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Grundwissen

Magnetischer Fluss und Induktionsgesetz

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der magnetische Fluss \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right)\) ist salopp gesagt das Maß für die "Menge an Magnetfeld, dass in einer Induktionsanordnung durch die Leiterschleife fließt".
  • In einer Induktionsanordung kann man am Spannungsmesser in der Induktionsspule immer dann eine Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) beobachten, wenn sich der magnetische Fluss \(\Phi\) in der Leiterschleife ändert.
  • Der Wert der Induktionsspannung berechnet sich durch \({U_{\rm{i}}} = - \frac{{d\Phi }}{{dt}}\) bzw. für den Fall einer Spule mit \(N\) Windungen als Leiterschleife \({U_{\rm{i}}} = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\).
Aufgaben Aufgaben

Aus den quantitativen Versuchen zu Induktionsvorgängen konntest du Folgendes herausarbeiten:

  • Bei der Änderung \(\frac{{dB}}{{dt}}\) der magnetische Feldstärke berechnet sich die Induktionsspannung durch \({U_{\rm{i}}} = - \frac{{dB}}{{dt}} \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right)\).

  • Bei der Änderung \(\frac{{dA}}{{dt}}\) des Flächeninhalts berechnet sich die Induktionsspannung durch \({U_{\rm{i}}} = - B \cdot \frac{{dA}}{{dt}} \cdot \cos\left(\varphi\right)\).

  • Bei der Änderung \(\frac{{d \varphi}}{{dt}}\) der Winkelweite berechnet sich die Induktionsspannung durch \({U_{\rm{i}}} = A \cdot B \cdot \frac{{d \varphi}}{{dt}} \cdot \sin\left(\varphi\right)\).

Die bisherigen Beobachtungen zu Induktionsvorgängen sehen mit den drei verschiedenen Änderungsmöglichkeiten recht unübersichtlich aus. Es wird uns aber gelingen, alle drei Situationen auf die Änderung einer einzigen physikalischen Größe zurückzuführen. Damit werden wir auch die drei Gleichungen zu einer einzigen Gleichung zusammenfassen können. Sei gespannt!

Magnetischer Fluss

Im Laufe der jahrhundertelangen Untersuchung von Induktionsvorgänge seit FARADAY hat sich gezeigt, dass die Definition der neuen physikalischen Größe "Magnetischer Fluss" der Schlüssel zur Beschreibung von Induktionsvorgängen ist.

Magnetischer Fluss

Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist salopp gesagt das Maß für die "Menge an Magnetfeld, dass in einer Induktionsanordnung durch die Leiterschleife fließt".

Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist definiert als das Produkt aus der Feldstärke \(B\) des homogenen magnetischen Feldes, in dem sich Teile oder die ganze Leiterschleife befindet, dem Flächeninhalt \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife, die sich im magnetischen Feld befindet und dem Kosinus der Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkevektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\):\[\Phi = B \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right)  \quad (1)\]Mit Kenntnissen des sogenannten Skalarprodukts aus der Analytischen Geometrie kann man auch einfacher schreiben\[\Phi = \vec B \cdot \vec A \quad (1^*)\]

Tab. 1 Definition des magnetischen Flusses und seiner Einheit

Größe
Name Symbol Definition
magnetischer Fluss \(\Phi\) \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right)\)
Einheit
Name Symbol Definition
Weber \(\rm{Wb}\) \(1\,\rm{Wb}=1\,\rm{T}\,\rm{m}^2=1\,\rm{V}\,\rm{s}\)

Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist eine skalare Größe.

Gleichung \((1)\) gibt eine Erklärung, was du dir unter einem magnetischen Fluss von \(1\,\rm{Wb}\) vorstellen kannst: In einer Induktionsanordnung besteht ein magnetischer Fluss von \(1\,\rm{Wb}\), wenn in einem homogenen magnetischen Feld der Feldstärke \(1\,\rm{T}\) eine Leiterschleife mit \(1\,\rm{m}^2\) Flächeninhalt senkrecht zum magnetischen Feldstärkevektor steht.

Will man in Kurzschreibweise ausdrücken, dass die Einheit des magnetischen Flusse \(1\,\rm{Wb}\) ist, so kann man schreiben \([\Phi] = 1\,\rm{Wb}\).

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Abb. 1 Magnetischer Fluss \(\Phi\) in Abhängigkeit von der magnetischen Feldstärke \(B\), dem Flächeninhalt \(A\) und der Winkelweite \(\varphi\) in einer Induktionsanordnung
Hinweis

Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist eine skalare Größe ohne eine Richtung und kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

Induktionsgesetz

Du weißt auch, wann in Induktionsanordnungen eine Induktionsspannung gemessen werden kann:

  • wenn sich die magnetische Feldstärke \(B\) des homogenen magnetischen Feldes, in dem sich Teile oder die ganze Leiterschleife befindet, ändert

  • wenn sich der Flächeninhalt \(A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife, die sich im magnetischen Feld befindet, ändert

  • wenn sich die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen Feldstärkevektor \(\vec B\) und Flächenvektor \(\vec A\) ändert.

Alle Versuche zur Induktion zeigen nun, dass der Induktion folgende Gesetzmäßigkeit zu Grunde liegt.

Induktionsgesetz

In einer Induktionsanordung kann man am Spannungsmesser in der Induktionsspule immer dann eine Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) beobachten, wenn sich der magnetische Fluss \(\Phi\) in der Leiterschleife ändert.

Bleibt der magnetische Fluss \(\Phi\) in der Leiterschleife dagegen konstant, so ist keine Induktionsspannung beobachtbar.

Der Wert der Induktionsspannung berechnet sich durch\[{U_{\rm{i}}} = - \frac{{d\Phi }}{{dt}} \quad(2)\]Besteht die Leiterschleife aus einer Spule mit \(N\) Windungen, dann gilt für die Induktionsspannung\[{U_{\rm{i}}} = - N \cdot \frac{d\Phi }{dt} \quad(3)\]In Aufgaben hat man häufig den Sonderfall, dass

  • der magnetische Fluss \(\Phi\) in einer Zeitspanne \(\Delta t\) um den Wert \(\Delta \Phi\) linear ansteigt oder abfällt

Dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) konstant und sie berechnet sich durch\[U_{\rm{i}} =  - N \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \quad (3^*)\]

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Abb. 2 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und damit die Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch die Änderung der magnetischen Feldstärke \(B\), des Flächeninhalts \(A\) oder der Winkelweite \(\varphi\)

Auf den ersten Blick ist nicht ersichtlich, dass in dieser einfachen Gleichung \((2)\) alle bisherigen Versuchsergebnisse enthalten sind. Wenn wir aber in Gleichung \((2)\) die Definition \((1)\) einsetzen und dann Produkt- und Kettenregel aus der Analysis anwenden, erhalten wir ein verblüffendes Ergebnis:\[\begin{eqnarray}{U_{\rm{i}}} &=&  - \frac{{d\Phi }}{{dt}}\\ &=&  - \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot A \cdot \cos \left( \varphi  \right)} \right)\\ &=&  - \frac{d}{{dt}}\left( {\underbrace {\left( {B \cdot A} \right)}_{{\rm{1}}.\;{\rm{Faktor}}} \cdot \underbrace {\cos \left( \varphi  \right)}_{{\rm{2}}.\;{\rm{Faktor}}}} \right)\\&{\underbrace  = _{{\rm{Produktregel}}}}& - \left[ {\frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot A} \right) \cdot \cos \left( \varphi  \right) + \left( {B \cdot A} \right) \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {\cos \left( \varphi  \right)} \right)} \right]\\&{\underbrace  = _{{\rm{Produktregel}}}}& - \left[ {\left( {\frac{{dB}}{{dt}} \cdot A + B \cdot \frac{{dA}}{{dt}}} \right) \cdot \cos \left( \varphi  \right) + B \cdot A \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {\cos \left( \varphi  \right)} \right)} \right]\\&{\underbrace  = _{{\rm{Kettenregel}}}}& - \left[ {\frac{{dB}}{{dt}} \cdot A \cdot \cos \left( \varphi  \right) + B \cdot \frac{{dA}}{{dt}} \cdot \cos \left( \varphi  \right) + B \cdot A \cdot \left( { - \sin \left( \varphi  \right)} \cdot \frac{d\varphi}{dt} \right) } \right]\\ &=& \underbrace {- \frac{{dB}}{{dt}} \cdot A \cdot \cos \left( \varphi  \right)}_{\scriptstyle{\rm{Induktion}}\;{\rm{durch}}\atop{\scriptstyle{\rm{Änderung}}\;{\rm{der}}\atop\scriptstyle{\rm{magnetischen}}\;{\rm{Feldstärke}}}}\;\;\underbrace {- B \cdot \frac{{dA}}{{dt}} \cdot \cos \left( \varphi  \right)}_{\scriptstyle{\rm{Induktion}}\;{\rm{durch}}\atop{\scriptstyle{\rm{Änderung}}\;{\rm{des}}\atop\scriptstyle{\rm{Flächeninhalts}}}}\;\;\underbrace {+ B \cdot A \cdot \frac{{d\varphi }}{{dt}} \cdot \sin \left( \varphi  \right)}_{\scriptstyle{\rm{Induktion}}\;{\rm{durch}}\atop{\scriptstyle{\rm{Änderung}}\;{\rm{der}}\atop\scriptstyle{\rm{Winkelweite}}}}\end{eqnarray}\]

Spannungsstoß

Durch Umformung des oben dargestellten Induktionsgesetzes erhält man\[{{U_{\rm{i}}} =  - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} \Leftrightarrow \underbrace {U_{\rm{i}} \cdot \Delta t}_{{\rm{Spannungsstoß}}} = \underbrace { - N \cdot \Delta \Phi }_{{\rm{Flussänderung}}}}\]Die letzte Beziehung gilt nur beim Auftreten einer konstanten Induktionsspannung (d.h. bei zeitlich linearer Flussänderung). Etwas allgemeiner lässt sich unter der Verwendung der Integralrechnung schreiben\[\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{\rm{i}}}dt = - N \cdot \Delta \Phi }\]Dies bezeichnet man oft als das Induktionsgesetz in integraler Form Bei konstanter Induktionsspannung bezeichnet man das Produkt \({U_{\rm{i}} \cdot \Delta t}\), bei nicht konstanter Spannung das Integral \(\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{\rm{i}}}dt}\) als Spannungsstoß.