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Aufgabe

Tennisschlag

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Tennisspielerin bei einem Schlag

Ein Tennisball fliegt mit der Geschwindigkeit \(v\) in Richtung eines Tennisschlägers der sich mit \(-v\) auf den Ball zubewegt. Die Masse des Schlägers und des damit verbundenen Tennisspielers ist sehr groß gegenüber der Masse des Balls.

a)

Berechne die Geschwindigkeit \(u_1\) des Balls nach dem Stoß mit Hilfe des allgemeinen Terms für die Berechnung von \(u_1\) beim elastischen Stoß.

b)

Berechne die Geschwindigkeit \(u_1\) in einem Bezugssystem "Tennisschläger", in dem der Tennisschläger die Geschwindigkeit \(0\) hat.

c)

Transformiere das Ergebnis für die Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß in das für uns übliche Bezugssystem "Erde".

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a)

Die allgemeine Formel für die Geschwindigkeit \(u_1\) nach dem elastischen Stoß lautet
\[ u_1 = \frac{\left( m_1 - m_2 \right) \cdot v_1 + 2 \cdot m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2} \]
In unserem Fall bedeutet das mit \(m_1 = m_\text{Ball} = m_\text{B}\), \(m_2 = m_\text{Schläger} = m_\text{S}\), \(v_1 = v\) und \(v_2 = -v\), dass:
\[ u_1 = \frac{\left( m_\text{B} - m_\text{S} \right) \cdot v - 2 \cdot m_\text{S} \cdot v}{m_\text{B} + m_\text{S}} = \frac{\left( m_\text{B} - 3 \cdot m_\text{S} \right) \cdot v}{m_\text{B} + m_\text{S}} = \frac{m_\text{B} \cdot v}{m_\text{B} + m_\text{S}} - \frac{3 \cdot m_\text{S} \cdot v}{m_\text{B} + m_\text{S}} \]
Mit \( m_\text{S} \gg m_\text{B} \) folgt somit, dass
\[ \frac{m_\text{B} \cdot v}{m_\text{B} + m_\text{S}} \; \rightarrow \; 0 \quad \land \quad - \frac{3 \cdot m_\text{S} \cdot v}{m_\text{B} + m_\text{S}} \; \rightarrow \; -3v \]
Es gilt also \( u_1 = -3v \)

b)

Im Bezugssystem des Schlägers verändern sich die Geschwindigkeiten. Für \(v_1\) als Ballgeschwindigkeit gilt \(v_1 = 2 v\), für den im Bezugssystem ruhenden Schläger ist \(v_2 = 0\). Damit ergibt sich aus der Formel für \(u_1\):
\[ u_1 = \frac{\left( m_\text{B} - m_\text{S} \right) \cdot 2v}{m_\text{B} + m_\text{S}} \]
Mit \( m_\text{S} \gg m_\text{B} \) gilt für die Geschwindigkeit \( u_1 = -2\cdot v \)

c)

Bei einer Transformation in das Koordinatensystem "Erde" gilt, dass der Schläger nicht mehr ruht, sondern wieder mit \(-v\) bewegt ist. Es müssen also alle Geschwindigkeiten \(x\) im System Schläger transformiert werden in die Geschwindigkeiten \(y\) im System "Erde":
\[ y = x - v \]
Damit folgt für die Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß
\[ v_\text{B} = v \quad \land \quad v_\text{S} = - v \quad \land \quad u_1 = -3v \]
Das Ergebnis nach der Transformation ist also konsistent mit dem Ergebnis in Teilaufgabe a).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße