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Aufgabe

Radioaktive Leuchtfarbe (Abitur BY 2011 GK A4-2)

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Vermengt man eine radioaktive mit einer fluoreszierenden Substanz, die von der radioaktiven Strahlung zum Leuchten angeregt wird, erhält man so genannte Leuchtfarbe. Bei Leuchtziffern von älteren Uhren wurde Zinksulfid durch das Isotop 226Ra zum Leuchten angeregt, so dass sie auch im Dunkeln abgelesen werden konnten.

a)Gib die Zerfallsgleichung von 226Ra an.

Berechne die dabei frei werdende Reaktionsenergie \(Q\). (6 BE)

b)Begründe, warum von einer unbeschädigten, luftdichten Uhr mit 226Ra in den Leuchtziffern keine α-Strahlung in die Umgebung austritt.

Erläutere, warum dies selbst bei minimalen Gehäuseundichtigkeiten nicht mehr der Fall ist. (5 BE)

c)Das Ziffernblatt einer selbstleuchtenden Uhr enthält \(1{,}0\,{\rm{\mu g}}\) Radium.

Berechne die Aktivität A des Radiums in dieser Uhr, wobei davon ausgegangen werden kann, dass es sich ausschließlich um 226Ra handelt. (6 BE)

d)In Opas Schatztruhe findet sich eine 80 Jahre alte Uhr mit Leuchtziffern. Er behauptet, die Uhr habe in seiner Jugend viel heller geleuchtet.

Überprüfe rechnerisch, ob als Grund hierfür ein Abklingen der radioaktiven Strahlung in Frage kommt. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Zerfallsgleichung lautet\[_{88}^{226}{\rm{Ra}} \to _{86}^{222}{\rm{Rn}} + _2^4{\rm{\alpha }}\]Berechnung des \(Q\)-Wertes:
\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_{88}^{226}{\rm{Ra}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {_{86}^{222}{\rm{Rn}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{\alpha }}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_{88}^{226}{\rm{Ra}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_{86}^{222}{\rm{Rn}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{\alpha }}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {226,025408u - 222,017576u - 4,002603u} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0,005229 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0,005229 \cdot 931,49{\rm{MeV}}\\ &=& 4{,}8\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]

b)Die Leuchtziffern befinden sich im Uhrgehäuse (unten: Metall; oben: Glas). Die α-Teilchen können diese Materialien nicht durchdringen, auch die α-strahlenden Folgeprodukte nicht. Bereits bei geringen Gehäuseundichtigkeiten könnte jedoch das gasförmige, radioaktive Zerfallsprodukt 222Rn in die Umgebung gelangen.

c)Für die Aktivität gilt\[{{A_0} = \lambda  \cdot {N_0} = \frac{{\ln 2}}{{{T_{1/2}}}} \cdot \frac{m}{{{m_{\rm{A}}}\left( {_{88}^{226}Ra} \right)}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{A_0} = \frac{{\ln 2}}{{1{,}600 \cdot {{10}^3} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}}}} \cdot \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{kg}}}}{{226{,}025408 \cdot 1{,}661 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}} = 3{,}7 \cdot {{10}^4}\,{\rm{Bq}}}\]

d)Für die zeitliche Abnahme der Aktivität gilt\[{A(t) = \lambda  \cdot N(t) = {A_0} \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}} = {A_0} \cdot {e^{ - \frac{{\ln 2}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{A(80\rm{a}) = 3{,}7 \cdot {{10}^4}\,{\rm{Bq}} \cdot {e^{ - \frac{{\ln 2}}{{1600\rm{a}}} \cdot 80\rm{a}}} = 3{,}5 \cdot {{10}^4}\,{\rm{Bq}}}\]Das Abklingen der Radioaktivität kommt für das dunklere Erscheinungsbild der Leuchtziffern wohl nicht in Frage, schon eher die abnehmende Sehkraft von Opa.

Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Radioaktivität - Fortführung