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Aufgabe

Herleitung des 3. KEPLERschen Gesetzes für Kreisbahnen

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Johannes KEPLER (1571 - 1630)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

Die drei Keplerschen Gesetze sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen Johannes KEPLER benannt. Er fand diese fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik brachte und die Abweichungen des Mars von einer Kreisbahn mathematisch analysierte. Die Sätze beschreiben die Bewegung idealer Himmelskörper.

1. KEPLERsches Gesetz:
Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht.

2. KEPLERsches Gesetz:
Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

3. KEPLERsches Gesetz:
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen.

Betrachtet man vereinfachend die Ellipsenbahnen als Kreisbahnen und damit die großen Halbachsen wie Kreisradien, so lässt sich das 3. KEPLERsche Gesetz leicht  herleiten. Es lautet dann etwas anders formuliert: Für alle Planeten im Gravitationsfeld der Sonne ist der Quotient aus der dritten Potenz des Kreisradius und dem Quadrat der Umlaufzeit gleich groß und damit für das gesamte Planetensystem konstant:
\[\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}} = {\rm{const.}}\]

Leite dies mit Hilfe des Gravitationsgesetzes her.

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Bei der Bewegung eines Planeten der Masse \({m_{\rm{P}}}\) um die Sonne (\({{m_{\rm{S}}}}\)) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \({r_{\rm{P}}}\) wirkt die Gravitationskraft der Sonne als Zentripetalkraft. Somit gilt
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{P}}} \cdot {r_{\rm{P}}} \cdot {\omega ^2} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{P}}}^2}}\]
Mit \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\) bzw. \({\omega ^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\) ergibt sich
\[{m_{\rm{P}}} \cdot {r_{\rm{P}}} \cdot \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T_{\rm{P}}}^2}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{P}}}^2}} \Leftrightarrow {r_{\rm{P}}} \cdot \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T_{\rm{P}}}^2}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{P}}}^2}} \Leftrightarrow \frac{{{r_{\rm{P}}}^3}}{{{T_{\rm{P}}}^2}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{4{\pi ^2}}}\]
Die rechte Seite der letzten Gleichung ist aber unabhängig von den Daten des Planeten und hat somit für alle Planeten den gleichen Wert, was zu zeigen war.