Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Kreisbewegung im LHC

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Der Large Hadron Collider (LHC) ist ein Teilchenbeschleuniger am Europäischen Kernforschungszentrum CERN bei Genf. In einem \(26{,}659\,\rm{km}\) langen Ringtunnel, der sich in \(50 - 175\,\rm{m}\) Tiefe unter der Erde befindet, bewegen sich Protonen mit unvorstellbar hohen Geschwindigkeiten. Die Teilchen werden dabei von supraleitenden Magneten auf ihrer Bahn gehalten. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass es sich hierbei um eine Kreisbahn handelt.

a)Berechne unter der Annahme, dass der Ringtunnel kreisförmig ist, den Radius des Ringtunnels.

b)Die Forscher geben an, dass die Protonen im Ringtunnel eine (Bahn-)Geschwindigkeit von \(99,9999991\%\) der Lichtgeschwindigkeit erreichen.

Berechne die Geschwindigkeit der Protonen in den Einheiten \(\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

c)Berechne, wie lange ein Proton für einen Umlauf im Ringtunnel benötigt.

Berechne weiter, wie viele Umläufe ein Proton in einer Sekunde schafft.

d)Berechne die Zentripetalbeschleunigung, die ein Proton während der Bewegung erfährt.

e)Ein Ergebnis der Speziellen Relativitätstheorie von Albert EINSTEIN ist, dass die Masse \(m\) eines Körpers mit seiner Geschwindigkeit \(v\) zunimmt. Es gilt allgemein\[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\]Hierbei ist \({{m_0}}\) die sogenannte Ruhemasse (für ein Proton \({{m_0} = 1,673 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}\)) und \(c\) die Lichtgeschwindigkeit.

Berechne die Masse eines Protons, wenn es sich im LHC bewegt.

Berechne den Betrag der Zentripetalkraft, die benötigt wird, um das Proton auf der Kreisbahn zu halten.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Gegeben ist der Umfang \(u = 26,659{\rm{km}}\) eines Kreises. Damit erhält man\[u = 2 \cdot \pi  \cdot r \Leftrightarrow r = \frac{u}{2 \cdot \pi } \Rightarrow r = \frac{{26,659{\rm{km}}}}{2 \cdot \pi } = 4,243{\rm{km}}\]

b)Aus der Formelsammlung oder dem Internet entnimmt man für die Lichtgeschwindigkeit \(c = 299\;792\;458\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Damit erhält man\[{v_{\rm{p}}} = 99,9999991\%  \cdot 299\;792\;458\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 299\;792\;455\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 299\;792\;455 \cdot 3,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 1\;079\;144\;838\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

c)Gegeben ist die  Strecke \(s = u = 26,659{\rm{km}}=26\;659{\rm{m}}\) und die Geschwindigkeit \(v=v_{\rm{p}}=299\;792\;455\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Damit erhält man\[s = v \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{s}{v} \Rightarrow t = \frac{{26\;659{\rm{m}}}}{{299\;792\;455\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0,000088925{\rm{s}}\]In einer Sekunde schafft ein Proton somit \(N = \frac{{1{\rm{s}}}}{{0,000088925{\rm{s}}}} = 11\;245\) Umläufe.

d)Gegeben ist die Geschwindigkeit \(v=v_{\rm{p}}=299\;792\;455\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und der Kreisradius \(r = 4,243{\rm{km}} = 4243{\rm{m}} \). Daraus ergibt sich\[{a_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{v^2}}}{r} \Rightarrow {a_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{{\left( {299\;792\;455\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{4243{\rm{m}}}} = 2,118 \cdot {10^{13}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

e)Mit\[v = 99,9999991\%  \cdot c \Leftrightarrow \frac{v}{c} = 99,9999991\% \]erhält man\[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow m = \frac{{1,673 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {99,9999991\% } \right)}^2}} }} = 1,247 \cdot {10^{ - 23}}{\rm{kg}}\]und weiter\[{F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot {a_{{\rm{ZP}}}} \Rightarrow {F_{{\rm{ZP}}}} = 1,247 \cdot {10^{ - 23}}{\rm{kg}} \cdot 2,118 \cdot {10^{13}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 2,641 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{N}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung

Kern-/Teilchenphysik

Teilchenphysik