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Grundwissen

Energieeinheiten

Energien und Arbeiten kommen sowohl in der Mechanik, der Wärmelehre und - wie du später sehen wirst - auch in der Elektrizitätslehre vor. Damit ist verständlich, dass es für Arbeit und Energie mehrere verschiedene Einheiten gibt. Diese Seite soll dir zeigen, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Einheiten besteht.

Einheiten von Arbeit und Energie

 
mechanische Arbeit:
kinetische Energie
potentielle Energie
Spannenergie
Formel
\( W = F \cdot s \)
\({E_{kin}} = \frac{1}{2}m \cdot {v^2}\)
\( E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h \)
\({E_{spann}} = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}\)
Einheit
\[ [W] = 1\, \rm{N} \cdot 1\, \rm{m} = 1\, \rm{J} \]
\[\left[ {{E_{kin}}} \right] = 1\rm{\frac{{kg \cdot {m^2}}}{{{s^2}}}}\]
\[\left[ {{E_{pot}}} \right] = 1\,\rm{kg} \cdot \rm{\frac{m}{s^2}} \cdot \rm{m} = 1\,\rm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2}}\]
\[\left[ {{E_{spann}}} \right] = 1\,\rm{\frac{N}{m}} \cdot \rm{m^2} = 1\,\rm{N} \cdot \rm{m}\]

 

Da sämtliche Arbeits- und Energieeinheiten gleichwertig sind, folgt hieraus die erste wichtige Beziehung für die Umwandlung von Arbeits-Energie-Einheiten:

\[1\,\rm{J} = 1\,\rm{N} \cdot \rm{m} = 1\,\rm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2}}\]

Weitere Energieeinheiten

  • Bei der Angabe von Energien - gerade im Bereich der Elektrizität - verwendet man häufig die Einheit 1 kWh (Kilowattstunde). Es gilt:
\(1\,\rm{kWh} = 3{,}6\cdot 10^6\,\rm{J}\)

Wie es zu dieser Umrechnung kommt wird weiter unten gezeigt.

  • Eine inzwischen veraltete Energieeinheit ist die Kilocalorie (1 kcal). Im Volksmund spricht man oft nur von "Kalorien". Man verwendet diese Einheit heute immer noch zur Beschreibung des Brennwertes von Nahrungsmitteln. Es gilt:
\(1\,\rm{kcal} = 4{,}186\cdot 10^3\,\rm{J}\)

Einheiten der Leistung

Formel für die Leistung: \(P = \frac{W}{t}\)
Einheit für die Leistung: \(\left[ P \right] = 1\,\rm{\frac{J}{s}}\)

Meist wird in der Literatur als Leistungseinheit das Watt (W) verwendet. Es gilt:

\[1\,\rm{\frac{J}{s}} = 1\,\rm{W} \Rightarrow 1\,\rm{J} = 1\,\rm{Ws}\]

Eine veraltete Leistungseinheit ist die Pferdestärke (PS). Sie wird oft noch für die Angabe der Motorleistung eines Autos angegeben. Es gilt:

\(1\,\rm{PS} = 0{,}735\,\rm{kW}\)

Hinweis: Mit der Festlegung des Watt verstehst Du jetzt auch die Umrechnung der Kilowattstunden:

\(1\,\rm{kWh}=1\cdot 10^3\,\rm{Wh}=1\cdot 10^3\cdot 3600\,\rm{Ws}=3{,}6\cdot 10^6\,\rm{J}\)

Aufgabe

Ein Sprinter mit der Masse \(m=80\,\rm{kg}\) läuft die 100m-Strecke mit der Durchschnittsgeschwindigkeit von \(36\,\rm{km/h}\).

Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit in \(\rm{m/s}\)?

Welche durchschnittliche Leistung (in Watt) erbringt der Läufer bei der Beschleunigung auf die Geschwindigkeit \(36\,\rm{km/h}\), die er in einer Sekunde nach dem Start erreicht?

Lösung

\[36\,\rm{\frac{{km}}{h}} = 36\cdot \frac{1000\,\rm{m}}{3600\,\rm{s}} = 36 \cdot \frac{1000}{3600}\rm{\frac{m}{s}} = 10\,\rm{\frac{m}{s}}\]
Zuwachs der kinetischen Energie in einer Sekunde:
\[\Delta {E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} - 0 \Rightarrow \Delta {E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot 80\,\rm{kg} \cdot {(10\,\rm{\frac{m}{s}})^2} = 4{,}0 \cdot {10^3}\,\rm{J}\]
Mittlere Leistung in diesem Zeitabschnitt:
\[P = \frac{{\Delta {E_{kin}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow P = \frac{{4{,}0 \cdot {{10}^3}}}{{1{,}0}}\,\rm{W} = 4{,}0\,\rm{kW}\]

Aus welcher Höhe müsste ein Auto mit \(m=1{,}0\,\rm{t}\) herunterfallen, damit es kurz vor dem Auftreffen am Boden die gleiche kinetische Energie hat, wie wenn es mit \(60\,\rm{km/h}\) auf ebener Straße dahinfahren würde?

Lösung

Die potentielle Energie in der Höhe h muss gleich der kinetischen Energie des fahrenden Autos sein:<br />
            \[\begin{array}{l}m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}|:m \\ \Rightarrow g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot {v^2}\\ \Rightarrow h = \frac{{{v^2}}}{{g \cdot 2}} \Rightarrow h = \frac{{{{\left( {\frac{{60}}{{3{,}6}}} \right)}^2}}}{{9,81 \cdot 2}}\rm{\frac{{\frac{{{m^2}}}{{{s^2}}}}}{{\frac{m}{{{s^2}}}}}} \Rightarrow h \approx 14\,\rm{m}\end{array}\]

Der biologische Wirkungsgrad des Menschen ist ca. 25%, d.h. er kann etwa ein Viertel der durch die Nahrung aufgenommenen Energie in mechanische Energie umsetzen. Ein Radrennfahrer bringt in einem Rennen die Dauerleistung von 400 W auf.

Gib die Leistung des Radfahrers in PS an.

Wie viele Kilokalorien muss er in der Stunde aufnehmen, damit er diese Leistung erbringen kann? Wie viel Schokolade muss er dazu essen, wenn der Brennwert von 100g Schokolade ungefähr 530 kcal ist?

Lösung

\[\begin{array}{l}735\,\rm{W} \to 1\,\rm{PS}\\400\,\rm{W} \to ?\,\rm{PS}\\{\overline P _{rad}} = \frac{{400}}{{735}}\,\rm{PS} \approx 0{,}544\,\rm{PS}\end{array}\] Mit Hilfe der Formel für den Wirkungsgrad lässt sich die in einer Stunde durch die Nahrung zuzuführende &quot;Kalorienzahl&quot; berechnen: \[\begin{array}{l}\eta = \frac{{{{\overline P }_{rad}} \cdot \Delta t}}{{\Delta {E_{nahr}}}} \Rightarrow \Delta {E_{nahr}} = \frac{{{{\overline P }_{rad}} \cdot \Delta t}}{\eta } \Rightarrow \\\Delta {E_{nahr}} = \frac{{400 \cdot 3600}}{{0,25}}\,\rm{W} \cdot \rm{s} = 5{,}76 \cdot {10^6}\,\rm{J}\\4{,}19 \cdot {10^3}\,\rm{J}\quad \to 1\,\rm{kcal}\\5{,}76 \cdot {10^6}\,\rm{J}\quad \to ?\,\rm{kcal}\\\Delta {E_{nahr}} = \frac{{5{,}76 \cdot {{10}^6}}}{{4{,}19 \cdot {{10}^3}}}\,\rm{kcal} \approx 1{,}37 \cdot {10^3}\,\rm{kcal}\end{array}\] Für die Zahl der Schokoladentafeln gilt: \[\begin{array}{l}530\,\rm{kcal}\quad \to 1\,\rm{Tafel}\\1{,}37 \cdot {10^3}\,\rm{kcal} \to ?\,\rm{Tafeln}\\ \text{Zahl der Tafeln} = \frac{1{,}37 \cdot 10^3}{530} \approx 2{,}6\end{array}\]