Polonium 210 (Po-210) ist ein radioaktives Poloniumisotop, das mit einer Halbwertszeit von \(138{,}4\,\rm{d}\) zerfällt. Die Messung von \(\alpha\)- und \(\gamma\)-Spektrum des Zerfalls von Po-210 liefert folgende Ergebnisse:
In \(99{,}999\%\) aller Fälle zerfällt Po-210 unter Aussendung eines \(\alpha\)-Teilchens der Energie \(5{,}304\,\rm{MeV}\) zu Blei 206 (Pb-206) im Grundzustand.
In \(0{,}001\%\) aller Fälle zerfällt Po-210 unter Aussendung eines \(\alpha\)-Teilchens der Energie \(4{,}517\,\rm{MeV}\) zu einem angeregten Zustand von Pb-206; das angeregte Pb-206-Atom geht unter Aussendung eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(0{,}803\,\rm{Mev}\) in den Grundzustand über.
Das Zerfallsschema von Po-210 ist in Abb. 1 dargestellt.
Eine theoretische Begründung der Energie des \(\alpha\)-Teilchens mit \(4{,}517\,\rm{MeV}\) ist auf Schulniveau nicht möglich; wir setzen diesen Wert als gegeben voraus. Die beiden anderen Energien, d.h. die des \(\alpha\)-Teilchens mit \(5{,}304\,\rm{MeV}\) und die des \(\gamma\)-Quants mit \(0{,}803\,\rm{MeV}\) lassen sich hingegen rechnerisch bestätigen.
Die folgenden Teilaufgaben sollen zeigen, wie die entsprechenden Rechnungen aussehen. Wir nutzen dazu folgende Werte: \({m_{\rm{A}}\left( {_{84}^{210}{\rm{Po}}} \right) = 209{,}982873601\,\rm{u}}\) ; \({m_{\rm{A}}\left( {_{82}^{206}{\rm{Pb}}} \right) = 205{,}974465124\,\rm{u}}\) ; \({m_{\rm{A}}\left( {_{2}^{4}{\rm{He}}} \right) = 4{,}002603254\,\rm{u}}\).
a)
Gib die Reaktionsgleichung für den Zerfall von Po-210 an.
b)
Berechne den \(Q\)-Wert mit Atommassen beim Zerfall von Po-210.
c)
Bestätige rechnerisch mit Hilfe des Impuls- und des Energieerhaltungssatzes, dass der Zerfall von Po-210 zu Pb-206 durch Aussendung eines \(\alpha\)-Teilchen mit der kinetischen Energie \(5{,}304\,\rm{MeV}\) erfolgen kann.
d)
Bestätige rechnerisch mit Hilfe des Impuls- und des Energieerhaltungssatzes, dass der Zerfall von Po-210 zu Pb-206 durch Aussendung eines \(\alpha\)-Teilchen mit der kinetischen Energie \(4{,}517\,\rm{MeV}\) und eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(0{,}803\,\rm{MeV}\) erfolgen kann.
e)
Auch beim Aussenden des \(\gamma\)-Quants muss das Pb-206 - Atom durch den Rückstoß sowohl Impuls als auch kinetische Energie übernehmen.
Bestätige rechnerisch, dass diese Energie bei der Rechnung in Aufgabenteil d) zurecht vernachlässigt werden kann.
Im Ruhesystem des Po-210 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\alpha\)-Teilchen Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Pb-206 - Atom muss seinen Teil übernehmen.
Wir bezeichnen mit \(m_{\rm{He}}\) die Atommasse und mit \(p_{\rm{He}}\) den Impuls des \(\alpha\)-Teilchens bzw. mit \(m_{\rm{Pb}}\) die Atommasse und mit \(p_{\rm{Pb}}\) den Impuls des Pb-206 - Atoms nach dem Zerfall.
Aus dem Impulserhaltungssatz (IES)\[0 = p_{\rm{He}} + p_{\rm{Pb}} \quad (\rm{IES})\]ergibt sich für den Impuls \(p_{\rm{Pb}}\)\[p_{\rm{Pb}}=-p_{\rm{He}} \quad(1)\]Aus dem Energieerhaltungssatz (EES)\[Q= \frac{p_{\rm{He}}^2}{2 \cdot m_{\rm{He}}} + \frac{p_{\rm{Pb}}^2}{2 \cdot m_{\rm{Pb}}} \quad(\rm{EES})\]erhalten wir mit \((1)\)\[Q = \frac{p_{\rm{He}}^2}{2 \cdot m_{\rm{He}}} + \frac{\left(-p_{\rm{He}}\right)^2}{2 \cdot m_{\rm{Pb}}} \]Formen wir die rechte Seite dieser Gleichung durch Ausklammern geschickt um, so erhalten wir\[Q = \frac{p_{\rm{He}}^2}{2 \cdot m_{\rm{He}}} \cdot \left( {1 + \frac{m_{\rm{He}}}{m_{\rm{Pb}}}} \right)\]und weiter\[\underbrace {\frac{p_{\rm{He}}^2}{2 \cdot m_{\rm{He}}}}_{E_{\rm{kin,He}}} = \frac{Q}{1 + \frac{m_{\rm{He}}}{m_{\rm{Pb}}}}\]Damit ergibt sich für die kinetische Energie des \(\alpha\)-Teilchens nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{E_{{\rm{kin,He}}}} = \frac{{5{,}4075\,{\rm{MeV}}}}{{1 + \frac{{4{,}002603\,{\rm{u}}}}{{205{,}974465\,{\rm{u}}}}}} = 5{,}304\, {\rm{MeV}}\]Dieser Wert stimmt mit dem gemessenen Wert überein.
Für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,Pb}}\) ergibt sich analog\[E_{\rm{kin,Pb}}=\frac{Q}{1 + \frac{m_{\rm{Pb}}}{m_{\rm{He}}}}\]und nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{E_{{\rm{kin,Pb}}}} = \frac{{5{,}4075\,{\rm{MeV}}}}{{1 + \frac{205{,}974465\,\rm{u}}{4{,}002603\,\rm{u}}}} = 0{,}103\, {\rm{MeV}}\]
d)
Im Ruhesystem des Po-210 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\alpha\)-Teilchen Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Pb-206 - Atom muss seinen Teil übernehmen.
Wir bezeichnen mit \(m_{\rm{He}}\) die Atommasse und mit \(p_{\rm{He}}\) den Impuls des \(\alpha\)-Teilchens bzw. mit \(m_{\rm{Pb}}\) die Atommasse und mit \(p_{\rm{Pb}}\) den Impuls des Pb-206 - Atoms nach dem Zerfall.
Aus dem Impulserhaltungssatz\[0 = p_{\rm{He}} + p_{\rm{Pb}} \quad (\rm{IES})\]ergibt sich für den Impuls \(p_{\rm{Pb}}\)\[p_{\rm{Pb}} = -p_{\rm{He}}\quad(1)\]Für die kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,He}}\) gilt\[E_{\rm{kin,He}} = \frac{{p_{\rm{He}}}^2}{2\cdot m_{\rm{He}}} \Rightarrow {p_{\rm{He}}}^2 = 2 \cdot E_{\rm{kin,He}} \cdot m_{\rm{He}} \quad(2)\]Damit gilt für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,Pb}}\)\[{E_{{\rm{kin}},{\rm{Pb}}}} = \frac{{{p_{{\rm{Pb}}}}^2}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Pb}}}}}}\underbrace = _{(1)}\frac{{{{\left( { - {p_{{\rm{He}}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Pb}}}}}}\underbrace = _{(2)}\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}},{\rm{He}}}} \cdot {m_{{\rm{He}}}}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Pb}}}}}} = \frac{{{m_{{\rm{He}}}}}}{{{m_{{\rm{Pb}}}}}} \cdot {E_{{\rm{kin}},{\rm{He}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{kin,Pb}}}} = \frac{{4{,}002603\,{\rm{u}}}}{{205{,}974465\,{\rm{u}}}} \cdot 4{,}517\,{\rm{MeV}} = 0{,}088\,{\rm{MeV}}\]Aus dem Energieerhaltungssatz\[Q=E_{\rm{kin,He}}+E_{{\rm{kin,Pb}}}+E_{\gamma}\quad(\rm{EES})\] ergibt sich für die Energie \(E_{\gamma}\)\[E_{\gamma}=Q-E_{\rm{kin,He}}-E_{{\rm{kin,Pb}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E_{\gamma}=5{,}408\,{\rm{MeV}}-4{,}517\,{\rm{MeV}}-0{,}088\,{\rm{MeV}}=0{,}803\,{\rm{MeV}}\]Dieser Wert ist exakt der gemessenen Wert.
e)
Im Ruhesystem des Pb-206 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\gamma\)-Quant Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Pb-206 - Atom muss seinen Teil übernehmen.
Wir bezeichnen mit \(p_{\gamma}\) den Impuls und mit \(E_{\gamma}\) die Energie des \(\gamma\)-Quants bzw. mit \(p_{\rm{Pb}}\) den Impuls und mit \(E_{\rm{kin,Pb}}\) die kinetische Energie des Pb-206 - Atoms nach dem Aussenden des \(\gamma\)-Quants.
Für den Impuls \(p_{\gamma}\) gilt\[p_{\gamma}=\frac{E_{\gamma}}{c}\]Aus dem Impulserhaltungssatz\[0 = p_{\rm{Pb}} + p_{\gamma} \quad (\rm{IES})\]ergibt sich für den Impuls \(p_{\rm{Pb}}\)\[p_{\rm{Pb}}=-\frac{E_{\gamma}}{c}\quad(1)\]Für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,Pb}}\) gilt\[E_{\rm{kin,Pb}}=\frac{p_{\rm{Pb}}^2}{2 \cdot m_{\rm{Pb}}}\]und mit \((1)\)\[{E_{{\rm{kin}},{\rm{Pb}}}} = \frac{{{{\left( { - \frac{{{E_\gamma }}}{c}} \right)}^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Pb}}}}}} = \frac{{{E_\gamma }^2}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Pb}}}} \cdot {c^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin,Pb}}}} &=& \frac{{{{\left( {0{,}803\,{\rm{MeV}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 205{,}974465\,{\rm{u}} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& \frac{{0{,}803 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{ - 19}\,{\rm{J}} \cdot 0{,}803 \cdot 10^6\,{\rm{eV}}}}{{2 \cdot 205{,}974465 \cdot 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& 1{,}7\,{\rm{eV}}\end{eqnarray}\]Diese Energie in der Größenordnung von einigen \(\rm{eV}\) kann gegenüber den Energien im \(\rm{MeV}\)-Bereich vernachlässigt werden.