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Aufgabe

Neptunium-Reihe (Abitur BY 2007 GK A4-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Das Astat Nuklid \(^{217}{\rm{At}}\) ist ein \(\alpha\)-Strahler aus der Neptunium-Zerfallsreihe.

a)Erläutern Sie, dass sich für die schweren Radionuklide genau vier Zerfallsreihen aufstellen lassen und erklären Sie, warum sich \(^{217}{\rm{At}}\) der Neptunium-Reihe zuordnen lässt.(4 BE)

b)Begründen Sie, dass die Nuklide der Neptuniumreihe heute in der Natur praktisch nicht mehr vorkommen. (5 BE)

c)\(^{217}{\rm{At}}\) emittiert neben der \(\alpha\)-Strahlung auch \(\gamma\)-Strahlung der Energie \(0{,}60\,\rm{MeV}\). Obwohl die \(\alpha\)-Strahlung von \(^{217}{\rm{At}}\) wesentlich energiereicher ist als die \(\gamma\)-Strahlung, kann man sich leichter vor ihr schützen. Nennen sie die wichtigsten Schutzmaßnahmen vor \(\alpha\)-Strahlung. (3 BE)

d)Eine \(d=7{,}4\,\rm{mm}\) dicke Bleiplatte würde die Hälfte der \(\gamma\)-Quanten absorbieren. Wie viele solcher Bleiplatten müssten mindestens hintereinander gestellt werden, damit 99% der \(\gamma\)-Quanten absorbiert werden? (8 BE)

Natürliches Wismut besteht nur aus dem Isotop \(^{209}{\rm{Bi}}\). Bis zum Jahr 2003 wurde es für das stabile Endprodukt der Neptunium-Reihe gehalten. Das Institut d`Astrophysique Spatiale in Orsay, Frankreich, stellte jedoch fest, dass \(^{209}{\rm{Bi}}\) mit extrem großer Halbwertszeit zu Thallium \(^{205}{\rm{Tl}}\) zerfällt.

e)Geben Sie die Zerfallsgleichung von \(^{209}{\rm{Bi}}\) an und berechnen Sie die beim Zerfall frei werdende Energie \(Q\).
[zur Kontrolle: \(Q=3{,}14\,\rm{MeV}\)]. (7 BE)

f)Um für eine Messung eine grobe Abschätzung der zu erwartenden Halbwertszeit von \(^{209}{\rm{Bi}}\) zu erhalten wird nebenstehendes Diagramm betrachtet. Es zeigt für reine \(\alpha\)-Strahler den gemessenen Zusammenhang zwischen der frei werdenden Energie \(Q\) und der Zerfallskonstanten \(\lambda\). Theoretische Überlegungen liefern die im Diagramm eingezeichnete Kurve. Schätzen Sie mit deren Hilfe ab, welche Halbwertszeit für \(^{209}{\rm{Bi}}\) ungefähr zu erwarten wäre. Vergleichen Sie diese mit dem Alter des Universums von ca. 14 Milliarden Jahren. (5 BE)

Genauere Messungen ergeben eine Halbwertszeit \(T_{1/2}=1{,}9\cdot 10^{19}\,\rm{a}\) für den \(^{209}{\rm{Bi}}\)-Zerfall.

g)Eine Wismutprobe hat die Masse \(m=4{,}0\,\rm{g}\). Berechnen Sie die Aktivität dieser Probe und daraus die durchschnittliche Zeitspanne zwischen zwei Zerfällen. (10 BE)

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a)Bei einem \(\alpha\)-Zerfall sinkt die Massenzahl um 4 und die Kernladungszahl um 2. Bei einem \(\beta\)-Zerfall ändert sich die Massenzahl nicht und die Kernladungszahl steigt um 1. Bei einem \(\gamma\)-Zerfall ändert sich die Massenzahl und die Kernladungszahl nicht. Alle schweren Radionuklide, deren Massenzahl bei der Division durch 4 den selben Rest haben, gehören deshalb zur selben Zerfallsreihe, da stets das schwerere durch mehrere \(\alpha\)- und \(\beta\)-Zerfälle in das leichtere der überzuführen ist, nicht aber in ein Nuklid einer anderen Zerfallsreihe.
Da \(^{237}{\rm{Np}}\) und \(^{217}{\rm{At}}\) bei Division der Massenzahlen 237 bzw. 217 durch 4 beide den Rest 1 haben, gehören sie der gleichen Zerfallsreihe an.

b)Aus der Formelsammlung ist ersichtlich, dass alle Nuklide der Neptuniumreihe Halbwertszeiten haben, die kleiner sind als die von \(^{237}{\rm{Np}}\) mit \(2{,}1\cdot 10^6\,\rm{a}\). Wenn man davon ausgeht, dass \(^{237}{\rm{Np}}\) bei der Entstehung der Erde vor ca. \(5\cdot 10^9\,\rm{a}\) vorhanden war, so sind inzwischen mehr als 2000 Halbwertzeiten vergangen und damit \(^{237}{\rm{Np}}\) und all seine Folgeprodukte vollständig zerfallen.

c)\(\alpha\)-Strahlung wird durch seine starke Ionisationswirkung bereits durch dünnes Papier oder durch wenige cm Luftschicht vollständig absorbiert, so dass der wichtigste Schutz vor \(\alpha\)-Strahlung ist, radioaktive Strahler nicht durch Atemluft oder Nahrung in den Körper aufzunehmen. Außerhalb des Körpers genügen Abstände von wenigen Zentimetern.

d)Die notwendige Zahl der Bleiplatten ergibt sich aus\[0,01 \cdot {Z_0} > \frac{{{Z_0}}}{{{2^n}}} \Leftrightarrow {2^n} > \frac{1}{{0,01}} = 100 \Leftrightarrow n \cdot \ln \left( 2 \right) > \ln \left( {100} \right)\; \Leftrightarrow n > \frac{{\ln \left( {100} \right)}}{{\ln \left( 2 \right)}} = 6,6\] Es müssen also mindestens 7 solche Bleiplatten hintereinander gestellt werden.

e)Die Zerfallsgleichung lautet \[_{83}^{209}{\rm{Bi}} \to _{812}^{205}{\rm{Tl}} + _2^4{\rm{He}}\] Somit ergibt sich \[Q = {\rm{ }}\left( {{m_{{\rm{Bi}}}} - {m_{{\rm{Tl}}}} - {\rm{ }}{m_{{\rm{He}}}}} \right) \cdot {c^2} = \left( {208{,}980399 - 204{,}974427 - 4{,}002603} \right) \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}} = 3{,}14\,{\rm{MeV}}\]

f)Aus dem Diagramm liest man einen Wert von ca. \({\lambda  = {{10}^{ - 27}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}\) ab. Daraus ergibt sich
\[{T_{1/2}} = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{\lambda } \Rightarrow {T_{1/2}} = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{{10}^{ - 27}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}} = 6{,}93 \cdot {10^{26}}{\rm{s}} = 2{,}2 \cdot {10^{19}}{\rm{a}}\]

g)Die Aktivität ergibt sich aus \[A = \lambda  \cdot N = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot \frac{m}{{{m_{Bi}}}}\] \[\Rightarrow A = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{1{,}9 \cdot {{10}^{19}} \cdot 3{,}15 \cdot {{10}^7}{\rm{s}}}} \cdot \frac{{4{,}0 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}}{{209 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}} = 1{,}3 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\] und die durchschnittliche Zeitspanne errechnet sich aus \[\overline {\Delta t}  = \frac{1}{A} \Rightarrow \overline {\Delta t}  = \frac{1}{{1,3 \cdot {{10}^{ - 5}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}} = 7{,}5 \cdot {10^4}\,{\rm{s}} = 21\,{\rm{h}}\]

Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Radioaktivität - Fortführung