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Aufgabe

Jupitermond Europa (Abitur BY 2000 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

von NASA/JPL/Voyager mission [Public domain], via Wikimedia Commons

Zur Entfernungsbestimmung wurde von der Erde aus ein Radarsignal zum Jupitermond Europa geschickt. Dort wurde es reflektiert und traf nach einer Gesamtlaufzeit von 69,9 Minuten wieder auf der Erde ein.

a)Begründen Sie rechnerisch, dass sich Jupiter mit seinen Monden zu diesem Zeitpunkt in Opposition befand. (4 BE)

b)Aus dem empfangenen Radarsignal kann man die Bahngeschwindigkeit von Europa zu \(v = 13{,}8\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) bestimmen.
Berechnen Sie aus dieser Angabe und der Annahme, dass sich Europa auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius \(r = 6{,}7 \cdot {10^8}{\rm{m}}\) um Jupiter bewegt, die Jupitermasse in Vielfachen der Erdmasse. (7 BE)

c)Der Jupitermond Europa, der praktisch keine Atmosphäre hat, reflektiert \(64\% \) der einfallenden Sonnenstrahlung sofort. Schätzen Sie ab, ob sich auf Grund dieser Einstrahlung auf der "Sonnenseite" dieses Mondes flüssiges Wasser bilden kann. Hinweis: Berechnen Sie dazu die maximal mögliche Oberflächentemperatur im Strahlungsgleichgewicht. (9 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Laufzeitmessung:
\[s = c \cdot 0{,}5 \cdot \Delta t \Rightarrow s = 3{,}0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}5 \cdot 69{,}9 \cdot 60\,{\rm{s}} = 6{,}3 \cdot {10^{11}}{\rm{m}} = 4{,}2\,{\rm{AE }}\]
Jupiter in Opposition:
\[s = 5{,}2\,{\rm{AE}} - 1\,{\rm{AE}} = 4{,}2\,{\rm{AE}}\]
Die beiden Werte stimmen überein.

b)Es gilt\[\frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow M = \frac{{{v^2} \cdot r}}{G} \Rightarrow M = \frac{{{{\left( {13800 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} \cdot 6,7 \cdot {{10}^8}{\rm{m}}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1,9 \cdot {10^{27}}{\rm{kg}} = 320  \cdot {m_{\rm{E}}}\]

c)Strahlungsgleichgewicht für \(1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) (Am besten mit Solarkonstanten und \(\frac{1}{{{r^2}}}\) - Gesetz):
\[{{P_{{\rm{ein}}}} = (1 - 0,64) \cdot \frac{{1360 {\rm{W}}}}{{{{5,2}^2}}} = 18{,}1 {\rm{W}}}\]
\[{{P_{{\rm{aus}}}} = s \cdot 1{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {T^4}}\]
Nun gilt
\[{{P_{{\rm{ein}}}} = {P_{{\rm{aus}}}} \Leftrightarrow 18,1{\rm{W}} = s \cdot 1{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {T^4} \Rightarrow T = \sqrt[4]{{\frac{{18,1{\rm{W}}}}{{5,67 \cdot {{10}^{ - 8}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {{\rm{K}}^{\rm{4}}}}} \cdot 1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}} = 133 {\rm{K}} < 273{\rm{K}}}\]
Es gibt also kein flüssiges Wasser.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem