Elektromagnetische Induktion

a)Siehe Abb. 2.

b)\[{U_{\rm{i,1}}} = -B \cdot a \cdot v \Rightarrow {U_{\rm{i,1}}} = -1{,}0 \cdot {10^{ - 2}} \cdot 0{,}10 \cdot 2{,}0\,{\rm{V}} = -2{,}0 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{V}}\]\[{U_{\rm{i,2}}} = -\frac{B}{2} \cdot a \cdot v - \left( {-B \cdot a \cdot v} \right) \Rightarrow {U_{\rm{i,2}}} = 0{,}50 \cdot {10^{ - 2}} \cdot 0{,}10 \cdot 2{,}0\,{\rm{V}} = 1{,}0 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{V}}\]\[{U_{\rm{i,3}}} = 0 - \left( { - \frac{B}{2} \cdot a \cdot v} \right) \Rightarrow {U_{\rm{i,3}}} = 0{,}50 \cdot {10^{ - 2}} \cdot 0{,}10 \cdot 2{,}0\,{\rm{V}} = 1{,}0 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{V}}\]

c)1. Die Schleife gelangt vom feldfreien Raum in den Raum mit der Feldstärke \(B\): Mit Hilfe einer der Drei-Finger-Regeln für bewegte Ladungsträger (die in der Schleife mittransportiert werden) überlegt man sich, dass bei P ein Pluspol und bei Q ein Minuspol entsteht. Bei dieser Polarität verläuft die elektrische Stromrichtung im Gegenuhrzeigersinn. Es gilt \[\left| {{I_{\rm{i,1}}}} \right| = \frac{{\left| {{U_{\rm{i,1}}}} \right|}}{R} \Rightarrow \left| {{I_{ind,1}}} \right| = \frac{{2{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{0{,}010}}{\rm{A}} = 2{,}0 \cdot {10^{ - 1}}\,{\rm{A}}\] \[\left| {{F_{m,1}}} \right| = B \cdot {I_{ind,1}} \cdot a \Rightarrow \left| {{F_{m,1}}} \right| = 1{,}0 \cdot {10^{ - 2}} \cdot 2{,}0 \cdot {10^{ - 1}} \cdot 0{,}10\,{\rm{{\rm N}}} = 2{,}0 \cdot 1{0^{ - 4}}\,{\rm{N}}\]Die magnetische Kraft ist nach links gerichtet (Ermittlung mit der Drei-Finger-Regel).

2. Die Schleife gelangt vom Bereich des starken Magnetfeldes in den Bereich des schwächeren Magnetfeldes: Die am linken vertikalen Leiterstück entstehende Spannung ist größer als diejenige am rechten vertikalen Leiterstück. Somit fließt der elektrische Strom im Uhrzeigersinn durch die Schleife. Für den Induktionsstrom und die magnetische Kraft gilt \[\left| {{I_{ind,2}}} \right| = \frac{{\left| {{U_{ind,2}}} \right|}}{R} \Rightarrow \left| {{I_{ind,2}}} \right| = \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{0{,}010}}\,{\rm{A}} \approx 1{,}0 \cdot {10^{ - 1}}\,{\rm{A}}\] \[\left| {{F_{m,2}}} \right| = B \cdot \left| {{I_{ind,2}}} \right| \cdot a - \frac{B}{2} \cdot \left| {{I_{ind,2}}} \right| \cdot a \Rightarrow \left| {{F_{m,1}}} \right| \approx 0{,}5 \cdot 10^{-4}\,{\rm{N}}\]Die resultierende magnetische Kraft ist nach links gerichtet.

3. Die Schleife gelangt vom Bereich des schwachen Magnetfeldes in den feldfreien Raum: \[\left| {{I_{ind,3}}} \right| = \frac{{\left| {{U_{ind,3}}} \right|}}{R} \Rightarrow \left| {{I_{ind,3}}} \right| = \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{0,010}}\,{\rm{A}} \approx 1{,}0 \cdot {10^{ - 1}}\,{\rm{A}}\] \[\left| {{F_{m,3}}} \right| = \frac{B}{2} \cdot \left| {{I_{ind,3}}} \right| \cdot a \Rightarrow \left| {{F_{m,3}}} \right| = 0{,}5 \cdot {10^{ - 2}} \cdot 1{,}0 \cdot {10^{ - 1}} \cdot 0{,}10\,{\rm{N}} \approx 0{,}5 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{N}}\]Der elektrische Strom durchläuft die Leiterschleife im Uhrzeigersinn, die magnetische Kraft ist nach links gerichtet.

