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Aufgabe

Zwergplanet (Abitur BY 2007 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Im Jahr 2005 wurde auf Himmelsaufnahmen aus dem Jahr 2003 ein planetenähnliches Objekt entdeckt, das sich auf einer stark exzentrischen Bahn um die Sonne bewegt. Dieses Objekt wurde im August 2006 in die neue Gruppe der Zwergplaneten eingeordnet und erhielt den Namen Eris (nach der griechischen Göttin der Zwietracht). Inzwischen geht man von folgenden Daten aus: Durchmesser: \(D = 2400{\rm{km}}\); Aphelentfernung: \({r_{\rm{A}}} = 98{\rm{AE}}\); Perihelentfernung: \({r_{\rm{P}}} = 38{\rm{AE}}\).

a)Bestimmen Sie die große Halbachse der Eris-Bahn sowie die numerische Exzentrizität der Bahn. Vergleichen Sie letztere mit dem Wert der Plutobahn. (5 BE)

b)Berechnen Sie, in wie vielen Jahren Eris das nächste Mal das Perihel seiner Bahn durchlaufen wird, wenn seine Sonnenentfernung zur Zeit \(98{\rm{AE}}\) beträgt? (4 BE)

Etwa \(3{,}6 \cdot {10^4}{\rm{km}}\) vom Eris-Mittelpunkt entfernt wurde ein kleiner Mond mit dem Durchmesser von \(250\rm{km}\) entdeckt, dessen Umlaufzeit um Eris etwa 14 Tage beträgt.

c) Untersuchen Sie, welche Masse sich für den Planeten Eris unter folgenden Annahmen ergibt:
- Die Mondbahn ist kreisförmig,
- die Mondmasse ist klein im Vergleich zur Erismasse. (5 BE)

d) Bestimmen Sie die maximale scheinbare Helligkeit der Sonne für einen Beobachter auf Eris. (7 BE)

e) Beurteilen Sie, ob es auf Eris ringförmige bzw. totale Sonnenfinsternisse geben kann. (7 BE)

f) Untersuchen Sie, welche Temperatur auf Eris im Perihel etwa herrschen dürfte, wenn man davon ausgeht, dass \(40\% \) der eingestrahlten Sonnenenergie reflektiert werden und die von Eris absorbierte Sonnenstrahlung von der gesamten Planetenoberfläche gleichmäßig wieder abgegeben wird. (6 BE)

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a)Für die große Halbachse gilt \(a = \frac{{{r_{\rm{A}}} + {r_{\rm{P}}}}}{2} \Rightarrow a = \frac{{98{\rm{AE}} + 38{\rm{AE}}}}{2} = 68{\rm{AE}}\).

Die lineare Exzentrizität beträgt \(e = {r_{\rm{A}}} - a = 98{\rm{AE}} - {\rm{68AE}} = 30{\rm{AE}}\).

Für die numerische Exzentrizität gilt \(\varepsilon  = \frac{e}{a} \Rightarrow \varepsilon  = \frac{{30{\rm{AE}}}}{{68{\rm{AE}}}} = 0,44\). Sie ist größer als die des Pluto (\(\varepsilon  = 0{,}25\)).

b)Nach dem 3. Keplerschen Gesetz ergibt sich \[\frac{{T_{{\rm{Eris}}}^2}}{{T_{{\rm{Erde}}}^2}} = \frac{{a_{{\rm{Eris}}}^3}}{{a_{{\rm{Erde}}}^3}} \Rightarrow {T_{{\rm{Eris}}}} = \sqrt {\frac{{a_{{\rm{Eris}}}^3}}{{a_{{\rm{Erde}}}^3}}}  \cdot {T_{{\rm{Erde}}}} \Rightarrow {T_{{\rm{Eris}}}} = \sqrt {{{68}^3}}  \cdot 1{\rm{a}} = 5{,}6 \cdot {10^2}{\rm{a}}\] Die Umlaufzeit von Eris ist \(5{,}6 \cdot {10^2}{\rm{a}}\), die Zeit vom Aphel zum Perihel ist die Hälfte, also \(2{,}8 \cdot {10^2}{\rm{a}}\).

c)Aus dem 3. Keplerschen Gesetz in Verbindung mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz ergibt sich \[\frac{{T_{{\rm{Mond}}}^2}}{{r_{{\rm{Mond}}}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {M_{{\rm{Eris}}}}}} \Rightarrow {M_{{\rm{Eris}}}} = \frac{{4{\pi ^2} \cdot r_{{\rm{Mond}}}^3}}{{G \cdot T_{{\rm{Mond}}}^2}} \Rightarrow {M_{{\rm{Eris}}}} = \frac{{4{\pi ^2} \cdot {{(3,6 \cdot {{10}^7}{\rm{m}})}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\mkern 1mu} {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{(14 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}})}^2}}} = 1{,}9 \cdot {10^{22}}\,{\rm{kg}}\]

d)Die maximale scheinbare Helligkeit der Sonne für einen Beobachter auf Eris ergibt sich, wenn Eris im Perihel ist. Es gilt \({m_{{\rm{Eris}}{\rm{,max}}}} - {m_{{\rm{Erde}}}} =  - 2,5 \cdot \log \frac{{{E_{{\rm{Eris}}}}}}{{{E_{{\rm{Erde}}}}}}\) und
\[\frac{{{E_{{\rm{Eris}}}}}}{{{E_{{\rm{Erde}}}}}} = \frac{{\frac{L}{{4\pi  \cdot r_{{\rm{Eris}}}^2}}}}{{\frac{L}{{4\pi  \cdot r_{{\rm{Erde}}}^2}}}} = \frac{{r_{{\rm{Erde}}}^2}}{{r_{{\rm{Eris}}}^2}}\]
Mit \({r_{{\rm{Eris}}}} = {r_{\rm{A}}}\) und \(r_{\rm{Erde}} = 1\rm{AE}\) folgt
\[{m_{{\rm{Eris}}{\rm{,max}}}} =  - 2,5 \cdot \log \frac{{{{(1{\rm{AE}})}^2}}}{{r_{\rm{P}}^2}} + {m_{{\rm{Erde}}}} \Rightarrow {m_{{\rm{Eris}}{\rm{,max}}}} =  - 2,5 \cdot \log \frac{1}{{{{38}^2}}} - 26,8 =  - 19\]

e)Der Öffnungswinkel (im Bogenmaß), unter dem man auf Eris den Mond sieht, ist
\[{\alpha _{{\rm{Mond}}}} = \frac{{{D_{{\rm{Mond}}}}}}{{{r_{{\rm{Mond}}}} - \frac{1}{2}{D_{{\rm{Eris}}}}}} \Rightarrow {\alpha _{{\rm{Mond}}}} = \frac{{250{\rm{km}}}}{{36000{\rm{km}} - 1200{\rm{km}}}} = 7{,}2 \cdot {10^{ - 3}}\]
Der Öffnungswinkel (im Bogenmaß), unter dem man auf Eris im Perihel die Sonne sieht, ist
\[{\alpha _{{\rm{Sonne}}{\rm{,Perihel}}}} = \frac{{{D_{{\rm{Sonne}}}}}}{{{r_{\rm{P}}}}} \Rightarrow {\alpha _{{\rm{Sonne}}{\rm{,Perihel}}}} = \frac{{2 \cdot 6,96 \cdot {{10}^5}{\rm{km}}}}{{38 \cdot 1{,}5 \cdot {{10}^8}{\rm{km}}}} = 2{,}4 \cdot {10^{ - 4}}\]
Der größte Winkel, unter dem man auf Eris die Sonne sieht, ist viel kleiner als der Winkel unter dem man den Mond sieht. Deshalb gibt es dort bei geeigneter Lage eventuell totale Sonnenfinsternis, aber keine Ringfinsternis.

f)Die abgestrahlte Leistung muss gleich der eingestrahlten Leistung sein. Die eingestrahlte Leistung ergibt sich aus der Solarkonstante mittels des quadratischen Abstandsgesetz und dem Absorptionsfaktor von \(0,6\). Die abgestrahlte Leistung ergibt sich nach dem Stefan-Boltzmanngesetz:
\[{P_{{\rm{ein}}}} = {P_{{\rm{ab}}}} \Rightarrow 0,6 \cdot {R^2} \cdot \pi  \cdot S \cdot \frac{{1{\rm{A}}{{\rm{E}}^{\rm{2}}}}}{{r_{\rm{P}}^2}} = \sigma  \cdot 4 \cdot {R^2} \cdot \pi  \cdot {T^4} \Rightarrow T = \sqrt[4]{{\frac{{0{,}6 \cdot S}}{{\sigma  \cdot 4 \cdot {{38}^2}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[T = \sqrt[4]{{\frac{{0{,}6 \cdot 1360\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}}{{5,67 \cdot {{10}^{ - 8}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{{\rm{K}}^{\rm{4}}}}} \cdot {\rm{4}} \cdot {\rm{3}}{{\rm{8}}^{\rm{2}}}}}}} = 40\,{\rm{K}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem