Abb. 1 zeigt den Aufbau der von dem englischen Physiker und Erfinder George ATWOOD (1745 - 1807) konstruierten ATWOODschen Fallmaschine. Zwei Körper mit den Massen \(m_1=12\,\rm{kg}\) und \(m_2=48\,\rm{kg}\) sind mit einem dünnen Seil verbunden, das über eine leicht drehbare Rolle gelegt ist.
Sind die beiden Massen unterschiedlich groß (z.B. \({m_2} > {m_1}\)), so setzen sich die beiden Körper in Bewegung, bis der rechte Körper die Strecke \(s=2{,}0\,\rm{m}\) durchlaufen hat und auf dem Boden auftrifft.
Hinweis: Löse die folgenden Aufgaben zuerst allgemein und setze erst am Ende die konkreten Zahlenwerte ein. Vernachlässige alle Reibungskräfte. Setze \(g = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).
a)Berechne die Beschleunigung \(a\), mit der sich die beiden Körper in Bewegung setzen.
b)Berechne die Zeit \(t\), die der rechte Körper bis zum Auftreffen auf den Boden benötigt.
c)Berechne die Geschwindigkeit \(v\) des rechten Körpers beim Auftreffen auf den Boden.
a)Wir führen zuerst ein vertikales, nach unten gerichtetes Koordinatensystem zur Orientierung der Kräfte, Beschleunigungen und Geschwindigkeiten ein.
Dann wirken auf den rechten Körper mit der Masse \(m_2\) zum einen seine eigene Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,2}}}}\) mit \({F_{{\rm{G,2}}}} = {m_2} \cdot g\). Zum anderen wirkt auf den Körper die über das Seil umgelenkte Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,1}}}}\) mit \({F_{{\rm{G,1}}}} = -{m_1} \cdot g\). Für die resultierende Kraft \({{\vec F}_{{\rm{res}}}} = {{\vec F}_{{\rm{G,2}}}} + {{\vec F}_{{\rm{G,1}}}}\) ergibt sich dann\[{F_{{\rm{res}}}} = {m_2} \cdot g - {m_1} \cdot g = \left( {{m_2} - {m_1}} \right) \cdot g\]Durch diese Kraft wird die Gesamtmasse\[{m_{{\rm{ges}}}} = {m_2} + {m_1}\]beschleunigt. Damit ergibt sich nach der Grundgleichung der Mechanik\[a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{{{m_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow a = \frac{{\left( {{m_2} - {m_1}} \right) \cdot g}}{{{m_2} + {m_1}}} = \frac{{{m_2} - {m_1}}}{{{m_2} + {m_1}}} \cdot g\]Einsetzen der gebenen Werte liefert\[a = \frac{{48\,{\rm{kg}} - 12\,{\rm{kg}}}}{{48\,{\rm{kg}} + 12\,{\rm{kg}}}} \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 6{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
b)Da es sich hier um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, erhalten wir aus\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{a}} \]nach Einsetzen der gegebenen und bisher berechneten Werte\[t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 2{,}0\,{\rm{m}}}}{{6{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} = 0{,}82\,\rm{s}\]
c)Ebenfalls aufgrund der gleichmäßig beschleunigten Bewegung erhalten wir aus\[v = a \cdot t\]nach Einsetzen der gegebenen und bisher berechneten Werte\[v = 6{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0{,}82\,\rm{s} = 4{,}9\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
