Kreisbewegung

Mechanik

Kreisbewegung

  • Was ist eigentlich die Zentrifugalkraft?
  • Wie komme ich gefahrlos durch den Looping?
  • Welche Kraft erfährt ein Formel-1-Fahrer in einer Kurve?

Die Kreisbewegung ist neben der geradlinigen (linearen) Bewegung und der harmonischen Schwingung eine der wichtigsten Bewegungstypen. Unsere Gestirne bewegen sich annähernd auf Kreisbahnen, die meisten unserer Fortbewegungsmittel beruhen auf der Rotation von Rädern, bei sehr vielen Geräten im Haushalt, bei Werkzeugmaschinen usw. spielt die Kreisbewegung eine wichtige Rolle.

Der Einfachheit halber wollen wir zunächst nur die gleichförmige Kreisbewegung eines Massenpunktes beschreiben. Zwar ist anschaulich klar, was der Unterschied zwischen einer gleichförmigen und einer ungleichförmigen Kreisbewegung ist, wir werden aber im weiteren Verlauf unserer Überlegungen Begriffe erarbeiten, mit denen wir den Begriff "gleichförmig" bei einer Kreisbewegung genauer definieren können.

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1 links eine gleichförmige Kreisbewegung, rechts eine ungleichförmige Kreisbewegung

Glücklicherweise ist die Beschränkung auf die gleichförmige Kreisbewegung in der Praxis nicht relevant, da auch jede ungleichförmige Kreisbewegung kurzfristig wie eine gleichförmige Kreisbewegung beschrieben werden kann und wir so auch kompliziertere Probleme wie z.B. die Durchfahrt des Loopings in einer Achterbahn, die keine  gleichförmige Kreisbewegung ist, berechnen können.

Beschreibung einer Kreisbewegung durch Ortsvektor und Geschwindigkeitsvektor

In der nebenstehenden Animation sehen Sie einen Körper (rot), der sich im mathematisch positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn) auf einem Kreis mit konstanter Umlaufgeschwindigkeit bewegen kann.

Durch die Taste "schneller Durchlauf" können Sie die Kreisbewegung auslösen.

Mit der Taste "Größen" lassen sich wichtige Größen zur Beschreibung der gleichförmigen Kreisbewegung einblenden.

Umlaufdauer T

  • Zeitdauer für einen vollen Umlauf des Körpers;
  • Für die Einheit gilt z.B. \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\) .
 

Frequenz f

  • Die Frequenz macht eine Aussage über die Zahl der Umläufe pro Zeiteinheit.
\[{\rm{Frequenz}} = \frac{{{\rm{Anzahl}}\;{\rm{der}}\;{\rm{Umläufe}}}}{{{\rm{dafür}}\;{\rm{benötigte}}\;{\rm{Zeit}}}}\;:\;f = \frac{N}{t}\]
  • Speziell für einen Umlauf \({N = 1}\) und \({t = T}\) gilt dann:
\[f = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}\]
  • Für die Einheit der Frequenz gilt:
\[\left[ f \right] = \frac{1}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Hz}}\]

In Erinnerung an Heinrich Hertz - dem Entdecker der elektromagnetischen Wellen - wird die Einheit der Frequenz mit \(1{\rm{Hz}}\) bezeichnet.

Die Uhr in der Animation benötigt \(1,0{\rm{s}}\) für einen vollen Umlauf. Bestimme für den roten Körper in der Animation die Umlaufdauer \(T\) und die Frequenz \(f\).

Bahnradius r

  • r ist Entfernung des Körpers vom Mittelpunkt.
  • Für die x-Komponente rx gilt: rx = r · cos φ
  • Für die y-Komponente ry gilt: ry = r · sin φ
 

Bahngeschwindigkeit v
Wie bei der gleichförmigen linearen Bewegung gilt auch hier:
\[{\rm{Geschwindigkeit}} = \frac{{{\rm{zurückgelegt}}\;{\rm{Strecke}}}}{{{\rm{dafür}}\;{\rm{benötigte}}\;{\rm{Zeit}}}}\;:\;v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\]
Für einen Umlauf gilt dann
\[v = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{T} = 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot f\]
 

 

Der Radius der Kreisbahn in obiger Animation sei \(0,20{\rm{m}}\). Bestimme die Bahngeschwindigkeit \(v\) des roten Punktes.

Kreisbewegung zweier Kugeln mit unterschiedlicher Bahn-, aber gleicher Winkelgeschwindigkeit

Beachte:

  • Die Bahngeschwindigkeit des roten Körpers ist größer als die des blauen Körpers.
  • Die Winkelgeschwindigkeit beider Körper ist gleich (der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten den gleichen Winkel).

Winkelgeschwindigkeit ω

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell der Winkel überstrichen wird:
\[{\rm{Winkelgeschwindigkeit}} = \frac{{{\rm{überstrichener}}\;{\rm{Winkel}}}}{{{\rm{dafür}}\;{\rm{benötigte}}\;{\rm{Zeit}}}}\;:\;\omega  = \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}}\]
Für einen Umlauf gilt dann
\[\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T} = 2 \cdot \pi  \cdot f\]

Hinweise:

  • Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit ω wird der Winkel φ im Bogenmaß angegeben.
  • Die Einheit für die Winkelgeschwindigkeit ist 1/s. Die Einheit 1 Hz wird nur für die Frequenz f verwendet.
  • Ausführlich geschrieben bedeutet ω:

\[\omega  = \frac{{{\varphi _e} - {\varphi _a}}}{{{t_e} - {t_a}}}\]

  • Wählt man den Startpunkt für die Kreisbewegung den Winkel 0°, so gilt:
    Für ta = 0 und φa = 0. Bei Weglassung der Indizies vereinfacht sich die obige Formel für ω:

\[\omega  = \frac{{{\varphi _e} - {\varphi _a}}}{{{t_e} - {t_a}}} = \frac{{{\varphi _e}}}{{{t_e}}} = \frac{\varphi }{t}\,\,oder\,\,\varphi  = \omega  \cdot t\]

Bestimme die Winkelgeschwindigkeit in der Animation ganz oben.

Nochmals Bahngeschwindigkeit v

Mit der Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit kann die Umlaufgeschwindigkeit auch in der folgenden Form geschrieben werden:

\[v = r \cdot \omega \]
 

Bogen s

\[s = r \cdot \varphi \]

Beachten Sie, dass zur Berechnung des Bogens s der Winkel im Bogenmaß angegeben wird.

Zusammenfassung
\[f = \frac{1}{T}\] \[\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\] \[v = r \cdot \omega \]

Das Wichtigste auf einen Blick

Eine Kreisbewegung benötigt immer eine zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\).

Für den Betrag der Zentripetalkraft gilt \({{F_{\rm{ZP}}}}=m\cdot r\cdot \omega^2=m\cdot \frac{v^2}{r}\).

"Hast du Kreisbahn - brauchst du Zentripetalkraft"

Damit ein Körper eine Kreisbahn durchläuft, muss auf ihn eine zum Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\) wirken (wenn man den Vorgang vom Laborsystem aus betrachtet). Für den Betrag der Zentripetalkraft sollte man die beiden folgenden Beziehungen kennen:

Formeln für die Zentripetalkraft

Für den Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) der Zentripetalkraft gilt\[{F_{\rm{ZP}}} = m \cdot r \cdot {\omega ^2}\tag{1}\]wobei \(m\): Masse des rotierenden Körpers,  \(r\): Radius der Kreisbahn und \(\omega\): Winkelgeschwindigkeit.

\[{F_{\rm{ZP}}} = m \cdot {\frac{v^2}{r}}\tag{2}\]wobei \(m\): Masse des rotierenden Körpers,  \(r\): Radius der Kreisbahn und \(v\): Bahngeschwindigkeit.

Besonderheiten der Zentripetalkraft

Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung
Abb.
1
Zentripetalkraft zeigt zum Mittelpunkt

Die Zentripetalkraft ist keine spezielle Kraftart wie z.B. die Gewichtskraft oder die elektrische Kraft. Je nach betrachtetem Beispiel wird die Zentripetalkraft durch eine oder mehrere "äußere" Kräfte gebildet.

Die Zentripetalkraft \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\) ist eine gerichtete Größe, wird also durch einen Pfeil dargestellt.

Der Angriffspunkt von \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\) (also der Startpunkt des Pfeils) ist der Schwerpunkt des rotierenden Körpers.

Die Richtung von \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\) (also die Richtung des Pfeils) ist zum Mittelpunkt des Kreises gerichtet.

Der Betrag von \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\) (also die Länge des Pfeils) ist durch die Formeln im Kasten bestimmt.

Ändert sich der Betrag von \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\), so hat dies in der Regel einen Einfluss auf die Kreisbewegung:
Wird z.B. der Betrag von \({\vec{ F_{\rm{ZP}}}}\) kleiner, so hat dies bei gleicher Bahngeschwindigkeit und gleicher Masse eine Vergrößerung des Bahnradius zur Folge.
Soll die Bahnkrümmung (also der Betrag von \(r\)) eines Körpers beibehalten werden, obwohl die Bahngeschwindigkeit zunimmt, so muss die Zentripetalkraft erhöht werden.

Ist keine Zentripetalkraft \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\) mehr vorhanden, so bewegt sich der zunächst rotierende Körper aufgrund des Trägheitssatzes beim Aussetzen der Zentripetalkraft geradlinig weiter, d.h. fliegt tangential zur Kreisbahn weg (vgl. Funken bei einer Schleifscheibe).

Strategie beim Lösen von Aufgaben zur Kreisdynamik

Aufgaben zur Kreisdynamik bereiten in der Regel beträchtliche Schwierigkeiten, da unter Umständen mehrere Kräfte auftreten, deren Zusammenspiel nicht ganz leicht zu durchschauen ist.

Folgende Aspekte solltest du dir bei den Aufgaben immer wieder bewusst machen:

Liegt eine Kreisbahn vor, so muss eine Zentripetalkraft \({\vec {F_{\rm{ZP}}}}\) vorhanden sein.

Diese Zentripetalkraft \({\vec{F_{\rm{ZP}}}}\) wird durch die vektorielle Addition äußerer Kräfte (z.B. Gewichtskraft, Bodenkraft, Schnurkraft usw.) gebildet.

Begründung der Vorgehensweise

Als aufmerksamer Leser der bisherigen Ausführungen über die gleichförmige Kreisbewegung werden Sie sich fragen, warum wir uns mit der Bahngeschwindigkeit der gleichförmigen Kreisbewegung noch auseinandersetzen müssen, da wir den Betrag der Bahngeschwindigkeit (\(v = r \cdot \omega \)) doch bereits kennen.

Aus dem nebenstehenden Bild vom Funkenflug bei einer Schleifscheibe könnte man intuitiv entnehmen, dass die Geschwindigkeitsrichtung der Funken, welche die Schleifscheibe gerade "verlassen" tangential zum Scheibenrand ist. Unter Verwendung des Vektorbegriffs könnte man dann formulieren:

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Vektor der Bahngeschwindigkeit stets senkrecht dem Radiusvektor, die Länge des Vektors der Bahngeschwindigkeit ist stets gleich \(v = r \cdot \omega \).

Die folgende Animation stellt diese Aussage bildlich dar.

Geschwindigkeitsvektor einer Kreisbewegung

Warum wir Sie aber trotzdem mit einem anderen, nicht ganz leichten, Weg zur Gewinnung der Aussagen über die Bahngeschwindigkeit belästigen, hat zwei Gründe:

  • Sie sollen erste Fertigkeiten im Umgang mit Vektoren (gerichtete Größen) erwerben.

  • Wenn Sie diesen - zugegeben etwas umständlichen - Weg zur Gewinnung des Vektors der Bahngeschwindigkeit durchgearbeitet haben, verstehen Sie leichter wie man zur Beschleunigung bei der gleichförmigen Kreisbewegung gelangt.

Probleme

Bei der Kreisbewegung handelt es sich um eine Bewegung in der Ebene. Hier reicht es nicht - wie bei der linearen Bewegung - eine Achse (meist x-Achse) festzulegen längs derer sich die Bewegung abspielt. Bei Bewegungen in der Ebene braucht man zwei Achsen, bei Bewegungen im Raum drei Achsen, um zu einer eindeutigen Beschreibung des Bewegungsablaufes zu kommen. Als geeignetes Hilfsmittel zur Beschreibung von mehrdimensionalen Bewegungen stellt die Mathematik die Vektorrechnung zur Verfügung, die jedoch im Mathematikunterricht nur noch stiefmütterlich behandelt wird.

Außerdem bräuchte man zu einer mathematisch einwandfreien Behandlung von Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung Grundlagen aus der Infinitesimalrechnung, die zu diesem Zeitpunkt in vielen Bundesländern noch nicht behandelt wurde. Wir versuchen daher auf möglichst anschauliche Weise an das Problem heranzuführen, bei der die mathematische Strenge hintan gestellt wird.

Richtung des Vektors der Momentangeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung

Die mittlere Geschwindigkeit wird bei der Kreisbewegung ganz ähnlich wie bei der linearen Bewegung festgelegt. Allerdings müssen bei dieser ebenen Bewegung nun Vektoren (gerichtete Größen) für Ort und Geschwindigkeit verwendet werden.
\[\overrightarrow { < v > }  = \frac{{\vec r({t_2}) - \vec r({t_1})}}{{{t_2} - {t_1}}} \Rightarrow \overrightarrow { < v > }  = \frac{{\overrightarrow {\Delta r} }}{{\Delta t}}\]

Hinweis: Man könnte auch zur Beschreibung der linearen Bewegung Vektoren verwenden, wie auf der folgenden Seite erläutert wird. In der Regel verzichtet man jedoch auf diese Verkomplizierung, sie ist jedoch als Vorstufe für das Verständnis der vektoriellen Behandlung der Kreisbewegung durchaus sinnvoll.

Grundidee für die Herleitung des Terms für den Betrag der Bahngeschwindigkeit

 

Formeln zur Berechnung von Δr und Δs: \[\Delta r = 2 \cdot r \cdot \sin \left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)\] \[\Delta s = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot \Delta \varphi }}{{360^\circ }} \cdot r\]

Aufgabe

Beantworten Sie nach dem Studium der Animation folgende Fragen:

a)

Welche Richtungsbeziehung gilt zwischen dem Vektor \(\overrightarrow {\Delta r} \) und dem Vektor der mittleren Geschwindigkeit \(\overrightarrow { < v > } \)?

b)

Wie gelangt man vom Vektor der mittleren Geschwindigkeit in einem Zeitintervall (anschaulich) zum Vektor der Momentangeschwindigkeit in einem Zeitpunkt?

c)

Welche Richtungsbeziehung gilt zwischen dem Radiusvektor \(\vec r\) und dem Vektor der Momentangeschwindigkeit \(\vec v\)?

d)

Welchen Trend zeigt der Unterschied zwischen der Länge Δs des Bogens und der zugehörigen Länge des Vektors \(\overrightarrow {\Delta r} \), wenn man zu immer kürzeren Zeiten Δt und damit zu immer kleineren Winkeln Δφ zwischen den beiden betrachteten Radiusvektoren geht?

Aus der Animation ist ersichtlich, dass der Vektor \(\overrightarrow {\Delta r} \) die gleiche Richtung besitzt wie der Vektor der mittleren Geschwindigkeit \(\overrightarrow { < v > } \). Den Grenzübergang vom Vektor der mittleren Geschwindigkeit zum Vektor der Momentangeschwindigkeit symbolisiert man in der Mathematik durch den folgenden Ausdruck:
\[\vec v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \overrightarrow { < v > }  \Rightarrow \vec v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\overrightarrow {\Delta r} }}{{\Delta t}}\]
In Worten: Der Vektor der Momentangeschwindigkeit ergibt sich aus dem Grenzwert (Limes), dem die Vektoren der mittleren Geschwindigkeit zustreben, wenn das Zeitintervall zwischen den beiden betrachteten Radiusvektoren gegen Null strebt."

Der Vektor der Momentangeschwindigkeit \(\vec v\) hat die gleiche Richtung wie der Vektor \(\overrightarrow {\Delta r} \) für den Fall, dass \({\Delta t \to 0}\) geht. Dabei ist \({\Delta t \to 0}\) gleichbedeutend mit \({\Delta \varphi  \to 0}\). Die obige Animation legt nahe, dass für \({\Delta \varphi  \to 0}\) der Winkel \(\alpha \) zwischen \(\vec r\) und \(\overrightarrow {\Delta r} \) und somit \(\vec v\) gegen \(90^\circ \) strebt.

Betrag des Vektors der Momentangeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung

Für den Betrag der Momentangeschwindigkeit gilt:
\[v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta r}}{{\Delta t}}\]
Wie die Animation zeigt geht für \({\Delta \varphi  \to 0}\) und damit für \({\Delta t \to 0}\) die Länge von \({\Delta r}\) in die Länge des Bogens \({\Delta s}\) über. Somit gilt:
\[v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \varphi  \to 0} \frac{{\Delta r}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{r \cdot \Delta \varphi }}{{\Delta t}} = r \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}} = r \cdot \omega \]

Momentangeschwindigkeit bei einer gleichförmigen Kreisbewegung

Der Vektor der Momentangeschwindigkeit und der Radiusvektor stehen aufeinander senkrecht:
\[\overrightarrow v    \bot   \overrightarrow r \]

Der Betrag der Momentangeschwindigkeit ist das Produkt aus Radius und Winkelgeschwindigkeit:
\[v = r \cdot \omega \]

Merkregel: Gewinnung des Geschwindigkeitsvektors aus dem Radiusvektor

Richtung: Drehe den Radiusvektor \({\vec r}\) im Gegenuhrzeigersinn um \(90^\circ \)

Betrag: Multipliziere den Betrag des Radiusvektors \(r\) mit \(\omega \)

 

Dieses Ergebnis für den Betrag der Momentangeschwindigkeit, welches wir durch etwas umständliche "geometrisch-infinitesimale" Überlegungen gewonnen haben, deckt sich mit dem wesentlich schneller gewonnenen Ergebnis von der Seite über skalare Größen. Allerdings gelangen wir mit der zuletzt gezeigten Methode auch zu Aussagen über den Beschleunigungsvektor bei der gleichförmigen Kreisbewegung.

Vordergründig könnte man meinen, dass bei der gleichförmigen Kreisbewegung (konstanter Geschwindigkeitsbetrag) keine Beschleunigung auftritt. Bei einer geradlinigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ist doch die Beschleunigung auch gleich Null. Jedoch muss man bedenken, dass bei der Kreisbewegung sich wohl die Länge des Geschwindigkeitspfeils (Betrag) nicht ändert, jedoch liegt ein ständiger Wechsel der Geschwindigkeitsrichtung vor und dies ist nur möglich, wenn eine Beschleunigung vorhanden ist.

Merke: Ändert sich bei einer Bewegung der Betrag oder die Richtung der Geschwindigkeit (oder beides), so liegt eine Beschleunigung vor.

Auf dieser Seite werden die Definitionen der mittleren Beschleunigung und der Momentanbeschleunigung, welche Sie schon von der linearen Bewegung her kennen sollten, auf eine ebene Bewegung - wie sie die Kreisbewegung darstellt - erweitert. Hierzu ist die Einführung von Vektoren notwendig.

