Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die Zerfallsgleichung lautet\[{}_{88}^{226}{\rm{Ra}} \to {}_{86}^{222}{\rm{Rn}} + {}_2^4{\rm{He}}\]Berechnung des \(Q\)-Wertes bei dem Zerfall (Verwendung der atomaren Massen):\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{88}^{226}{\rm{Ra}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{86}^{222}{\rm{Rn}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_2^4{\rm{He}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{88}^{226}{\rm{Ra}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{86}^{222}{\rm{Rn}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {226{,}025410u - 222{,}017578u - 4{,}002603u} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {226{,}025410 - 222{,}017578 - 4{,}002603} \right] \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005229 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005229 \cdot 931{,}49{\rm{MeV}}\\ &=& 4{,}87{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
b)Die Alphastrahlung kann durch das Glas vollständig abgeschirmt werden.
Die Abschirmung der Betastrahlung hängt stark von der jeweiligen Energie ab.
Die Abschirmung der Betastrahlung gelingt nur teilweise. Die Gammastrahlung kann durch das dünne Uhrglas kaum abgeschirmt werden.
c)Da bei dieser Aufgabe angenommen werden darf, dass sich die Aktivität der Proben im betrachteten Zeitraum nicht ändert, gilt folgender Zusammenhang zwischen der Aktivität \(A\) und der Zahl der Zerfälle \(\Delta N\):\[A = \frac{N}{{\Delta t}} \Leftrightarrow N = A \cdot \Delta t\]Aktivität \(A_{\rm{Z}}\) der gesamten Zifferblätter, die in einem Jahr hergestellt wurden:\[{A_{\rm{Z}}} = 25 \cdot {10^3} \cdot 280 \cdot 80\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 5{,}6 \cdot {10^8}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\]Die Aktivität \(A\), der von der Arbeiterin aufgenommen Menge von \({}_{88}^{226}{\rm{Ra}}\) ist \(6{,}0\% \) der Aktivität \(A_{\rm{Z}}\) der gesamten Ziffernblätter. Also gilt\[A = 0{,}060 \cdot {A_{\rm{Z}}} = 0{,}060 \cdot 5{,}6 \cdot {10^8}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 3{,}4 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\]Aufgrund der Aufgabenstellung darf man davon ausgehen, dass diese Aktivität \(A\) für ein halbes Jahr in der Arbeiterin geherrscht hat. Somit ergibt sich für die Zahl \(N\) der Zerfälle im ersten Arbeitsjahr\[N = A \cdot \Delta t \Rightarrow N = 3{,}4 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}5 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} = 5{,}3 \cdot 10^{14}\]
d)Die Masse der Arbeiterin wird mit \(m=65\,\rm{kg}\) angenommen. Für die Äquivalentdosis \(H\) gilt\[H = q \cdot \frac{E}{m}\]Dabei ist \(q\) der biologische Bewertungsfaktor, der laut Formelsammlung bei Alphastrahlung mit \(q=20\) angenommen werden kann. Die absorbierte Energie ist \(E = N \cdot Q\). Somit gilt\[H = q \cdot \frac{{N \cdot Q}}{m}\]
\[\Rightarrow H = 20 \cdot \frac{{5{,}3 \cdot 10^{14} \cdot 4{,}87 \cdot 10^6 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}}{{65\,{\rm{kg}}}} = 1{,}3 \cdot {10^2}\,{\rm{Sv}}\]Der Grenzwert von \(20\,{\rm{mSv}}\) wurde also um mehr als das Sechstausendfache überschritten. Bei der Arbeiterin musste man also mit gravierenden Gesundheitsschäden oder gar mit deren Tod rechnen.