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Aufgabe

Mission zum Merkur (Abitur BY 2009 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Merkur

Am 26. April 2009 konnte man bei klarer Sicht den Planeten Merkur kurz nach Sonnenuntergang am Abendhimmel sehen. An diesem Abend stand Merkur in größter östlicher Elongation zur Sonne.

a)Fertige eine maßstabsgetreue Zeichnung an (\(1{\rm{AE}} \buildrel \wedge \over = 5{\rm{cm}}\)), welche die als kreisförmig angenommenen Bahnen von Merkur und Erde um die Sonne sowie deren Positionen bei größter östlicher Elongation Merkurs zeigt.

Berechne für diese Konstellation die Entfernung Merkurs von der Erde sowie den Winkelabstand Sonne-Merkur für einen Beobachter auf der Erde. (9 BE)

In den darauf folgenden Wochen verkürzt Merkur zunächst seinen Abstand zur Erde und wird sich eineinhalb Monate später in größter westlicher Elongation befinden. 

b)Trage die Positionen von Erde und Merkur zu diesem Zeitpunkt in die Zeichnung von Teilaufgabe a) ein.

Diskutiere, ob bzw. wo Merkur im Zeitraum zwischen größter östlicher und westlicher Elongation mit bloßem Auge zu beobachten ist. (7 BE)

Die Raumsonde Messenger startete am 3. August 2004 und wird voraussichtlich im Juni 2011 in einen Orbit um Merkur einschwenken.

c)Die kinetische Energie der Sonde ist auf der Merkurbahn größer als auf der Erdbahn. Trotzdem muss die Sonde auf ihrer langen Reise zum Merkur durch mehrere Swing-by-Manöver an Erde, Venus und Merkur abgebremst werden.

Erkläre diesen scheinbar widersprüchlichen Sachverhalt. (4 BE)

d)Die Sonde wird den Planeten Merkur auf einer stark exzentrischen Bahn umlaufen, wobei der Abstand der Sonde von der Merkuroberfläche zwischen ca. \(200{\rm{km}}\) und ca. \(15000{\rm{km}}\) schwanken wird.

Zeige durch Rechnung, dass die Sonde für einen Umlauf etwa 12 Stunden benötigt. (6 BE)

Durch die Sonneneinstrahlung heizt sich die Sonde stark auf, obwohl der Hitzeschild \(60{\rm{\% }}\) der Strahlungsleistung reflektiert. Die größte Temperatur erreicht der Hitzeschild im Perihel des Merkur.

e)Berechne den Perihelabstand \({r_{\rm{P}}}\) des Merkur. [zur Kontrolle: \({r_{\rm{P}}} = 0,307{\rm{AE}}\)] (4 BE)

f)Schätze die maximale Temperatur ab, auf die sich der Hitzeschild aufheizt. Nimm hierzu vereinfachend an, dass der Hitzeschild nicht gekrümmt ist, dass die Strahlung senkrecht auf den Schild fällt und dass die aufgenommene Wärme nur von der Vorder- und Rückseite des Hitzeschilds abgestrahlt wird. (7 BE)

g)Außer der starken Wärmestrahlung geht von der Sonne noch eine weitere Gefahr für die Sonde aus.

Erläutere diese knapp. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Entfernung Erde - Mars berechnet man mit Hilfe des Satzes von PYTHAGORAS zu \[{d{{_{{\rm{ME}}}^{}}^2} = d{{_{{\rm{SE}}}^{}}^2} - d{{_{{\rm{SM}}}^{}}^2} \Rightarrow {d_{{\rm{ME}}}} = \sqrt {{{\left( {1{\rm{AE}}} \right)}^2} - {{\left( {0,387{\rm{AE}}} \right)}^2}}  = 0,922{\rm{AE}}}\] Damit ergibt sich \[{\sin \left( \varphi  \right) = \frac{{{d_{{\rm{SM}}}}}}{{{d_{{\rm{SE}}}}}} = 0{,}387 \Rightarrow \varphi  = 22{,}8^\circ }\]

