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Grundwissen

Zweites KEPLERsches Gesetz

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
  • Die Geschwindigkeit eines Planeten ändert sich auf seiner Bahn um die Sonne: im Perihel ist er am schnellsten, im Aphel am langsamsten.
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Zweites KEPLERsches Gesetz

Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Abb. 1 Zweites KEPLERsches Gesetz: Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen

Das zweite Keplersche Gesetz besagt, dass ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl in gleichen Zeiten gleich große Flächen überstreicht (vgl. Abb. 1). Da sich der Abstand zwischen Sonne und Planet auf der Ellipsenbahn ständig verändert, muss sich daher auch die Geschwindigkeit des Planeten verändern. Der Planet bewegt sich also unterschiedlich schnell. In Sonnennähe, wenn also der Abstand zwischen Sonne und Planet klein ist, ist die Geschwindigkeit des Planeten groß. Ist der Planet weiter von der Sonne entfernt, so bewegt er sich langsamer.

Auswirkungen auf die Erde

Für die Erde bedeutet dies, dass im Sommer (auf der Nordhalbkugel) die Erde langsamer ist, da sie weiter von der Sonne entfernt ist. Im Aphel beträgt die Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne \(v_{\rm{Aphel}}=29{,}29\,\rm{\frac{km}{s}}\). Im Perihel beträgt die Geschwindigkeit hingegen \(v_{\rm{Perihel}}=30{,}29\,\rm{\frac{km}{s}}\). Aus diesem Grund und wegen der größeren Strecke ist auch der Sommer (vom 20.März bis 23.September) um 9 Tage länger als der Winter (vom 23.September bis 20.März).

Bei Planeten, deren Bahn eine größere Exzentrizität besitzt, ist der Geschwindigkeitsunterschied entsprechend größer. So hat der Planet Merkur, dessen Bahn eine Exzentrizität von \(\varepsilon=0{,}2056\) besitzt, im Perihel eine Geschwindigkeit von \(v_{\rm{Perihel}}=58{,}98\,\rm{\frac{km}{s}}\) und im Aphel von \(v_{\rm{Aphel}}=38{,}86\,\rm{\frac{km}{s}}\).

Physikalisch ist das zweite Keplersche Gesetz eine Folge aus der Drehimpulserhaltung.

Näherung der Fläche über ein Dreieck

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Abb. 2 Geometrie der Bewegung eines Planeten um die Sonne

Bewegt sich der Planet in der Zeit \(\Delta t\) weiter, so überstreicht der Fahrstrahl \(r\) von seinem Ort \(r_1\) bis zu seinem Ort \(r_2\) eine kleine Fläche \(A\) (siehe Abb. 2). Für hinreichend kleine Zeiträume \(\Delta t\) kannst du diese Fläche durch die Form eines Dreiecks annähern. Das Dreieck wird von \(r_1\), \(r_2\) und einem Wegstück \(s = v\cdot \Delta t\) begrenzt.

Berechnung der überstrichenen Fläche

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Abb. 3 Berechnung des Flächeninhaltes

Für die Fläche \(A\) gilt:

\({\rm A} = \frac{1}{2}\cdot r\cdot h\) ist konstant mit \(h = {\rm sin}\left(\alpha\right)\cdot v\cdot \Delta t\), wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor ist. Damit folgt \[{\rm A} = \frac{1}{2}\cdot r\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right)\cdot v\cdot \Delta t = {\rm konst.}\].

Da \(\frac{1}{2}\) und \(\Delta t\) gleich bleiben, ergibt sich \[{\rm A} = r \cdot v\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right) = {\rm konst.}\].

Das Geschwindigkeitsverhältnis von Aphel zu Perihel

Das Produkt \(r\cdot v\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right) \) ist also überall gleich groß. Daraus ergibt sich für das Verhältnis der Geschwindigkeiten eines Planeten im Aphel und im Perihel eine einfache Beziehung: Für diese beiden Punkte ist \(\alpha = 90°\) und damit \({\rm sin}\left(\alpha\right) =1\). Daher sind die Produkte aus den jeweiligen Radien und den dortigen Geschwindigkeiten gleich:\[r_{\rm{Aphel}}\cdot v_{\rm{Aphel}} = r_{\rm{Perihel}}\cdot v_{\rm{Perihel}}\]\[\left(a+e\right)\cdot v_{\rm{Aphel}} = \left(a-e\right)\cdot v_{\rm{Perihel}}\]Dabei ist \(a\) die große, \(b\) die kleine Halbachse und \(e\) der Abstand der Brennpunkte zum Mittelpunkt.

Das 2. Keplersche Gesetz folgt direkt aus dem Drehimpulserhaltungssatz

Zentralkörper und Planet sind ein abgeschlossenes System, in dem sich der Drehimpuls nicht ändern darf. Ist der Körper weit weg vom Drehpunkt, so hat er geringe Geschwindigkeit, ist er näher an ihm hat er große Geschwindigkeit.
Der Drehimpulssatz ist auch dafür verantwortlich, dass eine Eiskunstläuferin bei der Pirouette mit weit ausgestreckten Armen langsam dreht und mit an den Körper angelegten Armen schnell dreht.

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Abb. 4 Größen zur Berechnung des Drehimpulses
Kurze Erklärung der Begriffe Impuls und Drehimpuls

Der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit: \(p = m\cdot v\)

Rotiert ein Körper um einen Drehpunkt \(S\) so ist der Drehimpuls \(L\) das Produkt aus dem Impuls \(p\) des Körpers und seinem Hebelarm \(l\): \[L = p\cdot l\] wobei der Hebelarm \(l\) das Lot vom Drehpunkt auf den Geschwindigkeitsvektor ist (siehe Abb. 4). In dem rechtwinkligen Dreieck gilt \(l=r\cdot \sin(\alpha)\) und somit für den Drehimpuls\[L=m\cdot v\cdot r\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right)\]Der Drehimpulserhaltungssatz besagt: \(m\cdot v\cdot r\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right) = {\rm konstant}\) und da die Masse des Körpers hier konstant ist folgt \( v\cdot r\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right) = {\rm konstant}\). Dies entspricht der Konstanz der überstrichenen Flächen im zweiten KEPLERschen Gesetz.

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