a)Infrarot liegt im Wellenlängenbereich zwischen \(800\,\rm{nm}\) und \(1000\,\rm{nm}\). Da es sich um helle Sterne handelt, wird wohl eher im nahen Infrarotbereich bei ca. \(2000\,\rm{nm}\) messen. Messungen im sichtbaren Bereich werden durch die Absorption des sichtbaren Lichtes in der den Zentralbereich der Galxis umgebenden Staubwolke verhindert.
b)Durch Ausmessen der großen Achsen der Ellipsen (siehe Foto) und Vergleich mit dem angegebenen Maßstab von \(0{,}20''\) ergeben sich als Sehwinkel für die großen Halbachsen \({\alpha _{{\rm{S14}}}} = 0{,}25''\) und \({\alpha _{{\rm{S12}}}} = 0{,}31''\). Aus geometrischen Überlegungen gilt
\[{\tan \left( {{\alpha _{{\rm{S14}}}}} \right) = \frac{{{a_{{\rm{S14}}}}}}{r} \Leftrightarrow {a_{{\rm{S14}}}} = r \cdot \tan \left( {{\alpha _{{\rm{S14}}}}} \right)}\]
Einsetzen der gegebenen Werte \(r = 2,77 \cdot {10^4}{\rm{LJ}}\) und \({\alpha _{{\rm{S14}}}} = 0,25''\) liefert
\[{{a_{{\rm{S14}}}} = 2,77 \cdot {{10}^4}{\rm{LJ}} \cdot \tan \left( {0,25''} \right) = 0,034{\rm{LJ}} = 2,1 \cdot {{10}^3}{\rm{AE}}}\]
Nach dem 3.KEPLERschen Gesetz gilt weiter
\[{\left( {\frac{{{T_{{\rm{S12}}}}}}{{{T_{{\rm{S14}}}}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{a_{{\rm{S12}}}}}}{{{a_{{\rm{S14}}}}}}} \right)^3} \Rightarrow \frac{{{T_{{\rm{S12}}}}}}{{{T_{{\rm{S14}}}}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{0,31''}}{{0,25''}}} \right)}^3}} = 1,4\]
c)Bezeichnen wir mit \({{M_{{\rm{SL}}}}}\) die Masse des Schwarzen Lochs, so folgt aus dem verallgemeinerten 3. KEPLERschen Gesetz
\[{\frac{{{T_{{\rm{S14}}}}^2}}{{{a_{{\rm{S14}}}}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {M_{{\rm{SL}}}}}} \Leftrightarrow {M_{{\rm{SL}}}} = \frac{{{a_{{\rm{S14}}}}^3 \cdot 4{\pi ^2}}}{{{T_{{\rm{S14}}}}^2 \cdot G}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte und Beachtung von
\[{M_{{\rm{Sonne}}}} = \frac{{{{\left( {1{\rm{AE}}} \right)}^3} \cdot 4{\pi ^2}}}{{{{\left( {1{\rm{a}}} \right)}^2} \cdot G}}\]
liefert
\[{{M_{SL}} = \frac{{{{\left( {2,1 \cdot {{10}^3}{\rm{AE}}} \right)}^3} \cdot 4{\pi ^2}}}{{{{\left( {47,3{\rm{a}}} \right)}^2} \cdot G}} = \frac{{{{\left( {2,1 \cdot {{10}^3}} \right)}^3}}}{{{{\left( {47,3} \right)}^2}}} \cdot {M_{{\rm{Sonne}}}} = 4,1 \cdot {{10}^6}{M_{{\rm{Sonne}}}}}\]
Der kleinste Abstand der Ellipsenbahn von ihrem Brennpunkt ist
\[{{r_{{\rm{min}}}} = a - e = a - \varepsilon \cdot a = a \cdot (1 - \varepsilon ) \Rightarrow {r_{{\rm{min}}}} = 2,1 \cdot {{10}^3}{\rm{AE}} \cdot (1 - 0,96) = 84{\rm{AE}}}\]
d)Ein Komet ist an seinem sonnennächsten Ort etwa in Erdnähe, es gilt also \({r_{{\rm{min}}}} = 1{\rm{AE}}\). Setzt man die Daten des Kometen und von S14 im Vergleich in die gegebene Formel für die Maximalgeschwindigkeit
\[{v_{{\rm{max}}}} = \sqrt {\frac{{G \cdot M}}{{{r_{{\rm{min}}}}}} \cdot (1 + \varepsilon )} \]
ein, so ergibt sich
\[\frac{{{v_{{\rm{max}}{\rm{,S14}}}}}}{{{v_{{\rm{max,Komet}}}}}} = \sqrt {\frac{{{M_{{\rm{SL}}}} \cdot {r_{{\rm{min,Komet}}}}}}{{{M_{{\rm{Sonne}}}} \cdot {r_{{\rm{min,S14}}}}}}} = \sqrt {\frac{{4,1 \cdot {{10}^6}{M_{{\rm{Sonne}}}} \cdot 1{\rm{AE}}}}{{{M_{{\rm{Sonne}}}} \cdot 84{\rm{AE}}}}} \approx 220\]