d)1. Fall:

Für die Hintereinanderschaltung der Leiterschleifen kann man sich das nebenstehende Ersatzschaltbild vorstellen. Damit erhält man \[{U_{ind,\alpha }} = N \cdot {U_{ind}}\] Daraus ergibt sich \[{I_{ind,\alpha }} = \frac{{{U_{ind,\alpha }}}}{{{R_{ges,\alpha }}}} = \frac{{N \cdot {U_{ind}}}}{{N \cdot R}} = \frac{{{U_{ind}}}}{R}\]
Der Induktionsstrom bleibt also gleich. Da dieser aber nun N-Mal durch das Magnetfeld fließt und auf jede Windung die Magnetische Kraft aus Teilaufgabe c) 1. wirkt, ist die gesamte Magnetische Kraft auf die \(N\) Leiterschleifen \(N\)-mal so groß wie vorher, d.h es gilt \({F_{\rm{m},\alpha }}=N\cdot 2{,}0\cdot 10^{-4}\,\rm{N}\).

2. Fall:

Für die Parallelschaltung der Leiterschleifen kann man sich das nebenstehende Ersatzschaltbild vorstellen. Damit erhält man \[{U_{ind,\beta }} = {U_{ind}}\] Daraus ergibt sich \[{I_{ind,\beta }} = \frac{{{U_{ind,\beta }}}}{{{R_{ges,\beta }}}} = \frac{{{U_{ind}}}}{{\frac{R}{N}}} = \frac{{N \cdot {U_{ind}}}}{R}\] Der Induktionsstrom ist also insgesamt N-mal so groß wie bei einer einzelnen Windung. In jeder einzelnen Windung hingegen fließt nur der ursprüngliche Strom, Da dieser Strom aber wieder N-Mal durch das Magnetfeld fließt und auf jede Windung die Magnetische Kraft aus Teilaufgabe c) 1. fließt, ist die gesamte Magnetische Kraft auf die Leiterschleifen \(N\)-mal so groß wie vorher, d.h. es gilt wieder \({F_{\rm{m},\beta }}=N\cdot 2{,}0\cdot 10^{-4}\,\rm{N}\).

Bemerkung: Dass die beiden Kräfte gleich groß und \(N\)-mal so groß wie bei einer Windung sein müssen, kann man auch leicht aufgrund der entsprechenden Leistungen \(P=U\cdot I\) erkennen, die ebenfalls gleich groß sind.

e)\[\begin{array}{l}{W_{mech}} = {F_{m,1}} \cdot a + {F_{m,2}} \cdot a + {F_{m,3}} \cdot a = a \cdot \left( {{F_{m,1}} + {F_{m,2}} + {F_{m,3}}} \right) \Rightarrow \\{W_{mech}} = 0{,}10 \cdot \left( {2{,}0 \cdot {{10}^{ - 4}} + 0{,}50 \cdot {{10}^{ - 4}} + 0{,}50 \cdot {{10}^{ - 4}}} \right)\,{\rm{J}} \approx 3{,}0 \cdot {10^{ - 5}}\,{\rm{J}}\end{array}\]

f)\[\begin{array}{l}{W_{elektr}} = R \cdot I_{ind,1}^2 \cdot \Delta t + R \cdot I_{ind,2}^2 \cdot \Delta t + R \cdot I_{ind,3}^2 \cdot \Delta t = R \cdot \left( {I_{ind,1}^2 + I_{ind,2}^2 + I_{ind,3}^2} \right) \cdot \Delta t \Rightarrow \\{W_{elektr}} = 0{,}010 \cdot \left( {{{\left( {2{,}0 \cdot {{10}^{ - 1}}} \right)}^2} + {{\left( {1{,}0 \cdot {{10}^{ - 1}}} \right)}^2} + {{\left( {1{,}0 \cdot {{10}^{ - 1}}} \right)}^2}} \right) \cdot \frac{{0{,}10}}{{2{,}0}}\,{\rm{J}} \approx 3{,}0 \cdot {10^{ - 5}}\,{\rm{J}}\end{array}\]Die elektrische und die mechanische Arbeiten stimmen von den Beträgen her überein!