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Grundwissen

Drittes KEPLERsches Gesetz (Fortführung)

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Abb. 1 Drittes KEPLERsches Gesetz: Die Quadrate (zweite Potenzen) der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben (dritte Potenzen) der großen Bahnhalbachsen

Wie du aus der Mechanik weißt, besagt das dritte KEPLERsche Gesetz, dass sich die Quadrate (zweite Potenzen) der Umlaufzeiten zweier Planeten wie die Kuben (dritten Potenzen) der großen Bahnhalbachsen verhalten.

Das dritte KEPLERsche Gesetz ergibt sich aus der Tatsache, dass die Gravitationskraft antiproportional zum Quadrat des Abstands von Zentralkörper und Trabant ist.

Hinter dem dritten KEPLERschen Gesetz steckt das NEWTONsche Gravitationsgesetz\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{P}}}}}{{{r_{\rm{SP}}}^2}}\]Die Gravitationskraft bewirkt eine Beschleunigung, die einen Massekörper (hier die Masse des Planeten \({m_{\rm{P}}}\)) in der Nähe eines anderen schweren Körpers (hier die Masse der Sonne \({m_{\rm{S}}}\)) auf die charakteristische Bahn (Ellipsenbahn oder Hyperbelbahn) zwingt. Im einfachsten Fall der Kreisbahn ist diese beschleunigende Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und bewirkt nur eine Änderung der Bewegungsrichtung nicht eine Änderung des Geschwindigkeitsbetrags, sie wirkt als Zentripetalkraft \({\vec F_{{\rm{ZP}}}}\) mit \({F_{{\rm{ZP}}}} = {m_{\rm{P}}} \cdot {\omega ^2} \cdot r\) und \({\omega} = \frac{{2 \cdot {\pi}}}{{T}}\). Damit ergibt sich\[{F_{\rm{G}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{P}}}}}{{{r_{{\rm{SP}}}}^2}} = {m_{\rm{P}}} \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \cdot {r_{{\rm{SP}}}} \Leftrightarrow \frac{{{T^2}}}{{{r_{{\rm{SP}}}}^3}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{G \cdot {m_{\rm{S}}}}}\]Es gilt also\[\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = C\]oder allgemein für Ellipsenbahnen\[\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = C\]mit\[C = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{G \cdot {m_{{\rm{Zentralkörper}}}}}}\]

Das wirkliche Zweikörperproblem

In Wirklichkeit bewegen sich zwei gravitationsgebundene Körper um einen gemeinsamen Schwerpunkt, der sich gleichförmig durch den Raum bewegt.
Der gegenseitige Abstand r ist die Summe aus dem Abstand der Sonne zum Schwerpunkt (rS) und des Abstands des Planeten zum Schwerpunkt (rP)

Es gilt: r = rS + rP

Aus dem Hebelgesetz folgt die Schwerpunktgleichung mS·rS = mP·rP

Es gilt demnach:

\(\begin{array}{l}{m_P} \cdot {r_P} = {m_S} \cdot (r - {r_P}) \Rightarrow {m_P} \cdot {r_P} = {m_S} \cdot r - {m_S} \cdot {r_P}) \Rightarrow \\({m_P} + {m_S}) \cdot {r_P} = {m_S} \cdot r \Rightarrow {r_P} = \frac{{{m_S}}}{{{m_P} + {m_S}}} \cdot r\end{array}\)

Zerlegt man die Bewegung der beiden sich umkreisenden Massenkörper in die reine lineare Bewegung mit dem Schwerpunkt und die Kreisbewegungen um den gemeinsamen Schwerpunkt (siehe Bild rechts), so bewirkt die erstere keinerlei Beschleunigung und damit keine Kraft, die Kreisbewegung aber zeigt die wahren Kräfte.
Wir betrachten nur die Kraft auf den Planeten, nicht die gegengleiche Kraft auf die Sonne.
Dabei ist die Gravitationskraft bestimmt durch den gegenseitigen Abstand r, die Zentralkraft aber durch den Abstand rP des Planeten vom Schwerpunkt.

\[{F_{\rm{G}}} = {F_{{\rm{ZP}}}}\]\[\Leftrightarrow G \cdot \frac{{{m_S} \cdot {m_P}}}{{{r^2}}} = {m_{\rm{P}}} \cdot {\omega ^2} \cdot {r_{\rm{P}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}} \cdot \frac{{{m_S} \cdot {m_P}}}{{{m_P} + {m_S}}} \cdot r\]

Der Ausdruck \(\frac{{{m_S} \cdot {m_P}}}{{{m_P} + {m_S}}} \) wird als reduzierte Masse bezeichnet, eine fiktive Masse, die die Kraftwirkung auf eine Masse mp im Abstand rP durch das Hebelgesetz auf eine ebenso große Kraftwirkung auf die reduzierte Masse im Abstand r überträgt. Damit folgt: \[ \Rightarrow \frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot ({m_P} + {m_S})}}\]

Für \({m_p}<<{m_s}\), was sicher für die meisten Planeten, Asteroiden und Kometen im Sonnensystem gilt, folgt in guter Näherung wieder die vereinfachte Darstellung. Haben die Objekte jedoch ähnlich große Massen, muss – wie hier gezeigt – die Summe der Massen berücksichtigt werden.

Im allgemeinen Fall einer Ellipse ist r durch a zu ersetzen.