Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Entfernungsbestimmung in Planetensystemen

Das dritte KEPLERsche Gesetz lieferte den Schlüssel für Aussagen über die Ausdehnung unseres Planetensystems. Während man die Umlaufzeiten der Planeten relativ einfach messen konnte, war die Angabe der absoluten Länge einer großen Halbachse im System schwierig. Aber mit Kenntnis der Umlaufzeiten zweier Planeten und der Länge der großen Halbachse eines Planeten, kann die Länge der Halbachse des anderer Planeten durch das dritte KEPLERsche Gesetz bestimmt werden. Aus\[\frac{{{T_1}^2}}{{{a_1}^3}} = \frac{{{T_2}^2}}{{{a_2}^3}}\]erhält man durch Umformen\[\frac{{{T_1}^2}}{{{a_1}^3}} = \frac{{{T_2}^2}}{{{a_2}^3}} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}^3}}{{{T_1}^2}} = \frac{{{a_2}^3}}{{{T_2}^2}} \Leftrightarrow {a_2}^3 = {a_1}^3 \cdot \frac{{{T_2}^2}}{{{T_1}^2}} \Rightarrow {a_2} = \sqrt[3]{{{a_1}^3 \cdot \frac{{{T_2}^2}}{{{T_1}^2}}}} = {a_1} \cdot \sqrt[3]{{\frac{{{T_2}^2}}{{{T_1}^2}}}}\]Damit lässt sich bei Kenntnis von \({T_1}\), \({T_1}\) und \({a_1}\) der Wert von \({a_2}\) berechnen.

Aufgabe

Bestimme die Entfernung zum Mars in Oppositions- und in Konjuktionsstellung aus \({T_{{\rm{Mars}}}} = 1{,}88\,{\rm{a}}\).

Lösung

Aus\[\frac{{{T_{{\rm{Mars}}}}^2}}{{{a_{{\rm{Mars}}}}^3}} = \frac{{{T_{{\rm{Erde}}}}^2}}{{{a_{{\rm{Erde}}}}^3}} \Leftrightarrow {a_{{\rm{Mars}}}}^3 = {a_{{\rm{Erde}}}}^3 \cdot \frac{{{T_{{\rm{Mars}}}}^2}}{{{T_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Rightarrow {a_{{\rm{Mars}}}} = {a_{{\rm{Erde}}}} \cdot \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{{T_{{\rm{Mars}}}}}}{{{T_{{\rm{Erde}}}}}}} \right)}^2}}}\]erhält man durch Einsetzen der gegebenen Werte\[a_{\rm{Mars}} = 1\,{\rm{AE}} \cdot \sqrt[3]{\left( \frac{1{,}88\,{\rm{a}}}{1\,\rm{a}} \right)^2} = 1{,}52\,\rm{AE}\]Somit ist der Mars in Oppositionsstellung \({0{,}52\,{\rm{AE}}}\) und in Konjuktionsstellung \({2{,}52\,{\rm{AE}}}\) von der Erde entfernt.