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Grundwissen

Induktion durch Änderung der Winkelweite

Das Wichtigste auf einen Blick

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die magnetische Feldstärke \(B\) des homogenen magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächeninhalt \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder Spule mit der Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant

Wenn sich die Richtung oder die Orientierung des Feldstärkevektors \(\vec B\) oder des Flächenvektors \(\vec A\) und damit die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) mit der Änderungsrate \(\frac{d \varphi}{dt}\) ändert, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch \(U_{\rm{i}} =  N \cdot B \cdot A \cdot \frac{d \varphi}{dt} \cdot \sin\left(\varphi\right)\) .

Aufgaben Aufgaben

Die Simulation in Abb. 1 zeigt dir eine Leiterschleife, die sich vollständig in einem homogenen magnetischen Feld, beschrieben durch den Feldstärkevektor \(\vec B\), befindet. Der Flächenvektor \(\vec A\) schließt mit dem Feldstärkevektor \(\vec B\) einen Winkel der Weite \(\varphi\) ein.

Rechts von dieser Induktionsanordnung kannst du zum einen den magnetischen Fluss \(\Phi\) durch die Leiterschleife und zum anderen die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) in der Leiterschleife beobachten.

Mit dem Schieberegler am oberen Rand der Simulation kannst du die Winkelweite \(\varphi\) in bestimmten Grenzen verändern. Dabei dreht sich die Leiterschleife gegenüber dem magnetischen Feld. Entsprechend könnte auch die Leiterschleife feststehen und sich ein Magnet in der Nähe drehen.

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Abb. 1 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch die Änderung der Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkevektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\)

Wie auch in den bisherigen Versuchen und Simulationen zur elektromagnetischen Induktion kannst du folgendes beobachten:

  • Wenn du die Winkelweite \(\varphi\) veränderst, dann verändert sich der magnetische Fluss \(\Phi\).

  • Wenn sich der magnetische Fluss \(\Phi\) verändert, dann verursacht dies eine Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Sowohl durch die Auswertung geeigneter Experimente als auch durch theoretische Überlegungen (vgl. die Links am Ende des Artikels) erhalten wir folgendes quantitatives Ergebnis:

Induktion durch Änderung der Winkelweite

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die magnetische Feldstärke \(B\) des homogenenden magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächeninhalt \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant

Wenn sich die Richtung oder die Orientierung des Feldstärkevektors \(\vec B\) oder des Flächenvektors \(\vec A\) und damit die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) mit der Änderungsrate \(\frac{d \varphi}{dt}\) ändert, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch\[U_{\rm{i}}\left(t\right) = N \cdot B \cdot A \cdot \frac{d \varphi}{dt} \cdot \sin\left(\varphi\right) \quad (1)\]

Sonderfall: Die Leiterschleife dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit im magnetischen Feld wie z.B. bei einem Generator

Die häufigste Anwendung der Induktion durch Änderung der Winkelweite ist der Generator. In ihm dreht sich eine Leiterschleife mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) in einem magnetischen Feld, so dass für die Winkelweite gilt \(\varphi = \omega \cdot t\). In der Simulation in Abb. 2 ist diese Situation dargestellt.

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Abb. 2 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und damit Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\), wenn sich eine Leiterschleife mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem magnetischen Feld dreht

Du kannst folgendes beobachten:

  • Die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) verändert sich harmonisch.

  • Ist die Winkelweite \(0\) oder \(\pi\), dann ist die Induktionsspannung \(0\).

  • Ist die Winkelweite \(\frac{\pi}{2}\) oder \(\frac{3 \cdot \pi}{2}\), dann ist die Induktionsspannung maximal oder minimal.

Verändert sich die Winkelweite \(\varphi\) mit der Kreisfrequenz \(\omega\), d.h. \(\varphi\left( t \right) = \omega \cdot t\), dann ergibt sich mit \(\frac{{d\varphi }}{{dt}} = \omega \) aus Gleichung \((1)\)\[{U_{\rm{i}}}\left( t \right) = N \cdot B \cdot A \cdot \omega  \cdot \sin \left( \omega \cdot t  \right)\]Damit erhalten wir folgendes Ergebnis:

Induktion bei Drehung der Leiterschleife mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die magnetische Feldstärke \(B\) des homogenenden magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächeninhalt \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant

Wenn sich die Leiterschleife mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) im magnetischen Feld dreht, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch\[U_{\rm{i}}\left(t\right) = N \cdot B \cdot A \cdot \omega \cdot \sin\left(\omega \cdot t\right) \quad (2)\]Die Amplitude \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung berechnet sich dann durch\[\hat U_{\rm{i}} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega \quad (2^*)\]

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben rund um diesen Sonderfall zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\hat U_{\rm{i}} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega \) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{\widehat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {B} \cdot {A} \cdot {\omega}\]ist bereits nach \(\color{Red}{\widehat U_{\rm{i}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{\widehat U_{\rm{i}}} = \color{Red}{N} \cdot {B} \cdot {A} \cdot {\omega}\]nach \(\color{Red}{N}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{N} \cdot {B} \cdot {A} \cdot {\omega} = {\widehat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {B} \cdot {A} \cdot {\omega}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {B} \cdot {A} \cdot {\omega}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{N} \cdot {B} \cdot {A} \cdot {\omega}}}{ {B} \cdot {A} \cdot {\omega}} = \frac{{\widehat U_{\rm{i}}}}{ {B} \cdot {A} \cdot {\omega}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {B} \cdot {A} \cdot {\omega}\).\[\color{Red}{N} = \frac{{\widehat U_{\rm{i}}}}{ {B} \cdot {A} \cdot {\omega}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{N}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\widehat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot \color{Red}{B} \cdot {A} \cdot {\omega}\]nach \(\color{Red}{B}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot \color{Red}{B} \cdot {A} \cdot {\omega} = {\widehat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {A} \cdot {\omega}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {A} \cdot {\omega}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {N} \cdot \color{Red}{B} \cdot {A} \cdot {\omega}}}{ {N} \cdot {A} \cdot {\omega}} = \frac{{\widehat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {A} \cdot {\omega}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {A} \cdot {\omega}\).\[\color{Red}{B} = \frac{{\widehat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {A} \cdot {\omega}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{B}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\widehat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {B} \cdot \color{Red}{A} \cdot {\omega}\]nach \(\color{Red}{A}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot {B} \cdot \color{Red}{A} \cdot {\omega} = {\widehat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {B} \cdot {\omega}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {B} \cdot {\omega}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {N} \cdot {B} \cdot \color{Red}{A} \cdot {\omega}}}{ {N} \cdot {B} \cdot {\omega}} = \frac{{\widehat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {B} \cdot {\omega}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {B} \cdot {\omega}\).\[\color{Red}{A} = \frac{{\widehat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {B} \cdot {\omega}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{A}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\widehat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {B} \cdot {A} \cdot \color{Red}{\omega}\]nach \(\color{Red}{\omega}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot {B} \cdot {A} \cdot \color{Red}{\omega} = {\widehat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {B} \cdot {A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {B} \cdot {A}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {N} \cdot {B} \cdot {A} \cdot \color{Red}{\omega}}{ {N} \cdot {B} \cdot {A}} = \frac{{\widehat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {B} \cdot {A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {B} \cdot {A}\).\[\color{Red}{\omega} = \frac{{\widehat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {B} \cdot {A}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\omega}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel zur Berechnung der Amplitude der Induktionsspannung bei Änderung der Winkelweite nach den fünf in der Formel auftretenden Größen