Ein Leiter L mit der Masse \(0{,}150\,\rm{kg}\) und dem Widerstand \(0{,}400\,\Omega\) wird über zwei Leiterschienen mit vernachlässigbarem OHMschen Widerstand, die den Abstand \(0{,}200\,\rm{m}\) haben, mit der konstanten Geschwindigkeit \(0{,}100\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) nach rechts gezogen. Für \(x < {x_1} = 0{,}300\,{\rm{m}}\) ist der Raum feldfrei. Für \(x \ge {x_1}\) besteht ein homogenes Magnetfeld senkrecht zur Schienenebene. Die magnetische Feldstärke beträgt \(2{,}00\,{\rm{T}}\). Die gesamte Situation ist in Abb. 1 dargestellt.
Bei der Bewegung von L kann zeitweilig zwischen P und Q eine Spannung abgegriffen werden.
a)
Begründe das Auftreten dieser Spannung.
Leite eine Gleichung zur Berechnung dieser Spannung her.
Berechne damit die auftretende Spannung.
b)
Zeichne das Ort-Spannungs-Diagramm für \(0\,{\rm{m}} \le x \le 1{,}00\,{\rm{m}}\). (Ortsachse: \(0{,}1\,{\rm{m}}\hat = 1\,{\rm{cm}}\) ; Spannungsachse: \(20\,{\rm{mV}}\hat = 1\,{\rm{cm}}\))
In einem zweiten Versuch werden die Punkte P und Q durch einen Bügel mit vernachlässigbarem OHMschen Widerstand verbunden.
c)
Der Leiter L wird ab aus der Ruhe heraus durch eine konstante Kraft von \(1{,}50\,\rm{N}\) nach rechts beschleunigt.
Berechne die Geschwindigkeit, mit der L in das Magnetfeld eintritt.
d)
Im Magnetfeld wirke weiterhin die konstante äußere Kraft.
Berechne die Beschleunigung, die L unmittelbar nach dem Eintritt in das Magnetfeld erfährt.
Erkläre, warum die Beschleunigung bei der weiteren Bewegung abnimmt.
Berechne die Geschwindigkeit, bei der L keine Beschleunigung mehr erfährt.
Ab dem Zeitpunkt, an dem der Stab L in den Bereich des magnetischen Feldes eintaucht, ändert sich der gedachte Inhalt der Fläche, die vom magnetischen Feld durchflossen wird. Diese Fläche ist in Abb. 2 eingefärbt. Aus der Formel zur Berechnung der Induktionsspannung bei Änderung des Flächeninhalts erhält man\[\begin{eqnarray}|{U_{\rm{i}}}| &=& N \cdot B \cdot \frac{{dA}}{{dt}}\\ &=& N \cdot B \cdot \frac{{d\left( {a \cdot b} \right)}}{{dt}}\\ &=& N \cdot B \cdot \frac{{b \cdot da}}{{dt}}\\ &=& N \cdot B \cdot b \cdot \frac{{da}}{{dt}}\\ &=& N \cdot B \cdot b \cdot {v_a}\end{eqnarray}\]Mit \(N=1\), \(B=2{,}00\,{\rm{T}}\), \(b=0{,}200\,\rm{m}\) und \(v_a=v=0{,}100\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ergibt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte\[|{U_{\rm{i}}}| = 1 \cdot 2{,}00\,{\rm{T}} \cdot 0{,}200\,{\rm{m}} \cdot 0{,}100\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 0{,}0400\,{\rm{V}} = 40{,}0\,{\rm{mV}}\]
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 \(x\)-\(U_{\rm{i}}\)-Diagramm
Solange der Stab das magnetische Feld noch nicht erreicht hat (\(x \lt x_1 = 30{,}0\,\rm{cm}\)), entsteht keine Induktionsspannung.
Sobald der Stab das magnetische Feld erreicht hat (\(30{,}0\,\rm{cm}=x_1 \le x\)) ist eine Induktionsspannung von \(40{,}0\,\rm{mV}\) messbar.
c)
Zuerst berechnen wir die Zeit \(t\) bis zum Erreichen des Feldbereichs. Wegen des konstanten Kraftbetrags \(F\) und damit konstanter Beschleunigung \(a\) nutzen wir das Zeit-Orts-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{a}} \quad(1)\]Die Beschleunigung \(a\) berechnen wir mit dem 2. NEWTONschen Gesetz\[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} \quad(2)\]Setzen wir den Term auf der rechten Seite der Gleichung \((2)\) in Gleichung \((1)\) ein, so erhalten wir\[t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{{\frac{F}{m}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot s \cdot m}}{F}} \quad (3)\]Setzen wir \((2)\) und \((3)\) in das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung\[v = a \cdot t\]ein, so erhalten wir\[v = \frac{F}{m} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot s \cdot m}}{F}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot s \cdot F}}{m}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {\frac{{2 \cdot 0{,}300\,{\rm{m}} \cdot 1{,}50\,{\rm{N}}}}{{0{,}150\,{\rm{kg}}}}} = 2{,}45\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
d)
Analog zu Aufgabenteil a) berechnet sich die Induktionsspannung nun zu\[|{U_{\rm{i}}}| = 1 \cdot 2{,}00\,{\rm{T}} \cdot 0{,}200\,{\rm{m}} \cdot 2{,}45\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 0{,}980\,{\rm{V}}\]Nach dem OHMschen Gesetz\[U = R \cdot I \Leftrightarrow I = \frac{U}{R}\]ergibt sich hiermit eine Stromstärke von\[I = \frac{{0{,}980\,{\rm{V}}}}{{0{,}400\,\Omega }} = 2{,}45\,{\rm{A}}\]Auf den stromdurchflossenen Stab wirkt dann die magnetische Kraft\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B\]Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte liefert\[{F_{{\rm{mag}}}} = 2{,}45\,{\rm{A}} \cdot 0{,}200\,{\rm{m}} \cdot 2{,}00\,{\rm{T}} = 0{,}980\,{\rm{N}}\] Mit der Masse von L ergibt sich mit Gleichung \((2)\) aus Teilaufgabe c) eine Beschleunigung von\[a = \frac{{F_{{\rm{mag}}}}}{{m}} = \frac{{0{,}980\,{\rm{N}}}}{{0{,}150\,{\rm{kg}}}} = 6{,}53\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\]Die magnetische Kraft ist nach der LENZschen Regel der beschleunigenden Kraft entgegengerichtet und verringert somit die Gesamtkraft. Damit wird auch die Beschleunigung des Stabes kleiner. Dennoch wird der Stab schneller. Die Vergrößerung der Geschwindigkeit bewirkt aber eine Erhöhung der Induktionsspannung, der Stromstärke und der magnetischen Kraft und damit eine weitere Verringerung der Gesamtkraft und damit der Beschleunigung.
Die Beschleunigung des Stabes endet, wenn die magnetische Kraft betragsgleich der äußeren Kraft ist. Aus\[F = {F_{{\rm{mag}}}} \Leftrightarrow F = I \cdot l \cdot B = \frac{U}{R} \cdot l \cdot B = \frac{{B \cdot l \cdot v}}{R} \cdot l \cdot B = \frac{{{B^2} \cdot {l^2} \cdot v}}{R}\]folgt durch Auflösung nach \(v\)\[v = \frac{{F \cdot R}}{{{B^2} \cdot {l^2}}}\]Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte liefert\[v = \frac{{1{,}50\,{\rm{N}} \cdot 0{,}400\,\Omega }}{{{{\left( {2{,}00\,{\rm{T}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {0{,}200\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 3{,}75\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
