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Aufgabe

Sterne im Zentralbereich der Galaxis (Abitur BY 2015 Ph12-AP2-A1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Im Zentrum der Galaxis befindet sich \(2{,}77 \cdot {10^4}{\rm{LJ}}\) von uns entfernt ein Schwarzes Loch. Seit 1992 werden Bahnen von Sternen um das Schwarze Loch vermessen. Nebenstehend sind die elliptischen Bahnen S12 und S14 maßstabsgetreu abgebildet. Die Darstellung ist so gewählt, dass die beiden Bahnebenen mit der Zeichenebene übereinstimmen. Der Stern S14 benötigt \(47{,}3\) Jahre für einen Umlauf. Die numerische Exzentrizität seiner Bahn beträgt \(0{,}96\), die große Halbachse der Bahn \({a_{S14}} = 2{,}1 \cdot {10^3}{\rm{AE}}\).

a)Die Messungen werden bei Wellenlängen im Infrarotbereich durchgeführt.
Geben Sie eine Wellenlänge aus diesem Bereich an und begründen Sie kurz, weshalb für diese Messungen sichtbares Licht nicht verwendet werden kann. (4 BE)

b)Bestätigen Sie unter Verwendung obiger Abbildung näherungsweise den Wert für die große Halbachse der S14-Bahn und schätzen Sie ebenfalls mithilfe der Abbildung das Verhältnis der Umlaufzeiten von S12 und S14 ab. (8 BE)

c)Berechnen Sie zunächst die Masse \(M\) des schwarzen Lochs in Vielfachen der Sonnenmasse und dann mithilfe gegebener Bahndaten von S14 dessen kleinsten Abstand \({r_{{\rm{min}}}}\) vom Schwarzen Loch. [zur Kontrolle: \(M = 4{,}1 \cdot {10^6}{M_{{\rm{Sonne}}}}\), \({r_{{\rm{min}}}} = 84{\rm{AE}}\) ] (7 BE)

Umläuft ein Körper auf einer elliptischen Bahn mit großer Halbachse \(a\) und numerischer Exzentrizität \(\varepsilon \) einen Zentralkörper der Masse \(M\), so hat er am Ort des kleinsten Abstands \({r_{{\rm{min}}}}\) vom Zentralkörper die größte Bahngeschwindigkeit \[{v_{{\rm{max}}}} = \sqrt {\frac{{G \cdot M}}{{{r_{{\rm{min}}}}}} \cdot (1 + \varepsilon )} \]

d) Die stark exzentrische Bahn von S 14 erinnert an die Bahnen von Kometen in unserem Sonnensystem. Wählen Sie selbst einen Perihelabstand, den typischerweise ein Komet besitzt, und vergleichen Sie dann den Stern S14 mit dem angenommenen Kometen bezüglich Geschwindigkeit \({v_{{\rm{max}}}}\). Argumentieren Sie dazu mit der oben gegebenen Formel. (4 BE)

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a)Infrarot liegt im Wellenlängenbereich zwischen \(800\,\rm{nm}\) und \(1000\,\rm{nm}\). Da es sich um helle Sterne handelt, wird wohl eher im nahen Infrarotbereich bei ca. \(2000\,\rm{nm}\) messen. Messungen im sichtbaren Bereich werden durch die Absorption des sichtbaren Lichtes in der den Zentralbereich der Galxis umgebenden Staubwolke verhindert.

b)Durch Ausmessen der großen Achsen der Ellipsen (siehe Foto) und Vergleich mit dem angegebenen Maßstab von \(0{,}20''\) ergeben sich als Sehwinkel für die großen Halbachsen \({\alpha _{{\rm{S14}}}} = 0{,}25''\) und \({\alpha _{{\rm{S12}}}} = 0{,}31''\). Aus geometrischen Überlegungen gilt
\[{\tan \left( {{\alpha _{{\rm{S14}}}}} \right) = \frac{{{a_{{\rm{S14}}}}}}{r} \Leftrightarrow {a_{{\rm{S14}}}} = r \cdot \tan \left( {{\alpha _{{\rm{S14}}}}} \right)}\]
Einsetzen der gegebenen Werte \(r = 2,77 \cdot {10^4}{\rm{LJ}}\) und \({\alpha _{{\rm{S14}}}} = 0,25''\) liefert
\[{{a_{{\rm{S14}}}} = 2,77 \cdot {{10}^4}{\rm{LJ}} \cdot \tan \left( {0,25''} \right) = 0,034{\rm{LJ}} = 2,1 \cdot {{10}^3}{\rm{AE}}}\]
Nach dem 3.KEPLERschen Gesetz gilt weiter
\[{\left( {\frac{{{T_{{\rm{S12}}}}}}{{{T_{{\rm{S14}}}}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{a_{{\rm{S12}}}}}}{{{a_{{\rm{S14}}}}}}} \right)^3} \Rightarrow \frac{{{T_{{\rm{S12}}}}}}{{{T_{{\rm{S14}}}}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{0,31''}}{{0,25''}}} \right)}^3}}  = 1,4\]

c)Bezeichnen wir mit \({{M_{{\rm{SL}}}}}\) die Masse des Schwarzen Lochs, so folgt aus dem verallgemeinerten 3. KEPLERschen Gesetz
\[{\frac{{{T_{{\rm{S14}}}}^2}}{{{a_{{\rm{S14}}}}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {M_{{\rm{SL}}}}}} \Leftrightarrow {M_{{\rm{SL}}}} = \frac{{{a_{{\rm{S14}}}}^3 \cdot 4{\pi ^2}}}{{{T_{{\rm{S14}}}}^2 \cdot G}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte und Beachtung von
\[{M_{{\rm{Sonne}}}} = \frac{{{{\left( {1{\rm{AE}}} \right)}^3} \cdot 4{\pi ^2}}}{{{{\left( {1{\rm{a}}} \right)}^2} \cdot G}}\]
liefert
\[{{M_{SL}} = \frac{{{{\left( {2,1 \cdot {{10}^3}{\rm{AE}}} \right)}^3} \cdot 4{\pi ^2}}}{{{{\left( {47,3{\rm{a}}} \right)}^2} \cdot G}} = \frac{{{{\left( {2,1 \cdot {{10}^3}} \right)}^3}}}{{{{\left( {47,3} \right)}^2}}} \cdot {M_{{\rm{Sonne}}}} = 4,1 \cdot {{10}^6}{M_{{\rm{Sonne}}}}}\]
Der kleinste Abstand der Ellipsenbahn von ihrem Brennpunkt ist
\[{{r_{{\rm{min}}}} = a - e = a - \varepsilon  \cdot a = a \cdot (1 - \varepsilon ) \Rightarrow {r_{{\rm{min}}}} = 2,1 \cdot {{10}^3}{\rm{AE}} \cdot (1 - 0,96) = 84{\rm{AE}}}\]

d)Ein Komet ist an seinem sonnennächsten Ort etwa in Erdnähe, es gilt also \({r_{{\rm{min}}}} = 1{\rm{AE}}\). Setzt man die Daten des Kometen und von S14 im Vergleich in die gegebene Formel für die Maximalgeschwindigkeit
\[{v_{{\rm{max}}}} = \sqrt {\frac{{G \cdot M}}{{{r_{{\rm{min}}}}}} \cdot (1 + \varepsilon )} \]
ein, so ergibt sich
\[\frac{{{v_{{\rm{max}}{\rm{,S14}}}}}}{{{v_{{\rm{max,Komet}}}}}} = \sqrt {\frac{{{M_{{\rm{SL}}}} \cdot {r_{{\rm{min,Komet}}}}}}{{{M_{{\rm{Sonne}}}} \cdot {r_{{\rm{min,S14}}}}}}}  = \sqrt {\frac{{4,1 \cdot {{10}^6}{M_{{\rm{Sonne}}}} \cdot 1{\rm{AE}}}}{{{M_{{\rm{Sonne}}}} \cdot 84{\rm{AE}}}}}  \approx 220\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem