (=v und Return-Taste). Dem Anfangsort wird über "=x"und Return-Taste in die Zelle H11 der Wert 2,0 zugewiesen.
  • Nun geht es an die Berechnung der Geschwindigkeit in der Mitte des ersten Intervalls (Zelle G11). Dazu klicken wir die Zelle G11 an und tragen in das Eingabefeld: "=F11+a*Dt/2" und Return-Taste.

• • Entwicklung der Folgezeilen im Rechenblatt
    • D12: Inhalt von D11 vermehrt um Δt; Eintrag in das Eingabefeld: "D11+Dt"
    • F12: Inhalt von F11 vermehrt um a·Δt; Eintrag in das Eingabefeld: "F11+a*Dt"
    • G12: Inhalt von G11 vermehrt um a·Δt; Eintrag in das Eingabefeld: "G11+a*Dt"
    • H12: Inhalt von H11 vermehrt um das Produkt aus dem Inhalt von G11(Geschwindigkeit in Intervallmitte) mal Δt; Eintrag in das Eingabefeld: "H11+G11*Dt"

• • Kopiervorgang für die Folgezeilen
    Es wäre nun recht mühsam sämtliche Zellen per Hand mit den richtigen Einträgen zu versehen. Wesentlich schneller geht dies jedoch mit dem allen Tabellenkalkulations-Programmen eigenen Kopiervorgang:
    Klickt man z.B. die Zelle D12 an, so legt sich ein dickes Rechteck um diese Zelle. Fasst man nun mit der gedrückten Maustaste den rechten unteren Rand des Rechtecks an und zieht diesen nach unten, so werden in die darunter liegenden Zellen die richtigen Bezüge geschrieben. So steht dann z.B. in Zelle D13: "D12+Dt"
    Entsprechende Kopiervorgänge werden auf die Zellen E11, F12, G11 und H12 angewandt und fertig ist das Rechenblatt.
     
• Darstellung der Größen in einem Diagramm
  Man wählt in der Menü-Zeile den Button Diagramm (vgl. auch oberes Bild) aus. Dann erscheint das folgende Fenster:
   

In diesem Fenster wählt man die Diagrammart "Punkt (XY)". Nach einigen Formatierungsoperationen gelangt man dann zu einem Diagramm wie es unten dargestellt ist (hier wurde nur das t-x-Diagramm ausgewählt).

• Eingabe anderer Anfangswerte
  Will man die Ergebnisse für andere Anfangsbedingungen sehen, so braucht man nun nur noch die Zahlen in den gelben Feldern (Anfangswerte) entsprechend abändern. Ganz automatisch wird dann das Rechenblatt und die Graphik angepasst.

Hinweise

• Wenn Excel oder ein vergleichbares Tabellenkalkulationsprogramm auf ihrem Rechner installiert ist, können Sie die oben angesprochene Kalkulation direkt mithilfe dieser Excel-Datei ausprobieren.
• Der Vorteil der Methode der kleinen Schritte kommt erst richtig zum Tragen, wenn ein komplizierteres Kraftgesetz vorliegt (z.B. beim Freien Fall mit Luftreibung) oder wenn sich die Masse des beschleunigten Körpers während des Bewegungsvorgangs ändert (z.B. beim Start einer Rakete).
• Bei der oben diskutierten Bewegung mit konstanter Beschleunigung war selbst bei relativ großen Zeitschritten eine vollständige Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen, welche durch Lösung der Bewegungsgleichung bzw. durch die Methode der kleinen Schritte erzielt wurden, festzustellen. Dies ist bei komplizierteren Problemen in der Regel nicht der Fall. Hier kommt die für uns mögliche Lösung mit der Kleinschritt-Methode einer geschlossenen Lösung (die entweder uns mathematisch hier noch nicht oder aber auch oft prinzipiell gar nicht möglich ist) nur dann sehr nahe, wenn die Zeitschritte sehr klein gewählt werden, was natürlich den Rechenaufwand deutlich erhöht. Im Zeitalter der schnellen Computer ist das aber kein Problem mehr.