b)Pro Monat überstreicht der Fahrstrahl Erde Sonne einen Winkel von \({30^\circ }\), in Anderthalb Monaten also um \({45^\circ }\). Wenn Merkur seine größte östliche Elongation hat, ist er bei Sonnenuntergang theoretisch \({22,8^\circ }\) über dem Horizont im Westen zu sehen. Da sich die Erde in einer Stunde um \({15^\circ }\) dreht, ist er aber Anderthalb Stunden nach Sonnenuntergang ebenfalls hinter dem Horizont. Die Beobachtungszeit am Abend über dem westlichen Horizont verkürzt sich laufend. Während Merkur an der Sonne vorbeizieht, sieht man ihn gar nicht, anschließend wird Merkur am Morgenhimmel vor Sonnenaufgang sichtbar, bis er bei seiner größten westlichen Elongation fast Anderthalb Stunden über dem Horizont im Osten zu sehen ist.

c)Bei der Reise von der Erde zum Merkur wird die Sonde im Gravitationsfeld der Sonne beschleunigt. Ihre kinetische Energie steigt im gleichen Maße, wie ihre potentielle Energie sinkt. Würde die Sonde nicht abgebremst, hätte die Sonde eine größere Geschwindigkeit als die Umlaufgeschwindigkeit des Merkurs um die Sonne.

d)Die große Halbachse der Sondenbahn berechnet sich durch \[a = \frac{1}{2}({d_{{\rm{min}}}} + {d_{{\rm{max}}}}) + {R_{{\rm{Merkur}}}} \Rightarrow a = 0{,}5 \cdot (200{\rm{km}} + 15000\,{\rm{km}}) + 0,383 \cdot 6368\,{\rm{km}} = 10000\,{\rm{km}}\] Nach dem 3. KEPLERschen Gesetz ergibt sich weiter \[\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot M}} \Rightarrow T = \sqrt {\frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G \cdot M}}}  \Rightarrow T = \sqrt {\frac{{4{\pi ^2} \cdot {{({{10}^7}{\rm{m}})}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0,055 \cdot 6,0 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}}  = 42350\,{\rm{s}} \approx 12\,{\rm{h}}\]

e)Für den Perihelabstand gilt \[{r_{\rm{P}}} = {a_{\rm{M}}} \cdot (1 - \varepsilon ) \Rightarrow {r_{\rm{P}}} = 0,387{\rm{AE}} \cdot (1 - 0,206) = 0,307{\rm{AE}}\]

f)Die aufgenommene Leistung ist gleich der abgestrahlten Leistung. Die aufgenommene Leistung ist \({L_{{\rm{auf}}}} = S \cdot \frac{{r_{\rm{E}}^2}}{{r_{\rm{P}}^2}} \cdot (1 - 0,60) \cdot A\), die abgestrahlte Leistung geht nach STEFAN-BOLTZMANN \({L_{{\rm{ab}}}} = \sigma  \cdot {T^4} \cdot 2 \cdot A\). Damit ergibt sich \[{S \cdot \frac{{r_{\rm{E}}^2}}{{r_{\rm{P}}^2}} \cdot (1 - 0,60) \cdot A = \sigma  \cdot {T^4} \cdot 2 \cdot A \Rightarrow T = \sqrt[4]{{\frac{{S \cdot r_{\rm{E}}^2 \cdot (1 - 0,60)}}{{r_{\rm{E}}^2 \cdot 2 \cdot \sigma }}}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{T = \sqrt {\frac{{1,36 \cdot {{10}^3}{\rm{W}} \cdot {{(1{\rm{AE}})}^2} \cdot (1 - 0,60)}}{{{{(0,307{\rm{AE}})}^2} \cdot 2 \cdot 5,67 \cdot {{10}^{ - 8}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\mkern 1mu}  \cdot {{\rm{K}}^{\rm{4}}}}}}}}  = 475\,{\rm{K}}}\]

g)Außer der starken Wärmestrahlung geht von der Sonne noch der Sonnenwind aus. Dies sind sehr energiereiche Atomkerne und Elektronen, die den Satelliten schädigen können.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem