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Aufgabe

Mars (Abitur BY 2002 GK A5-1&2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

 
Abb. 1 Mars

Teil 1) Zunächst sollen für Erde und Mars Kreisbahnen um die Sonne in einer gemeinsamen Ebene angenommen werden.

a)Berechnen Sie für den Planeten Mars, wie viele Tage zwischen zwei aufeinander folgenden Oppositionen liegen. [zur Kontrolle: 780 d] (4 BE)

b)Fertigen Sie eine maßstabsgetreue Zeichnung für die Bahnen von Erde und Mars an. Tragen Sie die Positionen von Erde und Mars während einer Opposition ein. Zeichnen Sie zusätzlich die Orte der beiden Himmelskörper zwei Jahre später und bei der nächsten Opposition ein. (9 BE)

c)Zeichnen Sie qualitativ für eine Reise von der Erde zum Mars die energetisch günstigste Bahn, die sogenannte Hohmannbahn, ein. (2 BE)

Am 4.12.1996 startete die Sonde der erfolgreichen Marsmission Pathfinder, die nach 213 Tagen den Mars erreichte.

d) Entscheiden Sie durch Rechnung, ob es sich beim Hinflug der Pathfindersonde um eine Hohmannbahn handelte. (7 BE)

e)Nach der Landung von Pathfinder wurde das kleine Fahrzeug Rover Sojourner ausgefahren. Der Energiebedarf für das Fahrzeug wurde aus Solarzellen mit einer Gesamtfläche von 0,19 m2 und einem Wirkungsgrad von mindestens 18% bezogen. Welche Mindestleistung der Solarzellen konnte man bei senkrechter Sonneneinstrahlung erwarten? (5 BE)

f)Bei der Exkursion des Fahrzeugs auf dem Mars stellte sich eine gefährliche Situation ein, die zur Erde gemeldet wurde. Der Erdabstand betrug 1,9·108 km. Wann konnte frühestens nach Absenden des Meldesignals ein korrigiertes Steuersignal beim Rover auf dem Mars eintreffen? (3 BE)

 

Teil 2) Im Folgenden wird die Marsbahn als Ellipse angenommen, die Erdbahn weiterhin als kreisförmig. Beide Bahnen sollen in einer Ebene liegen.

a)Bei so genannten Perihelopositionen erreicht der Mars die Oppositionsstellung im Perihel seiner Bahn. Berechnen Sie den Abstand von Mars und Erde bei einer solchen Perihelopposition. [Zur Kontrolle: 0,38AE] (5 BE)

b)Der Mars stand zuletzt am 13.6. 2001 in Opposition und wird 806 Tage danach eine Perihelopposition erreichen. Erläutern Sie die Abweichung vom Ergebnis aus Teilaufgabe 1a) ohne Rechnung. (3 BE)

c)Bei der erdgebundenen Beobachtung des Mars ist die im Fernrohr sichtbare Fläche entscheidend. Schätzen Sie ab, um welchen Faktor die Marsfläche bei Perihelopposition größer erscheint als bei Aphelopposition. (7 BE)

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Teil 1)

a)Es ist tM,sid = 1,88 a.

Die Zeit zwischen zwei Oppositionen ist tM, syn.
\[\frac{1}{T_{sid}} = \frac{1}{T_{Erde}} - \frac{1}{T_{syn}} \Rightarrow \frac{1}{T_{syn}} = \frac{1}{T_{Erde}} - \frac{1}{T_{sid}} \Rightarrow \frac{1}{T_{syn}} = \frac{1}{1a} - \frac{1}{1,88a}\] \[\Rightarrow t_{M, syn} = 2,14 =780\,\rm{d} \]

b)Marsbahnradius: 1,52 AE

In zwei Jahren ist die Erde wieder auf der ursprünglichen Stelle, der Mars ist um \(\Delta \varphi_M = \frac{2a}{1,88a} \cdot 360^\circ = 383^\circ = 23^\circ \) weiter.
Bei der nächsten Opposition in 780 d ist die Erde um \(\Delta \varphi_E = \frac{780d}{365,25d} \cdot 360^\circ = 769^\circ = 49^\circ \) weiter und der Mars genau so viel.

c)Hohmannbahn hat Perihel auf Erdbahn und Aphel auf Marsbahn (blaue Ellipse in a)

d)Für die Hohmannbahn ist die große Halbachse a = 0,5·(1AE + 1,52AE) = 1,26 AE.
Für die Umlaufzeit der Hohmannbahn gilt nach Kepler: \[ \frac{T_H^2}{T_E^2} = \frac{a_H^3}{a_E^3} \Rightarrow T_H = \sqrt{1{,}26^3} \cdot 1\,\rm{a} = 1{,}4\,\rm{a}=516\,\rm{d} \] Die Hälfte wären 258 Tage und nicht 213 Tage. Es ist also keine Hohmannbahn.

e)Die Leistung ergibt sich aus\[ P = \frac{L_S \cdot A \cdot \eta}{4 \cdot r_{M-S}^2 \cdot \pi} \Rightarrow P = \frac{3,82 \cdot 10^{26}\rm{W} \cdot 0,19\rm{m}^2 \cdot 0,18}{4 \cdot (1,52 \cdot 1,496 \cdot 10^{11}\rm{m})^2 \cdot \pi} = 20\,\rm{W} \]

f)Für die Laufzeit des Signals gilt \[ \Delta t = \frac{2 \cdot r}{c} \Rightarrow \Delta t = \frac{2 \cdot 1{,}9 \cdot 10^{11} m}{3{,}0 \cdot 10^8\rm{\frac{m}{s}}} = 1267\,\rm{s} = 21\,\rm{min}\]

Teil 2)

a)Für den Perihelabstand des Mars gilt: \[r_P = a \cdot (1 - \epsilon) \Rightarrow r_P = 1{,}52\,\rm{AE} \cdot (1 - 0{,}093) = 1{,}38\,\rm{AE}\] \[\Rightarrow d_{Erde - Mars} = 1{,}38\,\rm{AE} - 1\,\rm{AE} = 0{,}38\,\rm{AE}\]

b)Der Mars hat im Perihel eine größere Geschwindigkeit als seine mittlere Geschwindigkeit. Die Erde braucht länger um ihn einzuholen.

c)\[r_A = a \cdot (1 + \epsilon) \Rightarrow r_A = 1{,}52\,\rm{AE} \cdot (1 + 0{,}093) = 1{,}66\,\rm{AE}\] \[d_{Erde - Mars, Aphel} = 0{,}66\,\rm{AE} \quad d_{Erde - Mars, Perihel} = 0{,}38\,\rm{AE}\] \[\frac{A_{Aphel}}{A_{Perihel}} = \frac{0{,}66^2}{0{,}38}^2 = 3{,}0\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem