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Grundwissen

Induktion durch Änderung des Flächeninhalts

Das Wichtigste auf einen Blick

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • der Feldstärkevektor \(\vec B\) (und damit die Richtung, die Orientierung und der Betrag) des homogenen magnetischen Feldes ist konstant
  • die Richtung und die Orientierung des Flächenvektors \(\vec A\) des Teils der Leiterschleife, der vom magnetische Feld durchsetzt wird, sind konstant
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen Flächenvektor \(\vec A\) und Feldstärkevektor \(\vec B\) ist konstant

Wenn sich der Betrag \(A\), d.h. der Inhalt der Fläche des Teils der Leiterschleife oder Spule mit Windungszahl \(N\), die vom magnetischen Feld durchsetzt wird, mit der Änderungsrate \(\frac{dA}{dt}\) ändert, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch \(U_{\rm{i}} =  - N \cdot B \cdot \frac{dA}{dt} \cdot \cos\left(\varphi\right)\).

Aufgaben Aufgaben

Die Simulation in Abb. 1 zeigt dir eine Leiterschleife, die sich vollständig in einem homogenen magnetischen Feld, beschrieben durch den Feldstärkevektor \(\vec B\), befindet. Die Leiterschleife ist stets so gerichtet, dass der Flächenvektor \(\vec A\) parallel zum Feldstärkevektor \(\vec B\) liegt. Damit gilt für die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen Feldstärkevektor und Flächenvektor hier \(\varphi = 0\).

Rechts von dieser Induktionsanordnung kannst du zum einen den magnetischen Fluss \(\Phi\) durch die Leiterschleife und zum anderen die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) in der Leiterschleife beobachten.

Mit dem Schieberegler am oberen Rand der Simulation kannst du den Flächeninhalt \(A\) der Leiterschleife in bestimmten Grenzen verändern.

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Abb. 1 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch die Änderung des Inhalts \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder Spule, die sich im magnetischen Feld befindet

Wie auch in den bisherigen Versuchen und Simulationen zur elektromagnetischen Induktion kannst du folgendes beobachten:

  • Wenn du den Flächeninhalt \(A\) veränderst, dann verändert sich der magnetische Fluss \(\Phi\).

  • Wenn sich der magnetische Fluss \(\Phi\) verändert, dann verursacht dies eine Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Weiter kannst du folgendes beobachten:

  • Wenn du den Flächeninhalt \(A\)  und damit den magnetischen Fluss \(\Phi\) vergrößerst , dann ist die  Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) negativ.

  • Wenn du den Flächeninhalt \(A\)  und damit den magnetischen Fluss \(\Phi\) verkleinerst , dann ist die  Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) positiv.

Sowohl durch die Auswertung geeigneter Experimente als auch durch theoretische Überlegungen (vgl. die Links am Ende des Artikels) erhalten wir folgendes quantitatives Ergebnis:

Induktion durch Änderung des Flächeninhalts

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • der Feldstärkevektor \(\vec B\) des homogenenden magnetischen Feldes ist konstant
  • die Richtung und die Orientierung des Flächenvektors \(\vec A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) ist damit ebenfalls konstant.

Wenn sich der Inhalt \(A\) der  (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, mit der Änderungsrate \(\frac{dA}{dt}\) ändert, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch\[U_{\rm{i}}\left(t\right) =  - N \cdot B \cdot \frac{dA}{dt} \cdot \cos\left(\varphi\right) \quad (1)\]Für den häufigen Fall \(\varphi = 0\) ergibt sich hieraus\[U_{\rm{i}}\left(t\right) =  - N \cdot B \cdot \frac{dA}{dt} \quad (1^*)\]Wenn sich also der Flächeninhalt vergrößert, dann ist die Induktionsspannung negativ, wenn sich der Flächeninhalt verkleinert, dann ist die Induktionsspannung positiv.

Sonderfall: Eine Leiterschleife bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in ein magnetisches Feld hinein oder aus ihm hinaus

In vielen Experimenten und Aufgaben verändert sich die (Teil-)Fläche der Leiterschleife, die sich im magnetischen Feld befindet, dadurch, dass sich die Leiterschleife mit konstanter Geschwindigkeit in das Feld hinein oder aus dem Feld hinaus bewegt. In der Simulation in Abb. 2 kannst du eine Leiterschleife mit konstanter Geschwindigkeit durch ein magnetisches Feld bewegen.

