Direkt zum Inhalt

Versuche

Betrag der Zentripetalkraft mit Bahngeschwindigkeit (Simulation mit Versuchsanleitung)

Das Ziel der Simulation

Die Simulation ermöglicht die Untersuchung des Betrags der Zentripetalkraft, die auf einen Körper wirken muss, damit er sich gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, in Abhängigkeit von den relevanten Parametern.

Aufbau und Durchführung
Masse
m
Bahngeschwindigkeit
v
Bahnradius
r
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Prinzipieller Aufbau, Durchführung und Beobachtungen des Experimentes zur Untersuchung des Betrags der Zentripetalkraft, die auf einen Körper wirken muss, damit er sich gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, in Abhängigkeit von den relevanten Parametern

Die Simulation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des Versuchs.

Du siehst dort zuerst einmal nur einen ruhenden Körper (violett). Wenn du die Animation mit dem Startknopf startest, bewegt sich der Körper gleichförmig auf einer Kreisbahn. Während der Bewegung siehst du den Kraftpfeil der Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) (rot), die nötig ist, um den Körper auf seiner Kreisbahn zu halten.

Mit den Schiebereglern kannst du

  • die Masse \(m\) des Körpers
  • die Bahngeschwindigkeit \(v\) und
  • den Bahnradius \(r\)

in bestimmten Grenzen verändern. Darunter wird der Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) der Zentripetalkraft (rot) angezeigt, so dass du den Einfluss der verschiedenen Größen auf den Kraftbetrag \(F_{\rm{ZP}}\) beobachten kannst.

Mit den beiden Checkboxen kannst du dir die Spur des Körpers und ein Koordinatensystem anzeigen lassen.

Die folgenden Aufgaben führen dich systematisch durch die Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{ZP}}\) von den relevanten Parametern.

1. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{ZP}}\) von der Masse \(m\)

Im ersten Teilversuch halten wir die Bahngeschwindigkeit \(v\) und den Bahnradius \(r\) konstant, verändern die Masse \(m\) des Körpers und beobachten den Kraftbetrag \(F_{\rm{ZP}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte \(v=6{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(r = 2{,}0\,\rm{m}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 1a Wertetabelle ohne Messwerte
\(m\) in \(\,\rm{kg}\) \(0{,}2\) \(0{,}5\) \(0{,}8\) \(1{,}1\) \(1{,}4\) \(1{,}7\) \(2{,}0\)
\(F_{\rm{ZP}}\) in \(\rm{N}\)              

Lösung

Tab. 1b Wertetabelle mit Messwerten
\(m\) in \(\,\rm{kg}\) \(0{,}2\) \(0{,}5\) \(0{,}8\) \(1{,}1\) \(1{,}4\) \(1{,}7\) \(2{,}0\)
\(F_{\rm{ZP}}\) in \(\rm{N}\) \(4\) \(9\) \(14\) \(20\) \(25\) \(31\) \(36\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(m\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Darstellung der Messwerte in einem \(m\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Lineare Regression bestimmte Ausgleichsgerade.

Das Diagramm in Abb. 2 lässt vermuten, dass bei konstantem \(v\) und konstantem \(r\) der Kraftbetrag \(F_{\rm{ZP}}\) proportional zur Masse \(m\) ist. Eine Lineare Regression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade im Rahmen der Messgenauigkeit\[F_{\rm{ZP}} = 18\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}} \cdot m\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[R^2 = 0{,}9993 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis des 1. Teilversuchs\[F_{\rm{ZP}} \sim m\]bei konstantem \(v\) und konstantem \(r\).

2. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{ZP}}\) von der Bahngeschwindigkeit \(v\)

Im zweiten Teilversuch halten wir die die Masse \(m\) des Körpers und den Bahnradius \(r\) konstant, verändern die Bahngeschwindigkeit \(v\) und beobachten den Kraftbetrag \(F_{\rm{ZP}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte \(m=2{,}0\,\rm{kg}\) und \(r = 2{,}0\,\rm{m}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 2a Wertetabelle ohne Messwerte
\(v\) in \(\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) \(0{,}0\) \(1{,}0\) \(2{,}0\) \(3{,}0\) \(4{,}0\) \(5{,}0\) \(6{,}0\)
\(F_{\rm{ZP}}\) in \(\rm{N}\)              

Lösung

Tab. 2b Wertetabelle mit Messwerten
\(v\) in \(\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) \(0{,}0\) \(1{,}0\) \(2{,}0\) \(3{,}0\) \(4{,}0\) \(5{,}0\) \(6{,}0\)
\(F_{\rm{ZP}}\) in \(\rm{N}\) \(0\) \(1\) \(4\) \(9\) \(16\) \(25\) \(36\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(v\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Darstellung der Messwerte in einem \(v\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Potenzregression bestimmte Ausgleichskurve.

Das Diagramm in Abb. 3 lässt vermuten, dass bei konstantem \(m\) und konstantem \(r\) der Kraftbetrag \(F_{\rm{ZP}}\) quadratisch mit der Bahngeschwindigkeit \(v\) ansteigt. Eine Potenzregression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichskurve im Rahmen der Messgenauigkeit\[F_{\rm{ZP}} = 1{,}0\,\frac{\rm{N}\,\rm{s}^2}{\rm{m}^2} \cdot v^{\,2{,}0}\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[R^2 = 0{,}9985 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis des 2. Teilversuchs\[F_{\rm{ZP}} \sim v^2\]bei konstantem \(m\) und konstantem \(r\).

3. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit des Kraftbetrags \(F_{\rm{ZP}}\) vom Bahnradius \(r\)

Im dritten Teilversuch halten wir die Masse \(m\) des Körpers und die Bahngeschwindigkeit \(v\) konstant, verändern den Bahnradius \(r\) und beobachten den Kraftbetrag \(F_{\rm{ZP}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte \(m=2{,}0\,\rm{kg}\) und \(v = 6{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 3a Wertetabelle ohne Messwerte
\(r\) in \(\rm{m}\) \(2{,}0\) \(2{,}5\) \(3{,}0\) \(3{,}5\) \(4{,}0\) \(4{,}5\) \(5{,}0\)
\(F_{\rm{ZP}}\) in \(\rm{N}\)              

Lösung

Tab. 3b Wertetabelle mit Messwerten
\(r\) in \(\rm{m}\) \(2{,}0\) \(2{,}5\) \(3{,}0\) \(3{,}5\) \(4{,}0\) \(4{,}5\) \(5{,}0\)
\(F_{\rm{ZP}}\) in \(\rm{N}\) \(36\) \(29\) \(24\) \(21\) \(18\) \(16\) \(14\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(r\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Darstellung der Messwerte in einem \(r\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Potenzregression bestimmte Ausgleichskurve.

Das Diagramm in Abb. 4 lässt vermuten, dass bei konstantem \(m\) und konstantem \(v\) der Kraftbetrag \(F_{\rm{ZP}}\) umgekehrt proportional zum Bahnradius \(r\) abnimmt. Eine Potenzregression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichskurve im Rahmen der Messgenauigkeit\[F_{\rm{ZP}} = {74\,\rm{N \, m}} \cdot r^{\,-1{,}0}\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[R^2 = 0{,}9985 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis des 3. Teilversuchs\[F_{\rm{ZP}} \sim \frac{1}{r}\]bei konstantem \(m\) und konstantem \(v\).

Zusammenfassung der Ergebnisse der drei Teilversuche

  • Aus dem 1. Teilversuch ergibt sich \(F_{\rm{ZP}} \sim m\) bei konstantem \(v\) und konstantem \(r\).
  • Aus dem 2. Teilversuch ergibt sich \(F_{\rm{ZP}} \sim v^2\) bei konstantem \(m\) und konstantem \(r\).
  • Aus dem 3. Teilversuch ergibt sich \(F_{\rm{ZP}} \sim \frac{1}{r}\) bei konstantem \(m\) und konstantem \(v\).

Zusammengefasst ergibt sich\[F_{\rm{ZP}} \sim m \cdot v^2 \cdot  \frac{1}{r} = m \cdot \frac{v^2}{r} \; {\rm{oder}} \; F_{\rm{ZP}}= k \cdot m \cdot \frac{v^2}{r}\]Nun muss noch der Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\) bestimmt werden.

Auswertung
Aufgabe

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 4a Wertetabelle ohne Messwerte
\(m\) in \(\rm{kg}\) \(1{,}1\) \(1{,}1\) \(1{,}1\) \(2{,}0\) \(2{,}0\) \(\) \(2{,}0\)
\(v\) in \(\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) \(3{,}0\) \(3{,}0\) \(3{,}0\) \(3{,}0\) \(\) \(5{,}0\) \(6{,}0\)
\(r\) in \(\rm{m}\) \(5{,}0\) \(3{,}5\) \(2{,}0\) \(\) \(2{,}0\) \(2{,}0\) \(2{,}0\)
\(m \, \frac{v^2}{r}\) in \(\rm{kg} \,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) \(2{,}0\) \(2{,}8\) \(\) \(9{,}0\) \(16\) \(25\) \(\)
\(F_{\rm{ZP}}\) in \(\rm{N}\) \(2\) \(\) \(5\) \(9\) \(16\) \(25\) \(\)

Bestimme mit Hilfe eines \(m \cdot \frac{v^2}{r}\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramms und dessen Auswertung den Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\).

Lösung

Tab. 4b Wertetabelle mit Messwerten
\(m\) in \(\rm{kg}\) \(1{,}1\) \(1{,}1\) \(1{,}1\) \(2{,}0\) \(2{,}0\) \(2{,}0\) \(2{,}0\)
\(v\) in \(\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) \(3{,}0\) \(3{,}0\) \(3{,}0\) \(3{,}0\) \(4{,}0\) \(5{,}0\) \(6{,}0\)
\(r\) in \(\rm{m}\) \(5{,}0\) \(3{,}5\) \(2{,}0\) \(2{,}0\) \(2{,}0\) \(2{,}0\) \(2{,}0\)
\(m \, \frac{v^2}{r}\) in \(\rm{kg} \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) \(2{,}0\) \(2{,}8\) \(5{,}0\) \(9{,}0\) \(16\) \(25\) \(36\)
\(F_{\rm{ZP}}\) in \(\rm{N}\) \(2\) \(3\) \(5\) \(9\) \(16\) \(25\) \(36\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 \(m \, \frac{v^2}{r}\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Lineare Regression bestimmte Ausgleichsgerade.

Das Diagramm in Abb. 5 zeigt wie erwartet, dass der Kraftbetrag \(F_{\rm{ZP}}\) proportional zum Term \(m \cdot \frac{v^2}{r}\) ist. Eine Lineare Regression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade im Rahmen der Messgenauigkeit\[F_{\rm{ZP}} = 1{,}0 \cdot m \cdot \frac{v^2}{r}\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[R^2 = 0{,}9996 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis\[k = 1{,}0\]

Ergebnis

Ein Körper der Masse \(m\) bewegt sich mit der Bahngeschwindigkeit \(v\) gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\).

Dann ist der Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) der Zentripetalkraft, die nötig ist, um den Körper auf der Kreisbahn zu halten,

  • proportional zur Masse \(m\) des Körpers
  • proportional zum Quadrat der Bahngeschwindigkeit \(v\) und
  • umgekehrt proportional zum Bahnradius \(r\)

und berechnet sich durch\[F_{\rm{ZP}} = m \cdot \frac{v^2}{r}\]