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Versuche

Induktion durch Änderung des Flächeninhalts (Simulation)

Das Ziel der Simulation

  • Die Simulation ermöglicht die Untersuchung der Abhängigkeit der Induktionsspannung von der Änderung des Flächeninhalts.

Im zweiten Grundversuch zur elektromagnetischen Induktion (vgl. Link am Ende dieses Artikels) konntest du folgendes erkennen:

  • Wenn sich der Flächeninhalt \(A\) einer Leiterschleife, durch die eine magnetisches Feld "hindurchfließt", ändert, dann kann man an einem Spannungsmesser in der Leiterschleife eine Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) beobachten. Der Betrag der Induktionsspannung ist dabei davon abhängig, wie schnell sich der Flächeninhalt verändert.

Mit der Simulation in Abb. 1 kannst du quantitativ untersuchen, wie die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) von der Änderung des Flächeninhalts \(A\) abhäng, wenn die magnetische Feldstärke \(B\) und die Winkelweite \(\varphi\) konstant bleiben (vgl. den ersten und den dritten Grundversuch). Du kannst aber auch untersuchen, welchen Einfluss dann die magnetische Feldstärke \(B\) und die Winkelweite \(\varphi\) auf den Betrag der Induktionsspannung haben.

Aufbau und Durchführung

In der Simulation siehst du eine rechteckige Leiterschleife im Schrägbild, in der Vorderansicht und in der Draufsicht. In dem abgegrenzten Bereich um die Leiterschleife kann während der Simulation ein homogenes magnetisches Feld erzeugt werden. Die Stärke des Feldes kannst du mit dem ersten Schieberegler in bestimmte Grenzen verändern. Die Richtung und die Stärke des Feldes werden durch den Feldstärkevektor \(\vec B\) und eine grüne Färbung dargestellt.

Wie bekommen wir jetzt eine eindeutig messbare Änderung des Flächeninhalts realisiert? Wir vergrößern - ausgehend von \(A=0\) - in der Zeitspanne \(\Delta t\) den Flächeninhalt \(A\) linear um den Wert \(\Delta A\). Dann ist die Änderungsrate (Änderungsgeschwindigkeit) des Flächeninhalts konstant und hat den Wert \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\). Mit den nächsten beiden Schiebereglern kannst du die Werte von \(\Delta A\) und \(\Delta t\) einstellen. Die größte Änderungsrate, also den größten Wert von \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) erreichst du z.B. durch \(\Delta A = 2{,}0\,\rm{m}^2\) und \(\Delta t = 1{,}0\,\rm{s}\).

Mit dem nächsten Schieberegler kannst du die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen magnetischem Feld und Leiterschleife in bestimmten Grenzen verändern.

Wenn du die Simulation mit dem Startknopf am unteren Rand startest, kannst du beobachten, wie die Leiterschleife im Bereich des Feldes langsam größer wird. Gleichzeitig kannst du an einem Spannungsmesser die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) beobachten.

Unterhalb der Leiterschleife wird dir die Zeit \(t\), der momentane Flächeninhalt \(A\) und die momentane Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) angezeigt.

Mit der Checkbox "Diagramme" kannst du dir den zeitlichen Verlauf von \(A\) und \(U_{\rm{i}}\) in zwei Diagrammen anzeigen lassen.

B
ΔA
Δt
φ
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Prinzipieller Aufbau, Durchführung und Beobachtungen des Versuchs zur Untersuchung der Abhängigkeit der Induktionsspannung von der Änderung des Flächeninhalts
Beobachtung
Aufgabe

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgenden Aussagen über die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Wenn der Flächeninhalt \(A\) linear ansteigt, dann ...

Wenn der Flächeninhalt \(A\) konstant ist, dann ...

Lösung

Wenn der Flächeninhalt \(A\) linear ansteigt, dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) konstant.

Wenn der Flächeninhalt \(A\) konstant ist, dann ist der Wert der Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) Null.

1. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit von \(U_{\rm{i}}\) von der Änderungsrate \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) bei konstantem \(B\) und konstantem \(\varphi\)

Im ersten Teilversuch halten wir die magnetische Feldstärke \(B\) und die Winkelweite \(\varphi\) konstant, verändern die Änderungsrate \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) des Flächeninhalts der Leiterschleife und beobachten die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte die magnetische Feldstärke auf dem Wert \(B=0{,}50\,\rm{T}\) und die Winkelweite auf dem Wert \(\varphi = 0\) konstant.

Stelle die Durchführung auf "nur Anstieg".

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle. Verändere dabei sowohl die Werte von \(\Delta A\) als auch von \(\Delta t\).

