Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Zentripetalkraft

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine gleichförmige Kreisbewegung benötigt immer eine zum Drehzentrum gerichtete Kraft; eine solche Kraft bezeichnen wir als Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\).
  • Bewegt sich ein Körper der Masse \(m\) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) mit der Bahngeschwindigkeit \(v\), dann muss auf den Körper eine Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) mit dem Betrag \(F_{\rm{ZP}} = m \cdot {\frac{v^2}{r}}\) wirken.
  • Bewegt sich ein Körper der Masse \(m\) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), dann muss auf den Körper eine Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) mit dem Betrag \(F_{\rm{ZP}} = m \cdot \omega^2 \cdot r\) wirken.
Aufgaben Aufgaben

"Hast du Kreisbahn - brauchst du Zentripetalkraft"

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Notwendigkeit einer zum Drehzentrum gerichteten Kraft für eine Kreisbewegung

Wenn du die Animation in Abb. 1 mit dem Startknopf startest, dann kannst du einen Körper bei einer gleichförmigen Kreisbewegung beobachten.

In rot eingezeichnet siehst du den Kraftpfeil für eine Kraft \(\vec F\), die auf den Körper wirkt. Diese Kraft greift im Schwerpunkt des Körpers an, ist zum Drehzentrum hin gerichtet und hat einen konstanten Betrag.

Dass diese Kraft auf den Körper für die Kreisbewegung absolut notwendig ist kannst du beobachten, wenn du die Checkbox "Kraft" deaktivierst und damit die Kraft nicht mehr auf den Körper wirkt: der Körper verlässt sofort die Kreisbahn und bewegt sich tangential zur Kreisbahn geradlinig gleichförmig weiter, so wie es der Trägheitssatz, das 1. Axiom von NEWTON, besagt.

Zentripetalkraft

Damit sich ein Körper gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, muss auf den Körper eine Kraft wirken, die während der Kreisbewegung ständig zum Drehzentrum gerichtet und betraglich konstant ist.

Diese Kraft kann z.B. wie bei einem Karussell die Zugkraft eines Seils oder einer Stange zwischen dem Drehzentrum und dem Körper sein, aber auch z.B. wie bei der Kurvenfahrt eines Autos die Haftreibung zwischen den Reifen des Autos und der Straße.

Wenn eine Kraft diese Aufgabe übernimmt und einen Körper auf eine Kreisbahn zwingt, bezeichnen wir sie als Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\). Wir sagen dann oft auch "die Kraft wirkt als Zentripetalkraft".

Hinweise
  • Noch einmal: Die Zentripetalkraft ist keine spezielle Kraftart wie z.B. die Gewichtskraft oder die elektrische Kraft - es wirken immer spezielle Kräfte als Zentripetalkraft.
  • Oft wirken mehrere spezielle Kräfte gemeinsam als Zentripetalkraft: Bei der Kurvenfahrt mit deinem Fahrrad z.B. wirken deine Gewichtskraft, die Normalkraft der Straße und die Haftreibung zwischen Reifen und Straße gemeinsam als Zentripetalkraft.

Damit sich ein Körper gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt muss der Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) der Zentripetalkraft genau auf die Masse \(m\) des Körpers, den Radius \(r\) der Kreisbahn und die Geschwindigkeit des Körpers - sei es die Bahngeschwindigkeit \(v\) oder die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) - abgestimmt sein. Die folgenden Formeln geben jeweils den richtigen Wert für die Zentripetalkraft an.

 

Betrag der Zentripetalkraft bei bekannter Bahngeschwindigkeit
Masse
m
Bahngeschwindigkeit
v
Bahnradius
r
Betrag der Zentripetalkraft
FZP
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 2 Abhängigkeit des Betrags der Zentripetalkraft von der Bahngeschwindigkeit

Bewegt sich ein Körper der Masse \(m\) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) mit der Bahngeschwindigkeit \(v\), dann muss auf den Körper eine Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) mit dem Betrag\[F_{\rm{ZP}} = m \cdot {\frac{v^2}{r}} \quad (1)\]wirken.

Die Animation in Abb. 2 zeigt die Abhängigkeit des Betrags der Zentripetalkraft von den Größen \(m\), \(r\) und - wegen des quadratischen Einflusses - besonders \(v\).

Betrag der Zentripetalkraft bei bekannter Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Winkelgeschwindigkeit
ω
Bahnradius
r
Betrag der Zentripetalkraft
FZP
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 3 Abhängigkeit des Betrags der Zentripetalkraft von der Winkelgeschwindigkeit

Bewegt sich ein Körper der Masse \(m\) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), dann muss auf den Körper eine Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) mit dem Betrag\[F_{\rm{ZP}} = m \cdot \omega^2 \cdot r \quad (2)\]wirken.

Die Animation in Abb. 3 zeigt die Abhängigkeit des Betrags der Zentripetalkraft von den Größen \(m\), \(r\) und - wegen des quadratischen Einflusses - besonders \(\omega\).

Hat der Betrag von \(F_{\rm{ZP}}\) nicht mehr den Wert, der durch die Formeln \((1)\) oder \((2)\) vorgegeben ist, so hat dies in der Regel einen Einfluss auf die Kreisbewegung:

  • Ist der Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) zu klein, so vergrößert sich der Bahnradius und der Körper entfernt sich von Drehzentrum.
  • Ist der Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) dagegen zu groß, so verkleinert sich der Bahnradius und der Körper nähert sich dem Drehzentrum.

Strategie beim Lösen von Aufgaben zur Kreisdynamik

Aufgaben zur Kreisdynamik bereiten in der Regel beträchtliche Schwierigkeiten, da wie bereits gesagt unter Umständen mehrere Kräfte gemeinsam als Zentripetalkraft wirken. Das Zusammenwirken dieser Kräfte, die möglicherweise noch in verschiedene Richtungen zeigen und deshalb vektorielle addiert werden müssen, ist oft nicht ganz leicht zu durchschauen.

Folgende Aspekte solltest du dir bei Aufgaben zur Kreisdynamik aber immer wieder bewusst machen:

  • Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn, dann müssen auf den Körper eine oder mehrere Kräfte (z.B. Seilkraft, Haftreibung, Gewichtskraft, Normalkraft, ...) als Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) wirken.
  • Die Gesamtkraft dieser Kräfte - du erhältst sie gegebenenfalls durch vektorielle Addition der einzelnen Kräfte - muss zum Drehzentrum bzw. einer Drehachse hin gerichtet sein.
  • Die Gesamtkraft dieser Kräfte muss exakt den Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) haben, der für die Kreisbewegung bei bekannten Werten für \(m\), \(r\) und \(v\) bzw. \(\omega\) benötigt wird.