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Aufgabe

Haftreibung im Rotor

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Rotor, bei dem die Personen bei schneller Umdrehung an der senkrechten Wand hängen bleiben, so dass der Boden unter ihnen weggenommen werden kann, wird in rasche Umdrehung versetzt.

Berechne, wie groß die Haftreibungszahl mindestens sein muss, wenn der Durchmesser des Rotors \(4{,}50\,\rm{m}\) und die Zeit für einen Umlauf \(2{,}00\,\rm{s}\) beträgt.

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Zur Lösung dieser Aufgabe ist es praktischer, sich in das Bezugssystem einer Person der Masse \(m\) im Rotor zu versetzen, die sich auf der Kreisbahn mit dem Radius \(r = \frac{d}{2} = \frac{{4{,}50\,{\rm{m}}}}{2} = 2{,}25\,{\rm{m}}\) und der Umlaufdauer \(T = 2{,}00\,{\rm{s}}\) bewegt; diese Person verspührt dabei die Zentrifugalkraft \({\vec F_{{\rm{ZF}}}}\), die sie nach außen gegen die Wand drückt. Für den Betrag der Zentrifugalkraft gilt
\[{F_{{\rm{ZF}}}} = m \cdot {\omega ^2} \cdot r = m \cdot {\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2} \cdot r\]
Die Gewichtskraft \(F_\text{G}\) ließe die Person die Wand normalerweise herab rutschen. Die Zentrifugalkraft presst aber nun die Person senkrecht gegen die Wand des Rotors und bildet somit eine Normalkraft \({{\vec F}_{\rm{N}}}\), so dass eine Haftreibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{HR}}}}\) auftritt, die dieses Herunterrutschen bei genügend großem Haftreibungskoeffizienten \({\mu _{{\rm{HR}}}}\) verhindert. Für den Betrag der Haftreibungskraft \({F_{{\rm{HR}}}}\) gilt
\[{F_{{\rm{HR}}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {F_{\rm{N}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {F_{{\rm{ZP}}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot m \cdot {\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2} \cdot r\]
Die Person rutscht nun gerade nicht die Wand herunter, wenn die Beträge von Gewichtskraft und Haftreibungskraft gleich groß sind; es ergibt sich also
\[{F_{\rm{G}}} = {F_{{\rm{HR}}}} \Leftrightarrow m \cdot g = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot m \cdot {\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2} \cdot r \Leftrightarrow {\mu _{{\rm{HR}}}} = \frac{g}{{{{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)}^2} \cdot r}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{\mu _{{\rm{HR}}}} = \frac{{9,81 \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{{{\left( {\frac{{2\pi }}{{2,00{\rm{s}}}}} \right)}^2} \cdot 2,25 {\rm{m}}}} = 0{,}44\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung