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Aufgabe

Gleitschlitten mit Reibung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

 

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Aufbau eines Gleitschlittens. Zwischen Gleitschlitten und Unterlage wirken Reibungskräfte

Abb. 1 zeigt den Aufbau eines Gleitschlittens. Zwei Körper mit den Massen \(m_1=12\,\rm{kg}\) und \(m_2=48\,\rm{kg}\) sind mit einem dünnen Seil verbunden, das über eine leicht drehbare Rolle gelegt ist. Zwischen dem Körper der Masse \(m_1\) und seiner Unterlage sollen Reibungskräfte mit \({\mu _{{\rm{HR}}}} = 0{,}4\) und \({\mu _{{\rm{GR}}}} = 0{,}2\) wirken.

Lässt man die Anordnung los, so setzen sich die beiden Körper in Bewegung, bis der rechte Körper die Strecke \(s=2{,}0\,\rm{m}\) durchlaufen hat und auf dem Boden auftrifft.

Hinweis: Löse die folgenden Aufgaben zuerst allgemein und setze erst am Ende die konkreten Zahlenwerte ein. Vernachlässige alle weiteren Reibungskräfte. Setze \(g = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

a)Weise rechnerisch nach, dass sich die Anordnung nach dem Loslassen in Bewegung setzt.

b)Berechne die Beschleunigung \(a\), mit der sich die beiden Körper in Bewegung setzen.

c)Berechne die Zeit \(t\), die der rechte Körper bis zum Auftreffen auf den Boden benötigt.

d)Berechne die Geschwindigkeit \(v\) des rechten Körpers beim Auftreffen auf den Boden.

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Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Lösung

a)Die maximale Haftreibungkraft \({{\vec F}_{{\rm{HR,max}}}}\) zwischen dem linken Körper mit der Masse \(m_1\) und seiner Unterlage hat den Betrag\[{F_{{\rm{HR,max}}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {F_{\rm{N}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {F_{{\rm{G,1}}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {m_1} \cdot g \Rightarrow {F_{{\rm{HR,max}}}} = 0{,}4 \cdot 12\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 48\,{\rm{N}}\]Da dieser Wert kleiner als der Betrag \({F_{{\rm{G,2}}}} = {m_2} \cdot g \Rightarrow {F_{{\rm{G,2}}}} = 48\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 480\,{\rm{N}}\) der Gewichtskraft des rechten Körpers mit der Masse \(m_2\) ist, wird sich die Anordnung in Bewegung setzen.

b)Wir führen zuerst ein vertikales, nach unten gerichtetes Koordinatensystem zur Orientierung der Kräfte, Beschleunigungen und Geschwindigkeiten ein.

Dann wirken auf den rechten Körper mit der Masse \(m_2\) zum einen seine eigene Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,2}}}}\) mit \({F_{{\rm{G,2}}}} = {m_2} \cdot g\). Zum anderen wirkt - nachdem sich die Anordnung in Bewegung gesetzt hat - auf den Körper die über das Seil umgelenkte Gleitreibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{GR,1}}}}\) mit\[{F_{{\rm{GR,1}}}} = -{\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {F_{\rm{N}}} = -{\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {F_{{\rm{G,1}}}} = -{\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {m_1} \cdot g\]Für die resultierende Kraft \({{\vec F}_{{\rm{res}}}} = {{\vec F}_{{\rm{G,2}}}} + {{\vec F}_{{\rm{GR,1}}}}\) ergibt sich dann\[{F_{{\rm{res}}}} = {m_2} \cdot g - {\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {m_1} \cdot g = \left( {{m_2} - {\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {m_1}} \right) \cdot g\]Durch diese Kraft wird die Gesamtmasse\[{m_{{\rm{ges}}}} = {m_2} + {m_1}\]beschleunigt. Damit ergibt sich nach der Grundgleichung der Mechanik\[a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{{{m_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow a = \frac{{\left( {{m_2} - {\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {m_1}} \right) \cdot g}}{{{m_2} + {m_1}}} = \frac{{{m_2} - {\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {m_1}}}{{{m_2} + {m_1}}} \cdot g\]Einsetzen der gebenen Werte liefert\[a = \frac{{48\,{\rm{kg}} - 0{,}20 \cdot 12\,{\rm{kg}}}}{{48\,{\rm{kg}} + 12\,{\rm{kg}}}} \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 7{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]  

c)Da es sich hier um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, erhalten wir aus\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{a}} \]nach Einsetzen der gegebenen und bisher berechneten Werte\[t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 2{,}0\,{\rm{m}}}}{{7{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 0{,}73\,\rm{s}\]

d)Ebenfalls aufgrund der gleichmäßig beschleunigten Bewegung erhalten wir aus\[v = a \cdot t\]nach Einsetzen der gegebenen und bisher berechneten Werte\[v = 7{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0{,}73\,\rm{s} = 5{,}5\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kraft und Bewegungsänderung