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Aufgabe

Ballast bei Ballonfahrt

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Gasballon

Ein Gasballon sei kugelförmig und habe einen Radius von \(r=6{,}50\,\rm{m}\). Die ihn umgebende Luft habe die konstante Dichte von \(\rho  = 1{,}28\, \frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\). Neben den Passagieren führt ein Ballon auch noch Ballast, dessen Volumen vernachlässigt werden kann, mit. Der Ballast kann abgeworfen werden wenn der Ballon höher steigen soll.

Berechne, wie viel Ballast (Angabe in \(\rm{kg}\)) abgeworfen werden muss, damit der Ballon in \(\Delta t=15{,}0\,\rm{s}\) um \(50\,\rm{m}\) steigt.

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Im Folgenden werden ihnen zwei Lösungsmöglichkeiten gezeigt, wobei die erste deutlich kürzer ist.

1. Lösungsmöglichkeit: Die resultierende Kraft, die den Ballon beschleunigt, ist gleich der Gewichtskraft des abgeworfenen Ballasts:\[ F_{Res} = F_a - F_g' = F_g - F_g' = \Delta m \cdot g \]Diese resultierende Kraft erteilt dem Restkörper mit der Masse m - Δm die Beschleunigung a:\[ \Delta m \cdot g = \left( m - \Delta m \right) \cdot a \quad \Rightarrow \quad \Delta m \cdot g = m \cdot a - \Delta m \cdot a \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{m \cdot a}{g + a} \qquad \rm{(1')} \]Die Berechnung von a erfolgt wie bei der 1. Lösungsmöglichkeit:\[ a = \frac{2 \cdot h}{t^2} \qquad \rm{(2')} \]Die Masse m wird aus dem Gesetz von Archimedes gewonnen, das bereits durch g dividiert ist:\[ m = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \cdot \rho_{Lu} \qquad \rm{(3')} \]Setzt man (3') und (2') in (1'), so erhält man für Δm\[ \Delta m = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \cdot \rho_{Lu} \cdot \frac{2 \cdot h}{t^2 \cdot \left( g + \frac{2 \cdot h}{t^2} \right) } = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \cdot \rho_{Lu} \cdot \frac{2 \cdot h}{t^2 \cdot g + 2 \cdot h} \]Die Ausrechnung ergibt für Δm dann auch die 64 kg.

2. Lösungsmöglichkeit: Im Gleichgewichtsfall ist die Auftriebskraft \( F_a \), die der Ballon erfährt gleich der Gewichtskraft \( F_g \) des Ballons samt Passagieren und Ballast.\[ F_a = F_g \qquad \rm{(0)} \]Nach dem Gesetz des Archimedes ist die Auftriebskraft gleich dem Gewicht der verdrängten Gasmenge:\[ \rho_{lu} \cdot g \cdot V_{ba} = F_g \quad \Rightarrow \quad \rho_{lu} \cdot g \cdot \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi = F_g \qquad \rm{(1)} \]Um beschleunigt nach oben zu schweben muss Ballast abgeworfen werden. Die Gewichtskraft des Ballons samt Passagieren und Ballast sei nun nur noch \( F_g' \). Für die resultierende, beschleunigende Kraft \( F_{res} \) und für die neue Gewichtskraft \( F_g' \) gilt dann\[ \begin{array}{} F_{res} = F_a - F_g' \quad \text{mit Newton II: } \quad m \cdot a = F_a - F_g' \quad \Rightarrow \quad \frac{F_g'}{g} \cdot a = F_a - F_g' \\ \\ F_g' \cdot \left( 1 + \frac{a}{g} \right) = F_a \quad \Rightarrow \quad F_g' = \frac{F_a}{ \left( 1 + \frac{a}{g} \right) } \qquad \rm{(2)} \end{array} \]Für die Gewichtskraft des abzuwerfenden Ballasts gilt dann\[ \begin{array}{} \Delta F_g = F_g - F_g' \quad \text{mit (0) und (2): } \quad \Delta F_g = F_a - \frac{F_g}{ \left( 1 + \frac{a}{g} \right) } \quad \Rightarrow \quad \Delta F_g = F_a \left( 1 - \frac{1}{ \left( 1 + \frac{a}{g} \right) } \right) \\ \\ \text{mit (1): } \quad \Delta F_g = \rho_{lu} \cdot g \cdot \frac{4}{3} r^3 \cdot \pi \cdot \left( 1 - \frac{1}{ \left( 1 + \frac{a}{g} \right) } \right) \qquad \rm{(3)} \end{array} \]In der Beziehung (3) sind - außer der Beschleunigung a - alle Größen bekannt. Aus der Steighöhe und der Steigzeit kann schließlich noch a bestimmt werden:\[ h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2 \cdot h}{t^2} \qquad \rm{(4)} \]Setzt man (4) in (3) ein, so erhält man\[ \begin{array}{} \Delta F_g = \rho_{lu} \cdot g \cdot \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \cdot \left( 1 - \frac{1}{ \left( 1 + \frac{2 \cdot h}{g \cdot t^2} \right) } \right) \quad \Rightarrow \quad \Delta F_g = 1,28 \cdot 9,81 \cdot \frac{4}{3} \cdot 6,50^3 \cdot \pi \cdot \left( 1 - \frac{1}{ \left( 1 + \frac{2 \cdot 50}{9,81 \cdot 15^2} \right) } \right) \rm{N} \\ \\ \Delta F_g = 6,3 \cdot 10^2 \rm{N} \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{\Delta F_g}{g} \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{6,3 \cdot 10^2}{9,81} \rm{kg} \approx 64 \rm{kg} \end{array} \]Man muss ca. 64 kg Ballast abwerfen, um die gewünschte Beschleunigung zu erhalten.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kraft und Bewegungsänderung