Bei der Herleitung des ersten KEPLERschen Gesetzes hatten wir bereits festgestellt, dass bei der Bewegung von Trabanten um einen Zentralkörper unter dem Einfluss der Gravitationskraft der Drehimpuls \(\vec L\) konstant ist:\[\vec L = \vec r \times \vec p = m \cdot \left( {\vec r \times \vec v} \right)\;{\rm{ist}}\;{\rm{konstant}}\]Bei der Herleitung des zweiten KEPLERschen Gesetzes hatten wir daraus für die Flächengeschwindigkeit \(\frac{{dA}}{{dt}}\) die Gleichung\[\frac{{dA}}{{dt}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m} \quad(1)\]gewonnen. Diese Gleichung \((1)\) ist nun unser Ansatz zur Herleitung des dritten KEPLERsche Gesetzes.
Integriert man Gleichung \((1)\) auf beiden Seiten über die Zeit vom Zeitpunkt \(t=0\) bis zum Zeitpunkt \(t=T\), so ergibt sich\[\int\limits_0^T {\frac{{dA}}{{dt}}} \;dt = \int\limits_0^T {\frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m}} \;dt \quad (2)\]Die rechte Seite von Gleichung \((2)\) berechnet sich zu\[\int\limits_0^T {\frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m}} \;dt = \frac{L}{{2 \cdot m}} \cdot T\]Die linke Seite von Gleichung \((2)\) berechnet sich zu\[\int\limits_0^T {\frac{{dA}}{{dt}}} \;dt = \int\limits_0^A {dA} = A\]Nun gilt für den Flächeninhalt \(A\) einer Ellipse\[A = \pi \cdot a \cdot b \quad(3)\]und aus der Herleitung des ersten KEPLERschen Gesetzes wissen wir über den Zusammenhang zwischen kleiner und großer Halbachse der Ellipsenbahnen von Trabanten\[b = \sqrt {\frac{{{L^2}}}{{G \cdot {m^2} \cdot M}} \cdot a} \quad(4)\]Damit ergibt sich\[A\underbrace = _{(3)}\pi \cdot a \cdot b\underbrace = _{(4)}\pi \cdot a \cdot \sqrt {\frac{{{L^2}}}{{G \cdot {m^2} \cdot M}} \cdot a} \]Gleichung \((2)\) wird dann zu\[\pi \cdot a \cdot \sqrt {\frac{{{L^2}}}{{G \cdot {m^2} \cdot M}} \cdot a} = \frac{L}{{2 \cdot m}} \cdot T\]Quadriert man beide Seiten dieser Gleichung, vereinfacht etwas und löst nach dem Term \(\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}}\) auf, so erhält man\[\begin{eqnarray}{\pi ^2} \cdot {a^2} \cdot \frac{{{L^2}}}{{G \cdot {m^2} \cdot M}} \cdot a &=& \frac{{{L^2}}}{{4 \cdot {m^2}}} \cdot {T^2}\\\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} &=& \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{G \cdot M}}\end{eqnarray}\]Dies ist exakt die Ausage des dritten KEPLERschen Gesetzes.