Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)222 ist eine Zahl vom Typ 4·n + 2. Da sich bei natürlichen Zerfällen die Massezahl nur um 4 ändert gehört Radon zu derjenigen Reihe deren Ausgangselement auch vom Typ 4·n +2 ist. Also gehört Radon zur Uran-Radium-Reihe und zerfällt in das stabile Endelement \(_{82}^{206}{\rm{Pb}}\).
Zahl der Alpha-Zerfälle: (222– 206) : 4 = 4
Durch vier Alpha-Zerfälle verringert sich die Kernladungszahl um 4 · 2 = 8 Einheiten.
Ausgehend von der Kernladungszahl 86 des Radon wäre man damit bei der Kernladungszahl 86 - 8 = 78. Blei hat die Kernladungszahl 82 also müssen vieri β--Zerfälle stattfinden (beim β--Zerfall erhöht sich die Kernladungszahl um eine Einheit).
b)Die Zerfallsgleichung lautet\[_{88}^{226}{\rm{Ra}} \to _{86}^{222}{\rm{Rn}} + _2^4{\rm{\alpha }}\]
Für den Impuls des Alpha-Teilchens gilt
\[{p_\alpha } = {m_\alpha } \cdot {v_\alpha } \Rightarrow {p_\alpha }^2 = {m_\alpha }^2 \cdot {v_\alpha }^2 \Rightarrow \frac{{{p_\alpha }^2}}{{2 \cdot {m_\alpha }}} = \frac{1}{2} \cdot {m_\alpha } \cdot {v_\alpha }^2\quad(1)\]
Für die kinetische Energie gilt
\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,\alpha }}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_\alpha } \cdot {v_\alpha }^2\quad(2)\]
Ein Vergleich von (1) und (2) ergibt
\[\frac{{{p_\alpha }^2}}{{2 \cdot {m_\alpha }}} = {E_{{\rm{kin}}{\rm{,\alpha }}}} \Rightarrow {p_\alpha } = \sqrt {2 \cdot {m_\alpha } \cdot {E_{{\rm{kin}}{\rm{,\alpha }}}}}\]
und damit
\[{p_\alpha } = \sqrt {2 \cdot 4{,}00 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 4{,}78 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}=1{,}01 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{Ns}}\]
Da es sich um einen Zwei-Teilchen-Zerfall handelt, ist der Impuls des Radonkerns vom gleichen Betrag wie der des Alpha-Teilchens.
c)Allgemein gilt\[A\left( t \right) = \lambda \cdot N\left( t \right) \Leftrightarrow N\left( t \right) = \frac{{A\left( t \right)}}{\lambda } = \frac{{A\left( t \right) \cdot {T_{1/2}}}}{{\ln \left( 2 \right)}}\]
\[\Rightarrow N\left( t \right) = \frac{{50\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 3,8 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} = 2,4 \cdot {10^7}\]
d)Radon diffundiert aus den Baumaterialen und aus dem Erdreich in die Raumluft. Da gerade die Keller vom Erdreich umgeben sind, ist dort die Konzentration relativ hoch.
Da Radon gasförmig ist, kann es leicht eingeatmet werden. Die Alphastrahlung ist gerade bei Inkorporation aufgrund ihres hohen Bewertungsfaktors besonders gefährlich.
Schutz durch regelmäßiges Belüften der Räume (dadurch Austausch mit der Umgebungsluft, die weniger radonhaltig ist). Abdichten von Fugen und Rissen im Mauerwerk der Kellerräume.