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Aufgabe

Raumsonde Cassini und Saturn (Abitur BY 1999 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Künstlerische Darstellung von Cassini  und Saturn
von NASA/JPL [Public domain], via Wikimedia Commons

Am 15. Oktober 1997 startete die Raumsonde Cassini zur Erforschung des Planeten Saturn. Am 1. Juli 2004 soll sie in eine Umlaufbahn um den Saturn einschwenken.

a)Die siderische Umlaufzeit des Saturn beträgt \(29,5\rm{a}\). Berechnen Sie damit die große Halbachse der Saturnbahn. (3 BE)

b)Zur Startzeit von Cassini stand Saturn in Opposition zur Sonne.
Fertigen Sie eine maßstabsgetreue Zeichnung für die Umlaufbahnen von Erde und Saturn an, die als kreisförmig angenommen werden können (\(1{\rm{cm}} \buildrel \wedge \over = 2{\rm{AE}}\)). Zeichnen Sie darin die Stellung von Erde und Saturn zum Zeitpunkt des Starts ein.

Berechnen Sie, um welchen Winkel Erde und Saturn während des oben angegebenen Zeitraums auf ihrer Bahn jeweils vorrücken. Geben Sie an, welche besondere Stellung Saturn annähernd am 1. Juli 2004 für einen Erdbeobachter zeigt. Zeichnen Sie die Stellung beider Planeten an diesem Datum beschriftet ein. (10 BE)

Im Folgenden werde angenommen, dass sich die Raumsonde nach einigen "Swingby"-Manövern auf einer HOHMANN-Bahn (Bahn mit dem geringst möglichen Energieaufwand) bewegt.

c)Zeichnen Sie diejenige HOHMANN-Bahn in die Zeichnung von Teilaufgabe b) ein, deren Perihel auf der Erdbahn liegt und deren Aphel mit der Position des Saturn am 1. Juli 2004 übereinstimmt. Bestimmen Sie die große Halbachse a dieser Hohmannbahn. [zur Kontrolle: [a = \(5,3\rm{AE}\) ] (6 BE)

d) Berechnen Sie die Perihelgeschwindigkeit der Sonde auf der Hohmannbahn von Teilaufgabe c). Erläutern Sie, weshalb derart hohe Geschwindigkeiten erreichbar sind, obwohl die zur Zeit verfügbaren Raketen nur ein Drittel dieser Geschwindigkeit aus eigener Kraft ermöglichen (ohne Rechnung). (8 BE)

e) Die Raumsonde Cassini erkundet auch den Saturnmond Titan. Dieser umkreist den Planeten auf einer Bahn mit der großen Halbachse [a = \(1,22 \cdot {10^6}\rm{km}\)] in 15,9 Tagen. Bestimmen Sie daraus die Masse des Planeten Saturn. (6BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Nach dem 3. KEPLERschen Gesetz gilt \[\frac{{T_{\rm{S}}^2}}{{T_{\rm{E}}^2}} = \frac{{a_{\rm{S}}^3}}{{a_{\rm{E}}^3}} \Rightarrow {a_{\rm{S}}} = \sqrt[3]{{\frac{{T_{\rm{S}}^2}}{{T_{\rm{E}}^2}}}} \cdot {a_{\rm{E}}} \Rightarrow {a_{\rm{S}}} = \sqrt[3]{{\frac{{{{\left( {29,5{\rm{a}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1{\rm{a}}} \right)}^2}}}}} \cdot 1{\rm{AE}} = 9{,}55{\rm{AE}}\]

b)6 Jahre und 258 Tage sind \(6,71\rm{a}\). Damit ergibt sich der Winkel des Saturns zu \[{\alpha _{\rm{S}}} = \frac{{6,71{\rm{a}}}}{{29,5{\rm{a}}}} \cdot 360^\circ  = 81{,}9^\circ \] und der Winkel der Erde zu \[{\alpha _{\rm{E}}} = \frac{{0,71{\rm{a}}}}{{1{\rm{a}}}} \cdot 360^\circ  = 255{,}6^\circ \] Am 01.Juli steht der Saturn etwa in Konjunktion (L)

c)Die Halbachse ergibt sich aus\[2 \cdot a = {a_{\rm{S}}} + {a_{\rm{E}}} \Leftrightarrow a = \frac{{{a_{\rm{S}}} + {a_{\rm{E}}}}}{2} \Rightarrow a = \frac{{9,55{\rm{AE}} + 1{\rm{AE}}}}{2} = 5{,}3{\rm{AE}}\]

d)Aus \[v = \sqrt {G \cdot M\left( {\frac{2}{r} - \frac{1}{a}} \right)} \] ergibt sich mit \(r = 1{\rm{AE}}\) \[v = \sqrt {6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1,98 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}} \cdot \left( {\frac{2}{{1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}} - \frac{1}{{5,3 \cdot 1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}}} \right)}  = 4{,}0 \cdot {10^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

e)Die Masse ergibt sich aus\[\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{G \cdot M}} \Leftrightarrow M = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {r^3}}}{{G \cdot {T^2}}} \Rightarrow M = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{(1,22 \cdot {{10}^9}{\rm{m}})}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{(15,9 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}})}^2}}} = 5{,}7 \cdot {10^{26}}{\rm{kg}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem