Im Folgenden werden ihnen zwei Lösungsmöglichkeiten gezeigt, wobei die erste deutlich kürzer ist.
1. Lösungsmöglichkeit: Die resultierende Kraft, die den Ballon beschleunigt, ist gleich der Gewichtskraft des abgeworfenen Ballasts:\[ F_{Res} = F_a - F_g' = F_g - F_g' = \Delta m \cdot g \]Diese resultierende Kraft erteilt dem Restkörper mit der Masse m - Δm die Beschleunigung a:\[ \Delta m \cdot g = \left( m - \Delta m \right) \cdot a \quad \Rightarrow \quad \Delta m \cdot g = m \cdot a - \Delta m \cdot a \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{m \cdot a}{g + a} \qquad \rm{(1')} \]Die Berechnung von a erfolgt wie bei der 1. Lösungsmöglichkeit:\[ a = \frac{2 \cdot h}{t^2} \qquad \rm{(2')} \]Die Masse m wird aus dem Gesetz von Archimedes gewonnen, das bereits durch g dividiert ist:\[ m = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \cdot \rho_{Lu} \qquad \rm{(3')} \]Setzt man (3') und (2') in (1'), so erhält man für Δm\[ \Delta m = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \cdot \rho_{Lu} \cdot \frac{2 \cdot h}{t^2 \cdot \left( g + \frac{2 \cdot h}{t^2} \right) } = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \cdot \rho_{Lu} \cdot \frac{2 \cdot h}{t^2 \cdot g + 2 \cdot h} \]Die Ausrechnung ergibt für Δm dann auch die 64 kg.
2. Lösungsmöglichkeit: Im Gleichgewichtsfall ist die Auftriebskraft \( F_a \), die der Ballon erfährt gleich der Gewichtskraft \( F_g \) des Ballons samt Passagieren und Ballast.\[ F_a = F_g \qquad \rm{(0)} \]Nach dem Gesetz des Archimedes ist die Auftriebskraft gleich dem Gewicht der verdrängten Gasmenge:\[ \rho_{lu} \cdot g \cdot V_{ba} = F_g \quad \Rightarrow \quad \rho_{lu} \cdot g \cdot \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi = F_g \qquad \rm{(1)} \]Um beschleunigt nach oben zu schweben muss Ballast abgeworfen werden. Die Gewichtskraft des Ballons samt Passagieren und Ballast sei nun nur noch \( F_g' \). Für die resultierende, beschleunigende Kraft \( F_{res} \) und für die neue Gewichtskraft \( F_g' \) gilt dann\[ \begin{array}{} F_{res} = F_a - F_g' \quad \text{mit Newton II: } \quad m \cdot a = F_a - F_g' \quad \Rightarrow \quad \frac{F_g'}{g} \cdot a = F_a - F_g' \\ \\ F_g' \cdot \left( 1 + \frac{a}{g} \right) = F_a \quad \Rightarrow \quad F_g' = \frac{F_a}{ \left( 1 + \frac{a}{g} \right) } \qquad \rm{(2)} \end{array} \]Für die Gewichtskraft des abzuwerfenden Ballasts gilt dann\[ \begin{array}{} \Delta F_g = F_g - F_g' \quad \text{mit (0) und (2): } \quad \Delta F_g = F_a - \frac{F_g}{ \left( 1 + \frac{a}{g} \right) } \quad \Rightarrow \quad \Delta F_g = F_a \left( 1 - \frac{1}{ \left( 1 + \frac{a}{g} \right) } \right) \\ \\ \text{mit (1): } \quad \Delta F_g = \rho_{lu} \cdot g \cdot \frac{4}{3} r^3 \cdot \pi \cdot \left( 1 - \frac{1}{ \left( 1 + \frac{a}{g} \right) } \right) \qquad \rm{(3)} \end{array} \]In der Beziehung (3) sind - außer der Beschleunigung a - alle Größen bekannt. Aus der Steighöhe und der Steigzeit kann schließlich noch a bestimmt werden:\[ h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2 \cdot h}{t^2} \qquad \rm{(4)} \]Setzt man (4) in (3) ein, so erhält man\[ \begin{array}{} \Delta F_g = \rho_{lu} \cdot g \cdot \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \cdot \left( 1 - \frac{1}{ \left( 1 + \frac{2 \cdot h}{g \cdot t^2} \right) } \right) \quad \Rightarrow \quad \Delta F_g = 1,28 \cdot 9,81 \cdot \frac{4}{3} \cdot 6,50^3 \cdot \pi \cdot \left( 1 - \frac{1}{ \left( 1 + \frac{2 \cdot 50}{9,81 \cdot 15^2} \right) } \right) \rm{N} \\ \\ \Delta F_g = 6,3 \cdot 10^2 \rm{N} \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{\Delta F_g}{g} \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{6,3 \cdot 10^2}{9,81} \rm{kg} \approx 64 \rm{kg} \end{array} \]Man muss ca. 64 kg Ballast abwerfen, um die gewünschte Beschleunigung zu erhalten.