Arbeit als Änderung der Energie eines Systems
Entsprechend dem Energieerhaltungssatz bleibt die Energie eines abgeschlossenen Systems erhalten. Wird dem System jedoch von außen Energie zugeführt oder gibt das System Energie ab, so ändert sich die Gesamtenergie des Systems. Aus physikalischer Sicht wird Arbeit verrichtet. Die Arbeit wird mit dem Formelzeichen \(W\) für das englische "work" bezeichnet. Der Betrag der verrichteten Arbeit entspricht dabei der Betragsänderung der Energie des Systems: \(\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\).
Beispiel: Hebst du ein Buch vom Boden auf und legst es auf einen Tisch, so hast du am System aus Buch und Tisch Arbeit verrichtet, da die Höhenenergie des Buches nun größer ist. Deine verrichtete Arbeit \(W\) berechnest du mithilfe von \(W=\Delta E=E_{\rm{nachher}}-E_{\rm{vorher}}\).
Die linke Animation in Abb. 1 zeigt, wie einem System von außen Energie \(\Delta E\) zugeführt wird; am System wird dabei die Arbeit \(W\) verrichtet. Die rechte Animation zeigt, wie ein System die Energie \(\Delta E\) abgibt; das System verrichtet dabei die Arbeit \(W\).
Hinweis: Die Energie eines Systems kann sich nicht nur durch Arbeit verändern, sondern auch durch Aufnahme oder Abgabe von Wärme. Dies soll aber hier im Bereich der Mechanik ausgeschlossen werden.
Das Vorzeichen der Arbeit
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Wird am System Arbeit verrichtet, so ist der Wert der Arbeit \(W\) positiv ( \(W>0\) ), da die Energie des Systems zunimmt, also \(\Delta E\) positiv ist.
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Verrichtet das System Arbeit, so ist \(W < 0\), da die Energie des Systems abnimmt, also \(\Delta E\) negativ ist.
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Die physikalische Einheit der Arbeit ist gleich der Einheit der Energie, nämlich das Joule: \([W] = 1\rm{J}\).
Mögliche Modellvorstellung: Geld auf einem Konto ist "potentielle Energie". Wird von dem Konto Geld auf ein anderes Konto überwiesen, so entspricht die Änderung des Kontostandes der Energieänderung und der Betrag der Überweisung entspricht die Arbeit.
Die physikalische Arbeit in der Mechanik
Es wird physikalische Arbeit \(W\) verrichtet, wenn eine Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(s\) wirkt. Es gilt \[W=F_{\rm{s}}\cdot s\;\rm{mit}\;[\rm{W}] = 1 Nm = 1 J\] Dabei ist \(s\) der zurückgelegte Weg und \(F_\rm{s}\) der Betrag der Kraft in Bewegungsrichtung.
Hinweise zur Arbeit mit der Formel
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Wirkt die Kraft \(\vec F\) nicht längs des Weges \(s\), so ist für die Arbeitsberechnung nur die Kraftkomponente \(\vec F_\rm{s}\) in Wegrichtung einzusetzen.
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Wirkt die Kraft \(\vec F\) senkrecht zur Wegrichtung, so wird keine Arbeit verrichtet und es gilt \(W=0\)
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Ändert sich der Betrag \(\vec F\) der Kraft längs des Weges \(s\), so ist obige Formel nicht anwendbar.
Verschiedene Typen der Arbeit und ihre Berechnung
Hubarbeit
Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Hub}}\), die man beim Anheben eines Körpers aufbringen muss, als Differenz der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot,nach}}\) des Körpers am Ende des Hubvorgangs und der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot,vor}}\) des Körpers am Anfang des Hubvorgangs\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{pot,nach}}}} - {E_{{\rm{pot,vor}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \Delta h}\]Um den Sack in der Animation in Abb. 2 nach oben zu ziehen, muss du Hubarbeit verrichten. Dazu ziehst du mit der Kraft \({{\vec F_{\rm{a}}}} \) am Seil. Diese Kraft ist die Kraft in Wegrichtung, also \( {{\vec F_{\rm{a}}}} = {{\vec F_{\rm{s}}}}\).
