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Aufgabe

Horizontaler Rotor

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der Rotor auf einem Jahrmarkt dreht sich mit seinen Besuchern um eine vertikale Achse. Die Mitfahrer stehen an der Wand. Während der Fahrt wird der Boden unter den Mitfahrern abgesenkt, wobei deren Abrutschen sicher verhindert werden muss.
Der Innendurchmesser des Rotors beträgt \(d= 6{,}8\,\rm{m}\). Der Schwerpunkt der Mitfahrer liegt \(0{,}10\,\rm{m}\) vor der Wand. Die Reibungszahlen zwischen Körper und Wand liegen erfahrungsgemäß zwischen 0,20 und 0,60.

a)Bei welcher Drehfrequenz ist gewährleistet, dass kein Mitfahrer abrutscht?
Welche Rolle spielt dabei die Masse m der Mitfahrer?

b)Berechne, mit welcher Kraft \(F\) eine Person der Masse \(m=60\,\rm{kg}\) bei einer Drehfrequenz von \(f=0{,}30\,\rm{Hz}\) gegen die Wand drückt.
Prüfe weiter rechnerisch, ob man die Rotorachse unter diesen Bedingungen auch horizontal legen könnte, ohne dass diese Person im höchsten Bahnpunkt herunterfällt.

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Die Person wird in der Abbildung durch den Schwerpunkt S ersetzt.

gegeben:
Rotordurchmesser d = 6,8 m;
Bahnradius für den Personenschwerpunkt: r = d/2 - 0,1 m = 3,3 m;
Reibungszahl: 0,20 ≤ μ ≤ 0,60;
Fallbeschleunigung: g = 9,8 m/s2

Vorbemerkungen:
Jede Person wird durch die Wand auf die Kreisbahn gezwungen. Die Wand bringt die nötige Zentripetalkraft FZ auf. Die Person drückt mit einer gleichgroßen, entgegengesetzt gerichteten Kraft auf die Wand. Diese Kraft wirkt senkrecht zur Wand und kann daher als Normalkraft FN bezeichnet werden (Gegenkraft zu FZ):

\[{F_{\rm{N}}} = {F_{{\rm{ZP}}}}\]

Aufgrund der lotrecht gerichteten Gewichtskraft FG würde die Person an der Wand abrutschen. Dies muss verhindert werden durch eine entgegengesetzt gerichtete und gleichgroße Reibungskraft. Im Grenzfall ist diese Kraft die maximal mögliche Haftreibungskraft FH und es gilt: FH = FG
Für diese Reibungskraft gilt
\[{F_{\rm{H}}} = \mu  \cdot {F_{\rm{N}}}\]

a)Aus \({F_{\rm{H}}} = {F_{\rm{G}}}\) und \({F_{\rm{H}}} = \mu  \cdot {F_{\rm{N}}}\) folgt
\[{F_{\rm{G}}} = \mu  \cdot {F_{\rm{N}}}\]
und wegen \({F_{\rm{G}}} = m \cdot g\), \({F_{\rm{N}}} = {F_{{\rm{ZP}}}}\) und \({F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot {\omega ^2} \cdot r\)
\[m \cdot g = \mu  \cdot m \cdot {\omega ^2} \cdot r \Leftrightarrow g = \mu  \cdot {\omega ^2} \cdot r \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{g}{{\mu  \cdot r}}} \]
und damit
\[\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f \Leftrightarrow f = \frac{\omega }{{2 \cdot \pi }} = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{g}{{\mu  \cdot r}}} \]
Je kleiner die Reibungszahl ist, desto größer muss die zum Vermeiden des Abrutschens erforderliche Drehfrequenz sein. Daher wird die Mindestfrequenz für die kleinste angenommene Reibungszahl, also für \(0,20\) bestimmt.
\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{{9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{0,20 \cdot 3,3{\rm{m}}}}}  = 0,61{\rm{Hz}}\]
Der Rotor muss sich also mindestens mit der Frequenz \(0,61{\rm{Hz}}\) drehen. Die Masse der Mitfahrer spielt keine Rolle.

b)gegeben
Masse der Person:\(m = 60{\rm{kg}}\);
Drehfrequenz: \({f = 0,30{\rm{Hz}}}\);
Fallbeschleunigung: \(g = 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)

Aus \({F_{\rm{N}}} = {F_{{\rm{ZP}}}}\) und \({F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot {\omega ^2} \cdot r = m \cdot {\left( {2 \cdot \pi  \cdot f} \right)^2} \cdot r = m \cdot 4 \cdot {\pi ^2} \cdot {f^2} \cdot r\) ergibt sich
\[{F_{\rm{N}}} = m \cdot 4 \cdot {\pi ^2} \cdot {f^2} \cdot r \Rightarrow {F_{\rm{N}}} = 60{\rm{kg}} \cdot 4 \cdot {\pi ^2} \cdot {\left( {0,30{\rm{Hz}}} \right)^2} \cdot 3,3{\rm{m}} = 700{\rm{N}}\]
Die Person drückt mit \(700{\rm{N}}\) gegen die Wand.

>Bei horizontal liegender Drehachse fällt die Person nicht herunter, wenn die erforderliche Zentripetalkraft \({{F_{{\rm{ZP}}}}}\) dort mindestens so groß ist wie die Gewichtskraft \({{F_{\rm{G}}}}\) dieser Person:
\[{{F_{{\rm{ZP}}}} \ge {F_{\rm{G}}}}\]
Die Person der Masse \(m = 60\rm{kg}\) erfährt eine Gewichtskraft vom Betrag
\[{F_{\rm{G}}} = m \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 60{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 590{\rm{N}}\]
und damit
\[{F_{\rm{G}}} < {F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{N}}}\]
Deshalb fällt die Person bei horizontaler Drehachse nicht vom höchsten Bahnpunkt herunter.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung