a)Für die große Halbachse gilt \(a = \frac{{{r_{\rm{A}}} + {r_{\rm{P}}}}}{2} \Rightarrow a = \frac{{98{\rm{AE}} + 38{\rm{AE}}}}{2} = 68{\rm{AE}}\).
Die lineare Exzentrizität beträgt \(e = {r_{\rm{A}}} - a = 98{\rm{AE}} - {\rm{68AE}} = 30{\rm{AE}}\).
Für die numerische Exzentrizität gilt \(\varepsilon = \frac{e}{a} \Rightarrow \varepsilon = \frac{{30{\rm{AE}}}}{{68{\rm{AE}}}} = 0,44\). Sie ist größer als die des Pluto (\(\varepsilon = 0{,}25\)).
b)Nach dem 3. Keplerschen Gesetz ergibt sich
\[\frac{{T_{{\rm{Eris}}}^2}}{{T_{{\rm{Erde}}}^2}} = \frac{{a_{{\rm{Eris}}}^3}}{{a_{{\rm{Erde}}}^3}} \Rightarrow {T_{{\rm{Eris}}}} = \sqrt {\frac{{a_{{\rm{Eris}}}^3}}{{a_{{\rm{Erde}}}^3}}} \cdot {T_{{\rm{Erde}}}} \Rightarrow {T_{{\rm{Eris}}}} = \sqrt {{{68}^3}} \cdot 1{\rm{a}} = 5{,}6 \cdot {10^2}{\rm{a}}\]
Die Umlaufzeit von Eris ist \(5{,}6 \cdot {10^2}{\rm{a}}\), die Zeit vom Aphel zum Perihel ist die Hälfte, also \(2{,}8 \cdot {10^2}{\rm{a}}\).
c)Aus dem 3. Keplerschen Gesetz in Verbindung mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz ergibt sich
\[\frac{{T_{{\rm{Mond}}}^2}}{{r_{{\rm{Mond}}}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {M_{{\rm{Eris}}}}}} \Rightarrow {M_{{\rm{Eris}}}} = \frac{{4{\pi ^2} \cdot r_{{\rm{Mond}}}^3}}{{G \cdot T_{{\rm{Mond}}}^2}} \Rightarrow {M_{{\rm{Eris}}}} = \frac{{4{\pi ^2} \cdot {{(3,6 \cdot {{10}^7}{\rm{m}})}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\mkern 1mu} {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{(14 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}})}^2}}} = 1{,}9 \cdot {10^{22}}\,{\rm{kg}}\]
d)Die maximale scheinbare Helligkeit der Sonne für einen Beobachter auf Eris ergibt sich, wenn Eris im Perihel ist. Es gilt \({m_{{\rm{Eris}}{\rm{,max}}}} - {m_{{\rm{Erde}}}} = - 2,5 \cdot \log \frac{{{E_{{\rm{Eris}}}}}}{{{E_{{\rm{Erde}}}}}}\) und
\[\frac{{{E_{{\rm{Eris}}}}}}{{{E_{{\rm{Erde}}}}}} = \frac{{\frac{L}{{4\pi \cdot r_{{\rm{Eris}}}^2}}}}{{\frac{L}{{4\pi \cdot r_{{\rm{Erde}}}^2}}}} = \frac{{r_{{\rm{Erde}}}^2}}{{r_{{\rm{Eris}}}^2}}\]
Mit \({r_{{\rm{Eris}}}} = {r_{\rm{A}}}\) und \(r_{\rm{Erde}} = 1\rm{AE}\) folgt
\[{m_{{\rm{Eris}}{\rm{,max}}}} = - 2,5 \cdot \log \frac{{{{(1{\rm{AE}})}^2}}}{{r_{\rm{P}}^2}} + {m_{{\rm{Erde}}}} \Rightarrow {m_{{\rm{Eris}}{\rm{,max}}}} = - 2,5 \cdot \log \frac{1}{{{{38}^2}}} - 26,8 = - 19\]
e)Der Öffnungswinkel (im Bogenmaß), unter dem man auf Eris den Mond sieht, ist
\[{\alpha _{{\rm{Mond}}}} = \frac{{{D_{{\rm{Mond}}}}}}{{{r_{{\rm{Mond}}}} - \frac{1}{2}{D_{{\rm{Eris}}}}}} \Rightarrow {\alpha _{{\rm{Mond}}}} = \frac{{250{\rm{km}}}}{{36000{\rm{km}} - 1200{\rm{km}}}} = 7{,}2 \cdot {10^{ - 3}}\]
Der Öffnungswinkel (im Bogenmaß), unter dem man auf Eris im Perihel die Sonne sieht, ist
\[{\alpha _{{\rm{Sonne}}{\rm{,Perihel}}}} = \frac{{{D_{{\rm{Sonne}}}}}}{{{r_{\rm{P}}}}} \Rightarrow {\alpha _{{\rm{Sonne}}{\rm{,Perihel}}}} = \frac{{2 \cdot 6,96 \cdot {{10}^5}{\rm{km}}}}{{38 \cdot 1{,}5 \cdot {{10}^8}{\rm{km}}}} = 2{,}4 \cdot {10^{ - 4}}\]
Der größte Winkel, unter dem man auf Eris die Sonne sieht, ist viel kleiner als der Winkel unter dem man den Mond sieht. Deshalb gibt es dort bei geeigneter Lage eventuell totale Sonnenfinsternis, aber keine Ringfinsternis.
f)Die abgestrahlte Leistung muss gleich der eingestrahlten Leistung sein. Die eingestrahlte Leistung ergibt sich aus der Solarkonstante mittels des quadratischen Abstandsgesetz und dem Absorptionsfaktor von \(0,6\). Die abgestrahlte Leistung ergibt sich nach dem Stefan-Boltzmanngesetz:
\[{P_{{\rm{ein}}}} = {P_{{\rm{ab}}}} \Rightarrow 0,6 \cdot {R^2} \cdot \pi \cdot S \cdot \frac{{1{\rm{A}}{{\rm{E}}^{\rm{2}}}}}{{r_{\rm{P}}^2}} = \sigma \cdot 4 \cdot {R^2} \cdot \pi \cdot {T^4} \Rightarrow T = \sqrt[4]{{\frac{{0{,}6 \cdot S}}{{\sigma \cdot 4 \cdot {{38}^2}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[T = \sqrt[4]{{\frac{{0{,}6 \cdot 1360\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}}{{5,67 \cdot {{10}^{ - 8}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{{\rm{K}}^{\rm{4}}}}} \cdot {\rm{4}} \cdot {\rm{3}}{{\rm{8}}^{\rm{2}}}}}}} = 40\,{\rm{K}}\]