Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Energiebilanz beim Beta-Minus-Zerfall

Aufgaben Aufgaben

Der β--Zerfall kommt sowohl bei Elementen in den natürlichen Zerfallsreihen als auch bei künstlich erzeugten Nukliden vor. In der Nuklidkarte sind Kerne mit ß--Aktivität blau markiert.

Für die Berechnung des \(Q\)-Wertes sind zwei Betrachtungsweisen möglich:

Man geht von den Kernmassen aus;

Man geht von den Atommassen aus.

Die Massenbestimmung schwerer Elemente gelingt sehr genau mit Hilfe von Massenspektrometern, bei denen man durch die Ablenkung von z.B. einfach ionisierten Atomen in elektrischen und magnetischen Feldern deren spezifische Ladung bestimmt. Bei hohen Ordnungszahlen treten "nackte" Kerne (also Kerne ohne jegliche Hüllenelektronen) so gut wie nicht auf. Deshalb wird der \(Q\)-Bestimmung über die Atommassen größere Bedeutung zukommen, da man über die Atommassen eine sehr genaue Kenntnis besitzt.

 

Überlegung mit Kernen

Überlegung mit Atomen

Reaktions-
gleichung

Im Mutterkern X wandelt sich ein Neutron unter Emission eines Elektrons und eines Antineutrinos in ein Proton um. Der Tochterkern Y besitzt also ein Proton mehr und ein Neutron weniger als der Mutterkern\[{}_Z^A{\rm{X}}\;\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{\beta }}^ - }}\\ \to \\{}\end{array}\;{}_{Z + 1}^A{\rm{Y}} + {}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + {}_0^0{{\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}}\]

Das neutrale Mutteratom wandelt sich unter Emission eines Elektrons und eines Antineutrinos in ein Tochteratom Y+ um, das zunächst als einfach positives Ion vorliegt (die Hülle bleibt zunächst unverändert, der Kern gewinnt aber ein Proton. Also fehlt für den Neutralzustand in der Hülle ein Elektron).\[{}_Z^A{\rm{X}}\;\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{\beta }}^ - }}\\ \to \\{}\end{array}\;{}_{Z + 1}^A{{\rm{Y}}^ + } + {}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + {}_0^0{{\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}}\]

Das positive Tochter-Ion "holt" sich aus der Umgebung ein Elektron und wird zum neutralen Tochteratom Y.\[{}_{Z + 1}^A{{\rm{Y}}^ + } + {}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - }\; \to \;{}_{Z + 1}^A{\rm{Y}}\]

Diese beiden Reaktionsgleichungen kann man formal zu einer zusammenfassen, so dass sich ergibt (das emittierte Kernelektron und das aus der Umgebung aufgenommene Elektron egalisieren sich)\[{}_Z^A{\rm{X}}\;\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{\beta }}^ - }}\\ \to \\{}\end{array}\;{}_{Z + 1}^A{\rm{Y}} + {}_0^0{{\rm{\bar \nu }}_{\rm{e}}}\]

Q-Wert

Es wird angenommen, dass die Ruhemasse des Antineutrinos zu vernachlässigen ist.

Q-Wert mit Ruheenergien\[{Q_{{{\rm{\beta }}^ - }{\rm{,K}}}} = \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{X}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{Y}} \right) + {m_{\rm{e}}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\]

Q-Wert mit kinetischen Energien und Anregungsenergie\[{Q_{{{\rm{\beta }}^ - }{\rm{,K}}}} = {E_{{\rm{kin}}{\rm{,e}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,}}\bar \nu }} + {E^*}\left( {\rm{Y}} \right) + {E_{{\rm{Rückstoß}}}}\left( {\rm{Y}} \right)\]

Es wird angenommen, dass die Ruhemasse des Antineutrinos zu vernachlässigen ist.

Q-Wert mit Ruheenergien\[{Q_{{{\rm{\beta }}^ - }{\rm{,A}}}} = \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {\rm{X}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {\rm{Y}} \right)} \right] \cdot {c^2}\]

Q-Wert mit kinetischen Energien und Anregungsenergie (*)\[{Q_{{{\rm{\beta }}^ - }{\rm{,A}}}} = {E_{{\rm{kin,e}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,}}\bar \nu }} + {E^*}\left( {\rm{Y}} \right) + {E_{{\rm{Rückstoß}}}}\left( {\rm{Y}} \right) + \Delta {E_{{\rm{Bindung,e}}}}\]

Animation

(*) Der berechnete Q-Wert enthält als Hauptbeiträge die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,e}}}}\) des emittierten Elektrons, die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,}}\bar \nu }}\) des Antineutrinos und eine eventuelle Anregungsenergie \({E^*}\left( {\rm{Y}} \right)\) des Tochterkerns. Ferner die in der Regel zu vernachlässigende Rückstoßenergie \({E_{{\rm{Rückstoß}}}}\left( {\rm{Y}} \right)\) von Y sowie die Differenz \(\Delta {E_{{\rm{Bindung}}{\rm{,e}}}}\) der Bindungsenergien der Hüllenelektronen in den Atomen X und Y.