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Aufgabe

Kreisbahn um die Erde

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Zeichnung aus Newtons De mundi systemate, entnommen aus „Sir Isaac Newton’s Mathematical Principles of Natural Philosophy and his System of the World“ von A. Motte. Dargestellt ist der Zusammenhang zwischen Wurfbewegung und Satellitenbewegung.

Unsere Erfahrung sagt uns, dass ein geworfener Stein wieder zur Erde fällt. Auch eine abgeschossene Kanonenkugel bleibt nicht oben. Angenommen man könnte einen Stein von einem sehr hohen Berg mit großer Geschwindigkeit waagerecht wegschleudern: Auf welcher Bahnkurve wird sich dieser Stein bewegen?

Über diese Frage dachte bereits Isaac NEWTON im 17. Jahrhundert nach, und er kam zu dem Schluss, dass bei einer bestimmten Geschwindigkeit der Stein den Erdboden nicht mehr erreichen, sondern unendlich lang auf einer Kreisbahn um die Erde "herumfallen" wird. Natürlich ist eine Kreisbewegung direkt an der Erdoberfläche aufgrund der Erhebungen und der Luftreibung real nicht möglich.

Berechne den Betrag der Bahngeschwindigkeit, mit der ein derart weggeschleuderter Stein eine Kreisbewegung ausführen würde, wenn du idealisierte Bedingungen (keine Erhebungen, keine Luftreibung) voraussetzt.

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Damit sich ein Stein der Masse \(m\) auf einer Kreisbahn um die Erde direkt an der Erdoberfläche (mittlerer Radius der Erde \(r_{\rm{E}}=6371\,\rm{km}\)) bewegt, muss als Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) wirken. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ZP}}}} &=& {F_{\rm{G}}}\\ \frac{{m \cdot {v^2}}}{{{r_{\rm{E}}}}} &=& m \cdot g\\ v &=& \sqrt {{r_{\rm{E}}} \cdot g} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gebenen Werte liefert\[v = \sqrt {6371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}  = 7{,}91 \cdot {10^3}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 7{,}91\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} = 2{,}85 \cdot {10^4}\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

 

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung