Der(\beta^-\)-Zerfall kommt sowohl bei Elementen in den natürlichen Zerfallsreihen als auch bei künstlich erzeugten Nukliden vor. In der Nuklidkarte sind Kerne mit \(\beta^-\)-Aktivität blau markiert.
Möglichkeiten zur Berechnung des \(Q\)-Wertes
Für die Berechnung des \(Q\)-Wertes sind zwei Betrachtungsweisen möglich:
- Man geht von den Kernmassen aus.
- Man geht von den Atommassen aus.
Die experimentelle Bestimmung von Kernmassen ist auch mit modernster Technik kaum möglich. Die Bestimmung von Atommassen dagegen gelingt sehr genau mit Hilfe von Massenspektrometern, bei denen man durch die Ablenkung von z.B. einfach ionisierten Atomen in elektrischen und magnetischen Feldern deren spezifische Ladung bestimmt. Deshalb wird der \(Q\)-Bestimmung über die Atommassen größere Bedeutung zukommen, da man über die Atommassen eine sehr genaue Kenntnis besitzt.
Beide Wege im Vergleich
| Überlegung mit Kernen | Überlegung mit Atomen | |
|---|---|---|
| Animation |
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| Reaktion |
Im Mutterkern \(\rm{X}\) wandelt sich ein Neutron in ein Proton um. Gleichzeitig wird ein Elektron und ein Anti-Elektron-Neutrino emittiert. Der Tochterkern \(\rm{Y}\) besitzt also ein Proton mehr und ein Neutron weniger als der Mutterkern. |
Diese beiden Reaktionsgleichungen kann man - aber nur formal - zu einer zusammenfassen. |
| Reaktions-gleichung | \[{}_Z^A{\rm{X}}\to{}_{Z + 1}^A{\rm{Y}} + {}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + {}_0^0{\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}\] |
\[{}_Z^A{\rm{X}}\to{}_{Z + 1}^A{\rm{Y}} + {}_0^0{{\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}}\]Vorsicht, nur formal! |
| Q-Wert |
Berechnung des \(Q\)-Werts\[\begin{eqnarray} Q_{\rm{\beta^-,K}} &=& \left[ m_{\rm{K}}\left( \rm{X} \right) - \left( m_{\rm{K}}\left( \rm{Y} \right) + m_{\rm{e}} \right) \right] \cdot c^2\\&=& \left[ m_{\rm{K}}\left( \rm{X} \right) - m_{\rm{K}}\left( \rm{Y} \right) - m_{\rm{e}} \right] \cdot c^2 \end{eqnarray}\]Bemerkung: Die Ruhemasse des Anti-Elektron-Neutrinos ist so klein, dass sie vernachlässigt werden kann. Nun ist die Bindungsenergie \(B_{\rm{e}}\left({\rm{X}} \right)\) der Hüllenelektronen des Mutteratoms kleiner als die Bindungsenergie \(B_{\rm{e}}\left({\rm{Y}} \right)\) der Hüllenelektronen des Tochteratoms. Beim "Umbau" der Atomhüllen wird die Energiedifferenz\[\Delta B_{\rm{e}} = B_{\rm{e}}\left( {\rm{Y}} \right) - B_{\rm{e}} \left( {\rm{X}} \right)\]frei. Diese Energiedifferenz muss zu dem berechneten \(Q_{\beta^- ,{\rm{K}}}\)-Wert addiert werden, um die den Zerfallsprodukten letztendlich zur Verfügung stehende Energie \(Q\) zu berechnen:\[Q = {Q_{\beta^- ,{\rm{K}}}} + \Delta {B_{\rm{e}}}\] |
Berechnung des \(Q\)-Werts\[Q=Q_{\rm{\beta^-,A}} = \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {\rm{X}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {\rm{Y}} \right)} \right] \cdot {c^2}\]Bemerkung: Die Ruhemasse des Anti-Elektron-Neutrinos ist so klein, dass sie vernachlässigt werden kann. |
| Energie-aufteilung |
Aufteilung der frei werdenden Energie nach dem Zerfall\[Q=E_{\rm{kin}}\left( \rm{e^-} \right)+E_{\rm{kin}}\left({\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}\right)+ E_{\rm{kin}}\left( {\rm{Y}} \right)+E^*\left( {\rm{Y}} \right)+E_{\rm{Hülle}}^*\left( {\rm{Y}} \right)\]Dabei ist
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Hinweis
Bei der Berechnung des \(Q\)-Wertes mit Kernmassen kann es geschehen, dass sich bei der Rechnung ein negativer Wert für den Massendefekt ergibt und damit der Beta-Minus-Zerfall gar nicht möglich erscheint. Der Beta-Minus-Zerfall kann hier nur geschehen, weil durch den Umbau der Elektronenhülle zusätzliche Energie frei wird.
Beispiel 1: Beta-Minus-Zerfall von Sc-47
| Überlegung mit Kernen | Überlegung mit Atomen | |
|---|---|---|
| Reaktions-gleichung | \[_{21}^{47}{\rm{Sc}}\to\;_{22}^{47}{\rm{Ti}}+ {}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + {}_0^0{\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}\] | \[_{21}^{47}{\rm{Sc}}\to\;_{22}^{47}{\rm{Ti}}+ {}_0^0{\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}\]Vorsicht, nur formal! |
| Massen |
\(m_{\rm{K}}\left(_{21}^{47}{\rm{Sc}}\right)=46{,}940903072\,\rm{u}\) \(m_{\rm{K}}\left(_{22}^{47}{\rm{Ti}}\right)=46{,}939711896\,\rm{u}\) \(m_{\rm{e}}=5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}\) |
\(m_{\rm{A}}\left(_{21}^{47}{\rm{Sc}}\right)=46{,}952402704\,\rm{u}\) \(m_{\rm{A}}\left(_{22}^{47}{\rm{Ti}}\right)=46{,}951757752\,\rm{u}\) |
| Q-Wert |
\[\begin{eqnarray}Q_{\rm{\beta^-,K}} &=& \Delta m \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{K}} \left( {_{21}^{47}{\rm{Sc}}} \right) - \left( m_{\rm{K}} \left( {_{22}^{47}{\rm{Ti}}} \right) + m_{\rm{e}} \right) \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{K}} \left( {_{21}^{47}{\rm{Sc}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_{22}^{47}{\rm{Ti}}} \right) - m_{\rm{e}} \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ 46{,}940903072\,\rm{u} - 46{,}939711896\,\rm{u} - 5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000642596 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000642596 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 598{,}6\,{\rm{keV}}\end{eqnarray}\]Hierzu muss die Differenz \(\Delta {B_{\rm{e}}}=2{,}2\,\rm{keV}\) der Bindungsenergien der Hüllenelektronen von \({_{22}^{47}{\rm{Ti}}}\) und \({_{21}^{47}{\rm{Sc}}}\) addiert werden, so dass nach dieser Rechnung eine Energie von \(600{,}8\,{\rm{keV}}\) frei wird. |
\[\begin{eqnarray}Q=Q_{\rm{\beta^-,A}} &=& \Delta m \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{A}} \left( {_{21}^{47}{\rm{Sc}}} \right) - m_{\rm{A}} \left( {_{22}^{47}{\rm{Ti}}} \right) \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ 46{,}952402704\,\rm{u} - 46{,}951757752\,\rm{u} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000644952 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000644952 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 600{,}8\,{\rm{keV}}\end{eqnarray}\] |
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Energie-aufteilung |
Eine mögliche Aufteilung der frei werdenden Energie: \(E_{\rm{kin}}\left( \rm{e^-} \right)=440{,}9\,\rm{keV}\) \(E_{\rm{kin}}\left({\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}\right)=0{,}5\,{\rm{keV}}\) \(E_{\rm{kin}}\left( {_{22}^{47}{\rm{Ti}}} \right)<0{,}01\,{\rm{keV}}\) \(E^*\left({_{22}^{47}{\rm{Ti}}}\right)=159{,}4\,\rm{keV}\) |
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Beispiel 2: Beta-Minus-Zerfall von Re-187
| Überlegung mit Kernen | Überlegung mit Atomen | |
|---|---|---|
| Reaktions-gleichung | \[_{75}^{187}{\rm{Re}} \to \;_{76}^{187}{\rm{Os}} + _{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + _0^0{\bar \nu _{\rm{e}}}\] | \[_{75}^{187}{\rm{Re}} \to \;_{76}^{187}{\rm{Os}} + _0^0{\bar \nu _{\rm{e}}}\]Vorsicht, nur formal! |
| Massen |
\(m_{\rm{K}}\left(_{75}^{187}{\rm{Re}}\right)=186{,}915009\,\rm{u}\) \(m_{\rm{K}}\left(_{76}^{187}{\rm{Os}}\right)=186{,}914471\,\rm{u}\) \(m_{\rm{e}}=5{,}4858 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}\) |
\(m_{\rm{A}}\left(_{75}^{187}{\rm{Re}}\right)=186{,}955752\,\rm{u}\) \(m_{\rm{A}}\left(_{76}^{187}{\rm{Os}}\right)=186{,}955750\,\rm{u}\) |
| Q-Wert |
\[\begin{eqnarray}Q_{\rm{\beta^-,K}} &=& \Delta m \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{K}} \left( {_{75}^{187}{\rm{Re}}} \right) - \left( m_{\rm{K}} \left( {_{76}^{187}{\rm{Os}}} \right) + m_{\rm{e}} \right) \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{K}} \left( {_{75}^{187}{\rm{Re}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_{76}^{187}{\rm{Os}}} \right) - m_{\rm{e}} \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ 186{,}915009\,\rm{u} - 186{,}914471\,\rm{u} - 5{,}4858 \cdot 10^{-4}\,\rm{u} \right] \cdot {c^2}\\ &=& -0{,}00001058 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& -0{,}00001058 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& -9{,}9\,{\rm{keV}}\end{eqnarray}\]Hierzu muss die Differenz \(\Delta {B_{\rm{e}}}=11{,}7\,\rm{keV}\) der Bindungsenergien der Hüllenelektronen von \({_{76}^{187}{\rm{Os}}}\) und \({_{75}^{187}{\rm{Re}}}\) addiert werden, so dass nach dieser Rechnung eine Energie von \(1{,}8\,{\rm{keV}}\) frei wird. |
\[\begin{eqnarray}Q_{\rm{\beta^-,A}} &=& \Delta m \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{A}} \left( {_{75}^{187}{\rm{Re}}} \right) - m_{\rm{A}} \left( {_{76}^{187}{\rm{Os}}} \right) \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ 186{,}955752\,\rm{u} - 186{,}955750\,\rm{u} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000002 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000002 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 1{,}8\,{\rm{keV}}\end{eqnarray}\] |
Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen. Die hier angegebenen Kernmassen wurden berechnet aus den Atommassen abzüglich der Masse der Elektronen zuzüglich der nach dem THOMAS-FERMI-Modell angenäherten Bindungsenergie der Elektronen.