Nun hebt sich der Sack um die Strecke \({\Delta h}\), während das Seil in deinen Händen die Strecke \({\Delta s}\) zurücklegt. Diese beiden Strecken sind natürlich gleich lang, also gilt \({\Delta h = \Delta s}\).
Da aufgrund der Kontruktion mittels Umlenkrolle der Betrag von \( {{\vec F_{\rm{g}}}} \) gleich dem Betrag von \( {{\vec F_{\rm{s}}}} \) ist, gilt auch\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = {F_{\rm{G}} \cdot \Delta h}={F_{\rm{s}} \cdot \Delta s}}\]
Beschleunigungsarbeit
Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Beschleunigung}}\), die man beim Beschleunigen eines Körpers aufbringen muss, als Differenz der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,nach}}\) des Körpers am Ende des Beschleunigungsvorgangs und der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,vor}}\) des Körpers am Anfang des Beschleunigungsvorgangs \[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{kin,nach}}}} - {E_{{\rm{kin,vor}}}} = \frac{1}{2}m \cdot \left( {v_{{\rm{nach}}}^2 - v_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]In der Animation in Abb. 3 wird ein Auto mit der Masse \(m\) ausgehend von der Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{vor}}\) konstant beschleunigt, bis es nach der Strecke \(\Delta s\) die Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{nach}} \) erreicht. Bei der Beschleunigung soll der Einfachheit halber eine konstante Kraft \(\vec F_{\rm{s}} \) längs der Strecke \(\Delta s\). So kann man für die Beschleunigungsarbeit auch schreiben\[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = {F_{\rm{s}}} \cdot \Delta s}\]
Spannarbeit
Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Spann}}\), die man beim Spannen einer Feder aufbringen muss, als Differenz der Spannenergie \(E_{\rm{Spann,nach}}\) der Feder am Ende des Spannvorgangs und der Spannenergie \(E_{\rm{Spann,vor}}\) der Feder am Anfang des Spannvorgangs\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{Spann,nach}}}} - {E_{{\rm{Spann,vor}}}} = \frac{1}{2}D \cdot \left( {s_{{\rm{nach}}}^2 - s_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]Wenn wie in der Animation in Abb. 4 eine Feder aus ihrer Ruhelage (Ruhelänge) heraus gespannt wird, also \({{s_{\rm{vor}}} = 0}\) ist, so gilt \[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\] Achtung, dabei ist \[{W_{\rm{Spann}}} \ne {F_{\rm{s}}} \cdot s\] da sich der Betrag der Kraft \(\vec F\) während des Spannens längs des Weges ändert. Berechnet man die Fläche unter der Weg-Kraft-Kurve (Dreiecksfläche), so ergibt sich\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}{F_{\rm{s}}} \cdot s = \frac{1}{2}(D \cdot s) \cdot s = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\]
Reibarbeit
\[{{W_{{\rm{Reibung}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{pot,nach}}}} - {E_{{\rm{pot,vor}}}} < 0 \Rightarrow \left| {{W_{{\rm{Reibung}}}}} \right| = {F_{\rm{G}}} \cdot \left| {\Delta h} \right|}\]Fällt ein Fallschirmspringer wie in der Animation rechts mit konstanter Geschwindigkeit, so ist der Betrag der Kraft \( {{\vec F_{\rm{G}}}} \) gleich dem Betrag der Kraft \( {{ \vec F_{\rm{Reibung}}}} \).
Die Kraft \( {{ \vec F_{\rm{Reibung}}}} \) ist die Kraft \( {{ \vec F_{\rm{s}}}} \) in Wegrichtung und der Betrag der Höhe \({\Delta h}\), um die der Fallschirmspringer fällt, ist der zurückgelegte Weg \({\Delta s}\). Somit gilt auch \[{\left| {{W_{{\rm{Reibung}}}}} \right| = {F_{{\rm{Reibung}}}} \cdot \left| {\Delta h} \right| ={F_{\rm{s}}} \cdot \Delta s}\]