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Aufgabe

HUYGENS (Abitur BY 2006 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Künstlerische Darstellung von Cassini (große Sonde) und Huygens (links) vor Titan (Vordergrund) und Saturn (Hintergrund)
von NASA [Public domain], via Wikimedia Commons

Am 14. Januar 2005 landete die ESA-Sonde HUYGENS auf dem größten Saturn-Mond Titan, den Christian HUYGENS im Jahr 1655 entdeckt hatte. Mehr als sieben Jahre hatte der gemeinsame Flug der Sonde und ihres Mutterschiffes Cassini gedauert.

a)Zwischen zwei Saturnoppositionen liegen ein Jahr und 12,8 Tage. Berechnen Sie aus diesem Wert die siderische Umlaufzeit des Planeten und die Länge der großen Halbachse der Bahnellipse.(6 BE)

Die energetisch günstigste Bahn für einen interplanetaren Flug ist die sogenannte HOHMANN- Bahn.

b) Skizzieren Sie für einen Flug von der Erde zum Saturn die Hohmann-Bahn und bestimmen Sie deren große Halbachse \({a_{\rm{H}}}\) sowie die zugehörige Reisezeit von der Erde zum Saturn. [Zur Kontrolle: \({a_{\rm{H}}} = 5,28{\rm{AE}}\)] (7 BE)

c) Bestimmen Sie für die Bahn von Teilaufgabe b) die Geschwindigkeit im Perihel. (4 BE)

d) Mit der heutigen Raketentechnik ist eine Beschleunigung auf die in Teilaufgabe c) berechnete Geschwindigkeit nicht möglich. Nennen Sie zwei Gegebenheiten im Sonnensystem, die man geschickt nutzen kann, um dennoch derartige Geschwindigkeiten zu erreichen. (4 BE)

Während des Landeanflugs auf Titan entfernte sich Huygens vom Mutterschiff mit einer Geschwindigkeit von \({\rm{6}}{\rm{,0}}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\). Bei diesem Manöver sendete Huygens seine Daten mit der Trägerfrequenz \(2098{\rm{MHz}}\) an Cassini.

e) Bestimmen Sie die Frequenzverschiebung, mit der die "Huygensdaten" beim Mutterschiff Cassini ankamen. (4 BE)

Titan hat einen Radius von \(2575{\rm{km}}\) und eine Masse von \(1,35 \cdot {10^{23}}{\rm{kg}}\). Damit ist er der zweitgrößte Mond unseres Sonnensystems. Er bewegt sich in 15,9 Tagen in gebundener Rotation auf einer nahezu kreisförmigen Bahn mit Radius \(1,22 \cdot {10^6}{\rm{km}}\) um den Saturn.

f) Berechnen Sie die Masse des Saturns. (6 BE)

g) Erläutern Sie den Begriff "gebundene Rotation". Geben Sie den zeitlichen Abstand zweier Sonnenaufgänge an einem Ort auf Titan an. Begründen Sie ihre Antwort. (5 BE)

h) Bestimmen Sie die Fallbeschleunigung auf Titan. (6 BE)

Für die Energieversorgung der Doppelsonde nutzte man Kernenergie von Plutonium. Eine Alternative könnten Solarzellen sein.

i)Bestimmen Sie die Fläche einer Solarzelle, die notwendig ist, um bei einem Wirkungsgrad von \(20\% \) in Saturnnähe eine elektrische Leistung von \(750{\rm{W}}\) zu erzeugen. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die synodische Umlaufdauer beträgt \(1{\rm{a}}12,8{\rm{d}} = 1,035{\rm{a}}\). Dann ergibt sich
\[\frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}}}}} = \frac{1}{{{T_{{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}}}}} \Rightarrow \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}}}}} = \frac{1}{{1{\rm{a}}}} - \frac{1}{{1,035{\rm{a}}}} \Rightarrow {T_{{\rm{sid}}}} = 29{,}6{\rm{a}}\]
Nach dem 3. KEPLERschen Gesetz ergibt sich
\[\frac{{T_{\rm{S}}^2}}{{T_{\rm{E}}^2}} = \frac{{a_{\rm{S}}^3}}{{a_{\rm{E}}^3}} \Rightarrow {a_{\rm{S}}} = \sqrt[3]{{\frac{{T_{\rm{S}}^2}}{{T_{\rm{E}}^2}}}} \cdot {a_{\rm{E}}} \Rightarrow {a_{\rm{S}}} = \sqrt[3]{{\frac{{{{\left( {29,6{\rm{a}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1{\rm{a}}} \right)}^2}}}}} \cdot 1{\rm{AE}} = 9{,}57{\rm{AE}}\]

b)

\[{a_{\rm{H}}} = \frac{{{a_{\rm{S}}} + {a_{\rm{E}}}}}{2} \Rightarrow {a_{\rm{H}}} = \frac{{9,57{\rm{AE}} + 1{\rm{AE}}}}{2} = 5{,}28{\rm{AE}}\]
Nach dem 3. KEPLERschen Gesetz ergibt sich
\[\frac{{T_{\rm{H}}^2}}{{T_{\rm{E}}^2}} = \frac{{a_{\rm{H}}^3}}{{a_{\rm{E}}^3}} \Rightarrow {T_{Hoh}} = \sqrt {\frac{{a_{\rm{H}}^3}}{{a_{\rm{E}}^3}}}  \cdot {T_{\rm{E}}} \Rightarrow {T_{\rm{H}}} = \sqrt {\frac{{{{(5,28{\rm{AE}})}^3}}}{{{{(1{\rm{AE}})}^3}}}}  \cdot 1{\rm{a}} = 12{,}1{\rm{a}}\]
Die Flugzeit beträgt \(0,5 \cdot {T_H} = 6,05{\rm{a}}\)

c)Der Abstand \(r\) zur Sonne im Perihel ist \(1\rm{AE}\). Damit ergibt sich
\[v = \sqrt {G \cdot {m_{{\rm{Sonne}}}} \cdot \left( {\frac{2}{r} - \frac{1}{{{a_{\rm{H}}}}}} \right)} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[v = \sqrt {6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1,98 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}} \cdot \left( {\frac{2}{{1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}} - \frac{1}{{5,28 \cdot 1,50 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}}} \right)}  = 40{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

d)Die wesentlichste Hilfe zur Erreichung höherer Geschwindigkeiten ist die Bahngeschwindigkeit der Erde, da nur noch von dieser aus weiter beschleunigt werden muss. Der zweitwichtigste Punkt ist das sogenannte Swingby, eine Beschleunigung im wandernden Gravitationsfeld anderer Planeten, insbesondere des Jupiters. Außerdem kann man noch die Eigendrehung der Erde angeben, wenn man aus Äquatornähe startet.

e)Die Frequenzverschiebung bestimmt man mittels DOPPLER-Effekt:
\[\Delta f = f \cdot \frac{v}{c} \Rightarrow \Delta f = 2,908 \cdot {10^9}{\rm{Hz}} \cdot \frac{{6,0 \cdot {{10}^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 42{\rm{kHz}}\]

f)Die Masse ergibt sich aus\[{\frac{{{T^2}}}{{{R^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {M_{{\rm{Saturn}}}}}} \Leftrightarrow {M_{{\rm{Saturn}}}} = \frac{{4{\pi ^2} \cdot {R^3}}}{{G \cdot {T^2}}} \Rightarrow {M_{Saturn}} = \frac{{4{\pi ^2} \cdot {{(1,22 \cdot {{10}^9}{\rm{m}})}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{(15,9 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}})}^2}}} = 5{,}69 \cdot {{10}^{26}}{\rm{kg}}}\]

g)Gebundene Rotation bedeutet, dass Titan dem Saturn immer die selbe Seite zuwendet. Genau so wie der Erdmond der Erde. Sie entsteht durch Abbremsen der Eigenrotation des Mondes im Lauf der Zeit durch die Gezeitenkräfte. Der Mond dreht sich also genau in der gleichen Zeit um seine Achse wie er sich um den Saturn herum dreht. Der Abstand zweier Sonnenaufgänge ist also gleich einer Umlaufzeit um den Saturn von 15,9 Tagen.

h)Die Fallbeschleunigung auf der Titanoberfläche ist gleich der Gravitationsbeschleunigung.
\[{{g_{{\rm{Titan}}}} = G \cdot \frac{{{M_{{\rm{Titan}}}}}}{{R_{{\rm{Titan}}}^2}} \Rightarrow {g_{{\rm{Titan}}}} = 6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{1,35 \cdot {{10}^{23}}{\rm{kg}}}}{{{{(2,575 \cdot {{10}^6}{\rm{m}})}^2}}} = 1{,}36\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\]

i)Nach dem quadratischen Abstandsgesetz gilt
\[{\frac{{{S_{{\rm{Satellit}}}}}}{{{S_{{\rm{Erde}}}}}} = \frac{{r_{{\rm{Erde}}}^2}}{{r_{{\rm{Satellit}}}^2}} \Rightarrow {S_{{\rm{Satellit}}}} = \frac{{{{\left( {1{\rm{AE}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {9,57{\rm{AE}}} \right)}^2}}} \cdot 1360\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 14{,}8\,\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}\]
und damit
\[{P = 0,20 \cdot A \cdot {S_{{\rm{Saturn}}}} \Leftrightarrow A = \frac{P}{{0,20 \cdot {S_{{\rm{Satellit}}}}}} \Rightarrow A = \frac{{750{\rm{W}}}}{{0,20 \cdot 14,8\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}} = 250\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem