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Grundwissen

Zentraler elastischer Stoß

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Bei einem elastischen Stoß sind der Impuls und die Energie erhalten.
  • Aus den beiden unabhängigen Gleichungen können zwei unbekannte Größen bestimmt werden.
  • Häufig werden Spezialfälle betrachtet, die den Rechenaufwand reduzieren.
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Abb. 1 Zentraler elastischer Stoß

Bei einem Stoß gilt der Impulserhaltungssatz:\[\vec{p}_{\rm{vor}}=\vec{p}_{\rm{nach}}\quad(1)\]Wir bezeichen einen Stoß dabei als elastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner nach dem Stoß genau so groß ist wie vor dem Stoß. Anders ausgedrückt:

Bei einem elastischen Stoß geht keine kinetische Energie in innere Energie verloren.

Für einen elastischen Stoß gilt deshalb für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungssatz \(\Delta E = 0\)\[E_{\rm{vor}}=E_{\rm{nach}}+\Delta E=E_{\rm{nach}}+0=E_{\rm{nach}}\quad (2)\]

Impulserhaltungssatz \((1)\) und Energieerhaltungssatz \((2)\) stellen zwei unabhängige Gleichungen dar. Aus diesen lassen sich nun - je nach bekannten Vorgaben - zwei beliebige Unbekannte berechnen. Meist sind die Massen \(m_1\) und \(m_2\) sowie die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) vor dem Stoß bekannt. Dann lassen sich aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) durch geschicktes Umformen die unbekannten Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach dem Stoß berechnen. Striche an den Größen machen dabei deutlich, dass sich diese auf die Situation nach dem Stoß beziehen.

Zentraler elastischer Stoß (Allgemein)

Wir bezeichen einen Stoß als elastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner nach dem Stoß genau so groß ist wie vor dem Stoß, also keine kinetische Energie in innere Energie verloren geht. Für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungssatz \((2)\) gilt deshalb\[\Delta E = 0\]

Somit lautet der Impulserhaltungssatz für den zentralen elastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1}  + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime  + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\]und der Energieerhaltungssatz für den zentralen elastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2} ^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2\]Dabei sind \({m_1}\) und \({m_2}\) die Massen der beiden Stoßpartner, \({{v_1}}\) und \({{v_2}}\) die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner vor dem Stoß und \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner nach dem Stoß.

Dieses System aus zwei Gleichungen lässt sich z.B. nach den Größen \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) auflösen (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe). Man erhält\[{v_1}^\prime  = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]\[{v_2}^\prime  = \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]

Hinweise
Bei den konkreten Rechnungen führt man eine positive Zählrichtung z.B. von links nach rechts ein. Alle Geschwindigkeiten und Impulse in diese Richtung werden positiv gezählt, alle Geschwindigkeiten und Impulse in die Gegenrichtung zählt man negativ.

Bei den Rechnungen zu den folgenden Sonderfällen oder bei der Lösung von Aufgaben zu zentralen elastischen Stößen kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen. Wir bieten dir hier eine Rechenvorlage an, die du herunterladen und mit der du dann arbeiten kannst.

Erläuterung der Formeln für typische Fälle im Video

Sonderfall 1: Gleiche Massen, ruhender Körper 2

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Abb. 3 Zentraler elastischer Stoß mit \(m_1=m_2\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
  • Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \({m_1} = {m_2} = m\)
  • Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[{v_1}^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]\[{v_2}^\prime = v_1\]Die Körper gleicher Masse tauschen beim zentralen elastischen Stoß ihre Geschwindigkeiten aus. Anwendung: Kugelkette

Sonderfall 2: Gleiche Massen, entgegengesetzte Geschwindigkeiten

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Abb. 4 Zentraler elastischer Stoß mit \(m_1=m_2\) und \(v_2 = -v_1\)
  • Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \(m_1 = m_2 = m\)
  • Körper 1 und Körper 2 haben vor dem Stoß gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten: \(v_2 = -v_1\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[{v_1}^\prime = -v_1\]\[{v_2}^\prime = -v_2\]Die Körper gleicher Masse mit gleich großen, aber entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten wechseln beim zentralen elastischen Stoß jeweils die Richtungen ihrer Geschwindigkeiten.

Sonderfall 3: Stoß mit fester Wand

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Abb. 5 Zentraler elastischer Stoß mit \({m_1} \ll {m_2}\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
  • Körper 1 hat eine wesentlich kleinere Masse als Körper 2: \({m_1} \ll {m_2}\)
  • Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[{v_1}^\prime =-v_1\]\[{v_2}^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Der schwere Körper bleibt in Ruhe, der leichte Partner wird "reflektiert", d.h. er behält seine kinetische Energie bei, bewegt sich jedoch in umgekehrter Richtung. Anwendung: Stoß von Gasatomen mit schwerer Behälterwand.