Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Zerfallsgleichung:\[_{94}^{238}{\rm{Pu}} \to _{92}^{234}{\rm{U}}\;{\rm{ + }}\;_2^4{\rm{He}}\]Berechnung des \(Q\)-Wertes der Reaktion:\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{94}^{238}{\rm{Pu}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{92}^{234}{\rm{U}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_2^4{\rm{He}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{94}^{238}{\rm{Pu}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{92}^{234}{\rm{U}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {238{,}049558u - 234{,}040952u - 4{,}002603u} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}006003 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}006003 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 5{,}59\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
b)Die Wärmeleistung ergibt sich aus der Aktivität, das ist die Zahl der Zerfälle pro Sekunde der Probe mit der Masse \(m = 1{,}0\,{\rm{g}}\) multipliziert mit der Energie, welche bei einer Reaktion frei wird, d.h. dem Q-Wert:\[{{P_{{\rm{therm}}}} = A \cdot Q\; = \lambda \cdot N \cdot Q\;\; = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot \frac{m}{{{m_{A,0}}\left( {_{92}^{238}{\rm{Pu}}} \right)}} \cdot Q}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{P_{{\rm{therm}}}} = \frac{{\ln 2}}{{87{,}7 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}}}} \cdot \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{kg}}}}{{238{,}049560 \cdot 1{,}660540 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}} \cdot 5{,}591734 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}6022 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{J}} = 0{,}57\,{\rm{W}}}\]
c)Für den zeitlichen Verlauf der Aktivität gilt\[{A(t) = A(0) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}} \Leftrightarrow \frac{{A(t)}}{{A(0)}} = {e^{ - \lambda \cdot t}} = {e^{ - \frac{{\ln 2}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}}\]Einsetzen der gegebenene Werte liefert
\[{\frac{{A(t)}}{{A(0)}} = {e^{ - \frac{{\ln 2}}{{87{,}7 \cdot 365}} \cdot (250 + 687)}} = 0{,}980 = 1-0{,}020}\]Die Aktivität sinkt bis zum Ende der Mission um ca. 2{,}0%.
d)Für die elektrische Leistung der Thermoelemente gilt\[\eta = \frac{{P{*_{{\rm{elektr}}}}}}{{P{*_{{\rm{therm}}}}}} \Leftrightarrow P{*_{{\rm{elektr}}}} = \eta \cdot P{*_{{\rm{therm}}}}\]Berechnung der notwendigen thermischen Leistung \(P{*_{{\rm{therm}}}}\), die man benötigt, damit eine elektrische Leistung von \(0{,}1\,{\rm{kW}}\) zur Verfügung steht:\[{P{*_{{\rm{elektr}}}} = \eta \cdot P{*_{{\rm{therm}}}} \Leftrightarrow {\kern 1pt} P{*_{{\rm{therm}}}} = \frac{{P{*_{{\rm{elektr}}}}}}{\eta } \Rightarrow P{*_{{\rm{therm}}}} = \frac{{0{,}1 \cdot {{10}^3}}}{{0{,}055}}\,{\rm{W}} \approx 1{,}8 \cdot {{10}^3}\,{\rm{W}}}\]Bei \(1{,}0\,{\rm{g}}\) Plutonium ergab sich eine Wärmeleistung von ca. \(0{,}57\,{\rm{W}}\). Mit Hilfe des Dreisatzes kann daher die erforderliche Plutoniummasse \(m*\) berechnet werden, die man für eine elektrische Leistung von \(0{,}1\,{\rm{kW}}\) benötigt:\[\frac{{m*}}{{1{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{kg}}}} = \frac{{1{,}8 \cdot {{10}^3}}}{{0{,}57}}\,\frac{{\rm{W}}}{{\rm{W}}}\quad \Rightarrow \quad m* = \frac{{1{,}8 \cdot {{10}^3}}}{{0{,}57}} \cdot 1{,}0 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{kg}} \approx 3\,\rm{kg}\]
e)Die Halbwertszeit von \(^{210}{\rm{Po}}\) ist wesentlich kleiner als die von \(^{238}{\rm{Pu}}\). Am Ende der Mission (Dauer: \(937\,\rm{d} \approx 6{,}8 \cdot {T_{1/2}}\left( {{}^{210}{\rm{Po}}} \right)\)) würde nur noch ein Bruchteil der Anfangsleistung zur Verfügung stehen.
Hinweis (gehört nicht zur Lösung): Wenn Sie sich näher über den Marsrover Curiosity informieren wollen, so gehen Sie zu der folgenden Seite: http://de.wikipedia.org/wiki/Mars_Science_Laboratory