Vektor der mittleren Beschleunigung
\[\overrightarrow { < a > }  = \frac{{\vec v({t_2}) - \vec v({t_1})}}{{\Delta t}} \Rightarrow \overrightarrow { < a > }  = \frac{{\overrightarrow {\Delta v} }}{{\Delta t}}\]
Aus der rechten Vektor-Gleichung kann man ersehen, dass der Vektor der mittleren Beschleunigung die gleiche Richtung haben muss wie \(\overrightarrow {\Delta v} \).

Vektor der Momentanbeschleunigung
\[{\vec a_r} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \overrightarrow { < a > }  \Rightarrow {\vec a_r} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\overrightarrow {\Delta v} }}{{\Delta t}}\]

Wendet man obige Definitionen auf die gleichförmige Kreisbewegung an, so gelangt man durch "geometrisch-infinitesimale" Überlegungen - die mathematisch etwas salopp ausgeführt sind - zu Aussagen über die Richtung und den Betrag des Beschleunigungsvektors.

Vektorielle Bestimmung der Zentripetalbeschleunigung durch Subtraktion der Geschwindigkeitsvektoren

Richtung des Vektors der Momentanbeschleunigung

Der Vektor der Momentanbeschleunigung hat die gleiche Richtung wie der Vektor \(\overrightarrow {\Delta v} \) für den Fall, dass \({\Delta t \to 0}\) geht. Dabei ist \({\Delta t \to 0}\) gleichbedeutend mit \(\Delta \varphi  \to 0\).

Die obigee Animation zeigt, welche Richtung \(\overrightarrow {\Delta v} \) hat. Geht in dem Vektordreieck rechts oben der Winkel \(\Delta \varphi  \to 0\), so nähert sich der Winkel α zwischen \(\overrightarrow {\Delta v} \) (und somit \(\vec a\)) und der Momentangeschwindigkeit \(\vec v\) dem Winkel \(90^\circ \).

Der Vektor \(\vec a\) ist antiparallel zum Radiusvektor, er zeigt stets auf den Kreismittelpunkt. Man nennt diese Beschleunigung daher auch Radial- oder Zentripetalbeschleunigung \({{\vec a}_{\rm{R}}}\).

Betrag der Momentanbeschleunigung

Für \(\Delta \varphi  \to 0\) geht in dem Vektordreieck der obigen Animation die Länge der Sekante \(\overrightarrow {\Delta v} \) in die Länge des Bogens \(v \cdot \Delta \varphi \) über. Somit lässt sich der Betrag der Momentanbeschleunigung schreiben:
\[{a_{\rm{R}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{v \cdot \Delta \varphi }}{{\Delta t}} = v \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}} = v \cdot \omega \]
Dies lässt sich mit \(v = r \cdot \omega \) schreiben als
\[{a_{\rm{R}}} = r \cdot {\omega ^2}\]
bzw. mit \(\omega  = \frac{v}{r}\) schreiben als
\[{a_{\rm{R}}} = \frac{{{v^2}}}{r}\]
 

Momentanbeschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung

Der Vektor \({{\vec a}_{\rm{R}}}\) der Momentanbeschleunigung und der Vektor \({\vec v}\) der Momentangeschwindigkeit stehen aufeinander senkrecht.
\[{\vec a}_{\rm{R}} \bot \vec v \]

Der Betrag \({a_{\rm{R}}}\) der Momentanbeschleunigung ist das Produkt aus dem Bahnradius \(r\) und dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\)
\[{a_R} = r \cdot {\omega ^2}\]
bzw. der Quotient aus dem Quadrat der Bahngeschwindigkeit \(v\) und dem Bahnradius \(r\)
\[{a_{\rm{R}}} = \frac{{{v^2}}}{r}\]

Merkregel: Gewinnung des Beschleunigungsvektors aus dem Geschwindigkeitsvektor

Richtung: Drehe den Geschwindigkeitsvektor \({\vec v}\) im Gegenuhrzeigersinn um \(90^\circ \)

Betrag: Multipliziere den Betrag des Geschwindigkeitsvektors \(v\) mit \(\omega \)

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