Tab. 1a Wertetabelle ohne Messwerte

\(\Delta A\;{\rm{in}}\;{\rm{m}^2}\) \(0{,}00\)         \(1{,}0\)
\(\Delta t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\)           \(1{,}0\)
\(\frac{\Delta A}{\Delta t}\;{\rm{in}}\;{\frac{\rm{m}^2}{\rm{s}}}\)           \(1{,}0\)
\(U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\)            

Lösung

Mögliche Lösung:

Tab. 1b Wertetabelle mit Messwerten

\(\Delta A\;{\rm{in}}\;{\rm{m}^2}\) \(0{,}0\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}80\) \(1{,}0\) \(1{,}0\)
\(\Delta t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(5{,}0\) \(5{,}0\) \(2{,}5\) \(2{,}0\) \(2{,}0\) \(1{,}0\)
\(\frac{\Delta A}{\Delta t}\;{\rm{in}}\;{\frac{\rm{m}^2}{\rm{s}}}\) \(0{,}0\) \(0{,}10\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}50\) \(1{,}0\)
\(U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(0{,}00\) \(-0{,}05\) \(-0{,}10\) \(-0{,}20\) \(-0{,}25\) \(-0{,}50\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\)-\(U_{\rm{i}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\)-\(U_{\rm{i}}\)-Diagramm mit Ausgleichsgerade

Das Diagramm in Abb. 2 zeigt, dass bei konstanter magnetischer Feldstärke \(B\) und konstanter Winkelweite \(\varphi\) die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) proportional zur Änderungsrate \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) des Flächeninhalts ist:\[U_{\rm{i}} \sim \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[U_{\rm{i}} = -0{,}50\,\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2} \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}\]und mit der Einheitenumrechnung\[\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2} = \rm{T}\]\[U_{\rm{i}} = -0{,}50\,\rm{T} \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}\]

2. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit von \(U_{\rm{i}}\) von der magnetischen Feldstärke \(B\) bei konstantem \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) und konstantem \(\varphi\)

Im zweiten Teilversuch halten wir die Änderungsrate \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) des Flächeninhalts der Leiterschleife und die Winkelweite \(\varphi\) konstant, verändern die magnetische Feldstärke \(B\) und beobachten die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte die Änderungsrate des Flächeninhalts auf dem Wert \(\frac{\Delta A}{\Delta t}=0{,}40\,\frac{\rm{m}^2}{\rm{s}}\) und die Winkelweite auf dem Wert \(\varphi = 0\) konstant.

Stelle die Durchführung auf "nur Anstieg".

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 2a Wertetabelle ohne Messwerte

\(B\;{\rm{in}}\;{\rm{T}}\) \(0{,}00\)         \(0{,}50\)
\(U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\)            

Lösung

Mögliche Lösung:

Tab. 2b Wertetabelle mit Messwerten

\(B\;{\rm{in}}\;{\rm{T}}\) \(0{,}00\) \(0{,}10\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\)
\(U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(0{,}00\) \(-0{,}04\) \(-0{,}08\) \(-0{,}12\) \(-0{,}16\) \(-0{,}20\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(B\)-\(U_{\rm{i}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 \(B\)-\(U_{\rm{i}}\)-Diagramm mit Ausgleichsgerade

Das Diagramm in Abb. 3 zeigt, dass bei konstanter Änderungsrate \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) des Flächeninhalts und konstanter Winkelweite \(\varphi\) die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) proportional zur magnetischen Feldstärke \(B\) ist:\[U_{\rm{i}} \sim B\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[U_{\rm{i}} = -0{,}40\,\frac{{\rm{V}}}{{{{\rm{T}}}}} \cdot B\]und mit der Einheitenumrechnung\[\frac{\rm{V}}{\rm{T}} = \frac{{{\rm{V}}}}{{\frac{{{\rm{V}}\,{\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}}}} = \frac{\rm{m}^2}{\rm{s}}\]\[U_{\rm{i}} = -0{,}40\,\frac{\rm{m}^2}{\rm{s}} \cdot B\]

Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden Teilversuche

  • Aus dem ersten Teilversuch ergibt sich \(U_{\rm{i}} \sim \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\) bei konstantem \(B\) und konstantem \(\varphi\).
  • Aus dem zweiten Teilversuch ergibt sich \(U_{\rm{i}} \sim B\) bei konstantem \(\frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\) und konstantem \(\varphi\).

Zusammengefasst ergibt sich\[U_{\rm{i}} \sim \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}} \cdot B\;{\rm{oder}}\;U_{\rm{i}} = k \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}} \cdot B\]

Auswertung
Aufgabe

Bestimme aus den bisherigen Messwerten den Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\).

Lösung

Aus dem bisherigen Ergebnis schließen wir, wie wir den Faktor \(k\) bestimmen können:\[U_{\rm{i}} = k \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}} \cdot B \Leftrightarrow k = \frac{{U_{\rm{i}}}}{{\frac{{\Delta A}}{{\Delta t}} \cdot B}}\]

Tab. 3 Wertetabelle mit Messwerten

\(B\;{\rm{in}}\;{\rm{T}}\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}10\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\)
\(\frac{\Delta A}{\Delta t}\;{\rm{in}}\;{\frac{\rm{m}^2}{\rm{s}}}\) \(0{,}10\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}50\) \(1{,}0\) \(0{,}40\) \(0{,}40\) \(0{,}40\) \(0{,}40\) \(0{,}40\)
\(U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(-0{,}05\) \(-0{,}10\) \(-0{,}20\) \(-0{,}25\) \(-0{,}50\) \(-0{,}04\) \(-0{,}08\) \(-0{,}12\) \(-0{,}16\) \(-0{,}20\)
\(\frac{{U_{\rm{i}}}}{{\frac{{\Delta A}}{{\Delta t}} \cdot B}}\;{\rm{in}}\;\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2\,\rm{T}}\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\) \(-1{,}00\)

Es ergibt sich also \(k=-1{,}0\,\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2\,\rm{T}}\) und mit der Einheitenumrechnung\[\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2\,\rm{T}} = \frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2\,\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{m}^2}} = 1\]dann \(k=-1{,}0\).

Die Untersuchung der Abhängigkeit der Induktionsspannung von der Winkelweite \(\varphi\) überlassen wir den sehr interessierten Schülerinnen und Schülern und stellen diese an das Ende dieses Artikels. Die Aufnahme und Auswertung der entsprechenden Messwerte ergibt \(U_{\rm{i}} \sim \cos\left( \varphi\right)\) bei konstantem \(\frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\) und konstantem \(B\). Damit erhalten wir folgendes Versuchsergebnis:

Ergebnis

Befindet sich eine Leiterschleife unter einem Winkel der Weite \(\varphi\) in einem homogenen magnetischen Feld mit der Feldstärke \(B\), und ändert sich der Flächeninhalt mit der Änderungsrate \(\frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\), dann berechnet sich die Induktionsspannung \( U_{\rm{i}}\) durch\[U_{\rm{i}} = -B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}} \cdot \cos\left(\varphi\right)\]

3. Teilversuch (nur für sehr interessierte Schülerinnen und Schüler): Untersuchung der Abhängigkeit von \(U_{\rm{i}}\) von der Winkelweite \(\varphi\) bei konstantem \(B\) und konstantem \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\)

Im dritten Teilversuch halten wir die magnetische Feldstärke \(B\) und die Änderungsrate \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) des Flächeninhalts der Leiterschleife konstant, verändern die Winkelweite \(\varphi\) und beobachten die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte die Änderungsrate auf dem Wert \(\frac{\Delta A}{\Delta t}=0{,}40\,\frac{\rm{m}^2}{\rm{s}}\) und die magnetische Feldstärke auf dem Wert \(B=0{,}50\,\rm{T}\) konstant.

Stelle die Durchführung auf "nur Anstieg".

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 4a Wertetabelle ohne Messwerte

\(\varphi\) \(0{,}0\) \(0{,}26\) \(0{,}52\) \(0{,}79\) \(1{,}05\) \(1{,}31\) \(1{,}57\)
\(U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\)              

Lösung

Mögliche Lösung:

Tab. 4b Wertetabelle mit Messwerten

\(\varphi\) \(0{,}0\) \(0{,}26\) \(0{,}52\) \(0{,}79\) \(1{,}05\) \(1{,}31\) \(1{,}57\)
\(U_{\rm{i}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(-0{,}20\) \(-0{,}19\) \(-0{,}17\) \(-0{,}14\) \(-0{,}10\) \(-0{,}05\) \(0{,}00\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(\varphi\)-\(U_{\rm{i}}\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 \(\varphi\)-\(U_{\rm{i}}\)-Diagramm mit Ausgleichskurve

Das Diagramm in Abb. 4 zeigt, dass bei konstanter Änderungsrate \(\frac{\Delta A}{\Delta t}\) und konstanter magnetischer Feldstärke \(B\) die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) proportional zum Kosinus der Winkelweite \(\varphi\) ist:\[U_{\rm{i}} \sim \cos\left(\varphi\right)\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichskurve lautet hier\[U_{\rm{i}} = -0{,}20\,\rm{V} \cdot \cos\left(\varphi\right)\]