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Abb. 2 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und damit die Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\), wenn sich eine Leiterschleife mit konstanter Geschwindigkeit in ein magnetisches Feld hinein oder aus ihm hinaus bewegt

Du kannst folgendes beobachten:

  • Wenn sich die Leiterschleife in das magnetische Feld hinein bewegt, dann vergrößert sich der Inhalt \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife, die sich im magnetischen Feld befindet. Dadurch vergrößert sich der magnetische Fluss \(\Phi\), und dies verursacht eine negative Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

  • Wenn sich die Leiterschleife komplett im magnetischen Feld befindet, dann verändert sich der Inhalt \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife, die sich im magnetischen Feld befindet, nicht. Dadurch bleibt der magnetische Fluss \(\Phi\) konstant und es wird keine Induktionsspannung verursacht.

  • Wenn sich die Leiterschleife aus dem magnetischen Feld hinaus bewegt, dann verkleinert sich der Inhalt \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife, die sich im magnetischen Feld befindet. Dadurch verkleinert sich der magnetische Fluss \(\Phi\), und dies verursacht eine positive Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Bewegt sich eine rechteckige Leiterschleife oder eine rechteckige Spule mit Windungszahl \(N\) mit den Seitenlängen \(a\) und \(b\) in Richtung der Seite der Länge \(a\) mit der konstanten Geschwindigkeit \(v_a\) durch ein magnetisches Feld der Feldstärke \(B\) hindurch, so ergibt das Induktionsgesetz in der Form \((1^*)\) beim Hinein- oder Hinausbewegen aus dem Feld\[\begin{eqnarray}|{U_{\rm{i}}}| &=& N \cdot B \cdot \frac{{dA}}{{dt}}\\ &=& N \cdot B \cdot \frac{{d\left( {a \cdot b} \right)}}{{dt}}\\ &=& N \cdot B \cdot \frac{{b \cdot da}}{{dt}}\\ &=& N \cdot B \cdot b \cdot \frac{{da}}{{dt}}\\ &=& N \cdot B \cdot b \cdot {v_a}\end{eqnarray}\]Damit erhalten wir folgendes Ergebnis:

Induktion beim Bewegen einer Leiterschleife durch ein magnetisches Feld

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • der Feldstärkevektor \(\vec B\) des homogenenden magnetischen Feldes ist konstant
  • die Leiterschleife oder Spule mit Windungszahl \(N\) ist rechteckig mit den Seitenlängen \(a\) und \(b\), die Richtung und die Orientierung des Flächenvektors \(\vec A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule, die sich im magnetischen Feld befindet, ist gleich der des Feldstärkevektors \(\vec B\)
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) hat damit den Wert \(\varphi=0\).

Wenn sich die Leiterschleife oder die Spule mit der konstanten Geschwindigkeit \(v_a\) parallel zur Rechtecksseite der Länge \(a\) in das magnetische Feld hinein- oder aus dem magnetischen Feld hinausbewegt, dann berechnet sich der Betrag \(|U_{\rm{i}}|\) der Induktionsspannung durch\[|U_{\rm{i}}| = N \cdot B \cdot b \cdot v_a \quad (2)\]Wenn sich die Leiterschleife in das Feld hinein bewegt, dann ist die Induktionsspannung negativ, wenn sich die Leiterschleife aus dem Feld hinaus bewegt, dann ist die Induktionsspannung positiv.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben rund um diesen Sonderfall zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\hat U_{\rm{i}} =  N \cdot \hat B \cdot b \cdot v_a \) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}\]ist bereits nach \(\color{Red}{\hat U_{\rm{i}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}\]nach \(\color{Red}{N}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}}}{ {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}\).\[\color{Red}{N} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{N}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}\]nach \(\color{Red}{\hat B}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {b} \cdot {v_a}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {b} \cdot {v_a}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {b} \cdot {v_a}}}{ {N} \cdot {b} \cdot {v_a}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {b} \cdot {v_a}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {b} \cdot {v_a}\).\[\color{Red}{\hat B} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {b} \cdot {v_a}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\hat B}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{b} \cdot {v_a}\]nach \(\color{Red}{b}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{b} \cdot {v_a} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {v_a}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {v_a}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{b} \cdot {v_a}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {v_a}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {v_a}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {v_a}\).\[\color{Red}{b} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {v_a}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{b}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot {b} \cdot \color{Red}{v_a}\]nach \(\color{Red}{v_a}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot {\hat B} \cdot {b} \cdot \color{Red}{v_a} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {b}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {b}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {b} \cdot \color{Red}{v_a}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {b}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {b}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {b}\).\[\color{Red}{v_a} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {b}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{v_a}\) aufgelöst.
Abb. 3 Schrittweises Auflösen der Formel zur Berechnung der Amplitude der Induktionsspannung bei Änderung des Flächeninhalts nach den fünf in der Formel auftretenden Größen