Bei schwereren Kernen stellt der \(\alpha\)-Zerfall eine sehr häufig vorkommenden Zerfallsart dar. Der tiefere Grund hierfür ist die im Vergleich zu Nachbarkernen hohe mittlere Bindungsenergie beim Heliumkern. In der Nuklidkarte sind Kerne mit \(\alpha\)-Aktivität gelb markiert.
Möglichkeiten zur Berechnung des \(Q\)-Wertes
Für die Berechnung des Energieverlustes bzw. Energiegewinns bei einer Kernreaktion, also des sogenannten \(Q\)-Wertes, sind zwei Betrachtungsweisen möglich:
- Man geht von den Kernmassen aus
- Man geht von den Atommassen aus
Die experimentelle Bestimmung von Kernmassen ist auch mit modernster Technik kaum möglich. Die Bestimmung von Atommassen dagegen gelingt sehr genau mit Hilfe von Massenspektrometern, bei denen man durch die Ablenkung von z.B. einfach ionisierten Atomen in elektrischen und magnetischen Feldern deren spezifische Ladung bestimmt. Deshalb wird der \(Q\)-Bestimmung über die Atommassen größere Bedeutung zukommen, da man über die Atommassen eine sehr genaue Kenntnis besitzt.
Beide Wege im Vergleich
Überlegung mit Kernen | Überlegung mit Atomen | |
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Animation |
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Reaktion |
Der Mutterkern \(\rm{X}\) emittiert ein \(\alpha\)-Teilchen und wandelt sich dabei in den Tochterkern \(\rm{Y}\) um. Der Tochterkern \(\rm{Y}\) besitzt also \(2\) Protonen und \(2\) Neutronen, insgesamt also \(4\) Nukleonen weniger als der Mutterkern. |
Diese Reaktionsgleichungen kann man formal zu einer zusammenfassen. |
Reaktions-gleichung | \[_{Z}^{A}{\rm{X}}\to\;_{Z-2}^{A-4}{\rm{Y}}+\;_{2}^{4}{\rm{\alpha }}\] | \[_{Z}^{A}{\rm{X}}\to\;_{Z-2}^{A-4}{\rm{Y}}+\;_{2}^{4}{\rm{He}}\] |
Q-Wert |
Berechnung des \(Q\)-Werts\[\begin{eqnarray}Q_{\rm{\alpha,K}} &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{X}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{Y}} \right) + {m_{\rm{K}}}\left( {\rm{\alpha }} \right)} \right)} \right] \cdot c^2\\&=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{X}} \right) - {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{Y}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {\rm{\alpha }} \right)}} \right] \cdot c^2\end{eqnarray}\]Nun ist die Bindungsenergie \(B_{\rm{e}}\left({\rm{X}} \right)\) der Hüllenelektronen des Mutteratoms größer als die Summe der Bindungsenergien \(B_{\rm{e}}\left({\rm{Y}} \right)\) und \(B_{\rm{e}}\left({\rm{He}} \right)\) der Hüllenelektronen von Tochteratom und \(\rm{He}\)-Atom. Zum "Umbau" der Atomhüllen wird die Energiedifferenz\[\begin{eqnarray}\Delta {B_{\rm{e}}} &=& {B_{\rm{e}}}\left( {\rm{X}} \right) - \left( {{B_{\rm{e}}}\left( {\rm{Y}} \right) + {B_{\rm{e}}}\left( {{\rm{He}}} \right)} \right)\\&=& {B_{\rm{e}}}\left( {\rm{X}} \right) - {{B_{\rm{e}}}\left( {\rm{Y}} \right) - {B_{\rm{e}}}\left( {{\rm{He}}} \right)} \end{eqnarray}\]benötigt. Diese Energiedifferenz muss von dem \(Q_{\rm{\alpha,K}}\)-Wert subtrahiert werden, um die den Zerfallsprodukten letztendlich zur Verfügung stehende Energie \(Q\) zu berechnen:\[Q = {Q_{\alpha ,{\rm{K}}}} - \Delta {B_{\rm{e}}}\] |
Berechnung des \(Q\)-Werts\[\begin{eqnarray}Q=Q_{\rm{\alpha,A}} &=& \left[ m_{\rm{A}}\left( \rm{X} \right) - \left( m_{\rm{A}}\left( \rm{Y} \right) + m_{\rm{A}}\left(_{\rm{2}}^{\rm{4}}{\rm{He}} \right) \right) \right] \cdot c^2\\&=& \left[ m_{\rm{A}}\left( \rm{X} \right)-m_{\rm{A}}\left( \rm{Y} \right)-m_{\rm{A}}\left(_{2}^{4}{\rm{He }} \right) \right] \cdot c^2\end{eqnarray}\] |
Energie-aufteilung |
Aufteilung der frei werdenden Energie nach dem Zerfall\[Q=E_{\rm{kin}}\left( {\rm{\alpha }} \right)+ E_{\rm{kin}}\left( {\rm{Y}} \right)+E^*\left( {\rm{Y}} \right)+E_{\rm{Hülle}}^*\left( {\rm{Y}} \right)\]Dabei ist
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Hinweise
Die Reaktionsgleichung mit Atomen entsteht formal durch die Addition von 2 Elektronen auf beiden Seiten der Reaktionsgleichung für Kerne. Die beiden Gleichungen für den \(Q\)-Wert unterscheiden sich bei Atome mit kleiner Ordnungszahl nur wenig, bei Atomen mit großer Ordnungszahl aber merklich.
Bei einem \(\alpha\)-Zerfall werden in der Praxis häufig auch mehrere Elektronen mit aus dem Atom herausgerissen, so dass positiv geladene Tochteratome entstehen, die sich durch Folgeprozesse aber auch schnell in neutrale Atome umwandeln.
Beispiel: Alpha-Zerfall von Po-210
Überlegung mit Kernen | Überlegung mit Atomen | |
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Reaktions-gleichung | \[_{84}^{210}{\rm{Po}}\to\;_{82}^{206}{\rm{Pb}}+\;_{2}^{4}{\rm{\alpha }}\] | \[_{84}^{210}{\rm{Po}}\to\;_{82}^{206}{\rm{Pb}}+\;_{2}^{4}{\rm{He}}\] |
Massen |
\(m_{\rm{K}}\left(_{84}^{210}{\rm{Po}}\right)=209{,}937314724\,\rm{u}\) \(m_{\rm{K}}\left(_{82}^{206}{\rm{Pb}}\right)=205{,}929974875\,\rm{u}\) \(m_{\rm{K}}\left(_{2}^{4}{\rm{He}}\right)=4{,}001506179\,\rm{u}\) |
\(m_{\rm{A}}\left(_{84}^{210}{\rm{Po}}\right)=209{,}982873601\,\rm{u}\) \(m_{\rm{A}}\left(_{82}^{206}{\rm{Pb}}\right)=205{,}974465124\,\rm{u}\) \(m_{\rm{A}}\left(_{2}^{4}{\rm{He}}\right)=4{,}002603254\,\rm{u}\) |
Q-Wert |
\[\begin{eqnarray}Q_{\rm{\alpha,K}} &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}(_{84}^{210}{\rm{Po}}) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {_{82}^{206}{\rm{Pb}}} \right) + {m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\alpha}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left({_{84}^{210}{\rm{Po}}}\right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_{82}^{206}{\rm{Pb}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\alpha}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {209{,}937314724\,{\rm{u}} - 205{,}929974875\,{\rm{u}} - 4{,}001506179\,{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005833670 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005833670 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 5{,}4340\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]Hiervon muss die Differenz\[\begin{eqnarray}\Delta {B_{\rm{e}}} &=& {B_{\rm{e}}}\left( {_{84}^{210}{\rm{Po}}} \right) - {B_{\rm{e}}}\left( {_{82}^{206}{\rm{Pb}}} \right)-{B_{\rm{e}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)\\ &=& 15{,}73\,{\rm{eV}} \cdot \left( {84}^{\textstyle{7 \over 3}} - {82}^{\textstyle{7 \over 3}} - {2}^{\textstyle{7 \over 3}}\right)\\ &=& 0{,}0265\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\] der Bindungsenergien der Hüllenelektronen von \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) sowie \(_{82}^{206}{\rm{Pb}}\) und \(_2^4{\rm{He}}\) subtrahiert werden, so dass nach dieser Rechnung eine Energie von \[Q=5{,}4340\,{\rm{MeV}}-0{,}0265\,{\rm{MeV}}=5{,}4075\,{\rm{MeV}}\] frei wird. |
\[\begin{eqnarray}Q=Q_{\rm{\alpha,A}} &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}(_{84}^{210}{\rm{Po}}) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {_{82}^{206}{\rm{Pb}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}(_{84}^{210}{\rm{Po}}) - {m_{\rm{A}}}\left( {_{82}^{206}{\rm{Pb}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {209{,}982873601\,{\rm{u}} - 205{,}974465124\,{\rm{u}} - 4{,}002603254\,{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005805223 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005805233 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 5{,}4075\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\] |
Energie-aufteilung |
Eine mögliche Aufteilung der frei werdenden Energie:
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Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen. Die hier angegebenen Kernmassen wurden berechnet aus den Atommassen abzüglich der Masse der Elektronen zuzüglich der nach dem THOMAS-FERMI-Modell angenäherten Bindungsenergie der Elektronen.