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Aufgabe

Rutschpartie

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Kind rutscht vom höchsten Punkt eines Schneehaufens mit halbkreisförmigem Querschnitt – ohne Reibung – herab.

a)Wie groß ist die Geschwindigkeit des Kindes nach dem Durchlaufen des Bogens \(AB\)? Drücken Sie \(v\) durch \(r\), \(g\) und \(\alpha \) aus.

b)Berechnen Sie die Normalkraft, mit der das Kind (Masse \(m\)) auf den Schneehaufen drückt, in Abhängigkeit von den gegebenen Größen.

c)Bei welchem Winkel \(\alpha_s \) löst sich das Kind von der Oberfläche? Geben Sie die Ablösebedingung an und berechnen Sie daraus \(\alpha_s \).

d)Welche Höhe (ausgedrückt als Bruchteil von \(r\)) hat das Kind beim Winkel \(\alpha_s \) durchfallen?

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a)Wenn das Kind vom höchsten Punkt des Schneehaufens aus um den Höhenunterschied \(\Delta h\) herunterrutscht, so verliert es dabei potenzielle Energie und gewinnt gleichzeitig kinetische Energie und damit Geschwindigkeit. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt, dass die verlorene potenzielle Energie \(m \cdot g \cdot \Delta h\) gleich der gewonnenen kinetischen Energie \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\) ist:
\[m \cdot g \cdot \Delta h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\quad(1)\]
Für den Höhenunterschied \(\Delta h\) gilt nach dem Cosinussatz im Rechtwinkligen Dreieck
\[\Delta h = r - r \cdot \cos \left( \alpha  \right) = r \cdot \left( {1 - \cos \left( \alpha  \right)} \right)\]
Damit wird Gleichung (1) zu
\[m \cdot g \cdot r \cdot \left( {1 - \cos \left( \alpha  \right)} \right) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Leftrightarrow g \cdot r \cdot \left( {1 - \cos \left( \alpha  \right)} \right) = \frac{1}{2} \cdot {v^2}\]
womit sich schließlich ergibt
\[v = \sqrt {2 \cdot g \cdot r \cdot \left( {1 - \cos \left( \alpha  \right)} \right)} \]

b)Aus Sicht des Kindes wirken auf es zwei Kräfte: zum einen die Gewichtskraft \(\overrightarrow {{F_G}} \) und zum anderen die Fliehkraft (oder Zentrifugalkraft) \(\overrightarrow {{F_{ZF}}} \).

Dabei wirkt die Fliehkraft stets senkrecht zur Oberfläche (Kreisbahn) nach Außen
\[{F_{ZF}} = m \cdot \frac{v^2}{r}\]
und von der Gewichtskraft ist für das Verbleiben auf dem Schneehaufen nur die durch die "schiefe Ebene" bedingte, zur Oberfläche senkrechte Komponente \(\overrightarrow {{F_ \bot }} \) nach Innen interessant (die andere, zur Oberfläche parallele Komponente \(\overrightarrow {{F_\parallel }} \) bewirkt das weitere Herunterrutschen)
\[{F_ \bot } = {F_G} \cdot \cos \left( \alpha  \right) = m \cdot g \cdot \cos \left( \alpha  \right)\]
Da die beiden Kräfte entgegengesetz gerichtet sind, ergibt sich für die Normalkraft (das ist die Kraft, mit der das Kind insgesamt noch auf dem Schneehaufen gehalten wird)
\[{F_N} = {F_ \bot } - {F_{ZF}} = m \cdot g \cdot \cos \left( \alpha  \right) - m \cdot \frac{{{v^2}}}{r}\]
und mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a)
\[{F_N} = m \cdot g \cdot \cos \left( \alpha  \right) - m \cdot \frac{{2 \cdot g \cdot r \cdot \left( {1 - \cos \left( \alpha  \right)} \right)}}{r}\]
Ausmultiplizieren der Klammer, Ausklammern von \(m\) und \(g\) und Zusammenfassen in der Klammer liefert dann
\[{F_N} = m \cdot g \cdot \left( {3 \cdot \cos \left( \alpha  \right) - 2} \right)\]

c)Das Kind löst sich dann von dem Schneehaufen ab, wenn die in Teilaufgabe b) bestimmte Normalkraft \(\overrightarrow {{F_N}} \) verschwindet, d.h das Kind nicht mehr auf den Schneehaufen gedrückt wird (das ist natürlich dann der Fall, wenn die Zentrifugalkraft \(\overrightarrow {{F_{ZF}}} \) genau so groß wie die Kraft \(\overrightarrow {{F_ \bot }} \) ist):
\[m \cdot g \cdot \left( {3 \cdot \cos \left( {{\alpha _S}} \right) - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \cos \left( {{\alpha _S}} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {{\alpha _S}} \right) = \frac{2}{3}\]
Hieraus ergibt sich ein Winkel von \({{\alpha _S} = 48^\circ }\)

d)Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe c) lässt sich nun leicht die gesuchte Höhe \(\Delta h\) berechnen:
\[\Delta h = r \cdot \left( {1 - \cos \left( {{\alpha _S}} \right)} \right) = r \cdot \left( {1 - \frac{2}{3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot r\]