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Aufgabe

Ballpyramide

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Zur Verfügung steht ein relativ schwerer hochelastischer Gummiball der Masse \(m_1\) und ein relativ kleiner, leichter Gummiball der Masse \(m_2\). Es kann davon ausgegangen werden, dass \(m_2 \ll m_1\) ist.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Zwei nebeneinander zu Boden fallende Bälle

Man lässt zunächst beide Bälle nebeneinander (vgl. Abb. 1) aus der Höhe \(h = 1\,\rm{m}\) herunterfallen. Damit später die Geschwindigkeiten der hochspringenden Bälle positive Ergebnisse liefern, setzen wir die Geschwindigkeit der herunterfallenden Bälle negativ.

a)

Erläutere, welche qualitative Aussage man über die Sprunghöhe der beiden Bälle machen kann.

Nun lässt man die beiden Bälle als sogenannte "Ballpyramide" fallen (vgl. Abb. 2) und stellt fest, dass der kleine Ball eine wesentlich größere Höhe erreicht als bei dem Versuch von Teilaufgabe a).

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Ballpyramide aus 2 Bällen kurz vor dem Aufprall auf den Boden

Bestimme die Geschwindigkeit, mit der sich der kleine Ball nach den vollkommen elastisch angenommenen Stößen wieder nach oben bewegt in Abhängigkeit von \(v\).

Tipp: Betrachte den Vorgang aus einem Bezugssystem in dem der große Ball ruht und den Zeitpunkt, zu dem der große Ball gerade "reflektiert" wurde, der kleine Ball aber noch in der Abwärtsbewegung ist.

c)

Berechne, welche Höhe der kleine Ball erreicht, wenn die Ballpyramide aus der Höhe \(h_2 = 1\rm{m}\) fallengelassen wird.

Schließlich lässt man drei Bälle als "Ballpyramide" fallen (vgl. Abb. 3) und stellt fest, dass der kleine Ball eine noch größere Höhe erreicht als bei dem Versuch von Teilaufgabe b).

d)
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Abb. 3 Ballpyramide aus 3 Bällen kurz vor dem Aufprall auf den Boden

Berechne, mit welcher Geschwindigkeit der kleinste Ball bei einer "Dreier-Pyramide" zurückprallen würde, wenn \(m_3 \ll m_2 \ll m_1\) ist.

e)

Berechne erneut, welche Höhe der kleinste Ball erreicht, wenn die Ballpyramide aus der Höhe \(h_3 = 1\,\rm{m}\) fallengelassen wird.

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a)

Die beiden Bälle werden mehr oder weniger genau auf die Anfangshöhe \(h\) hochspringen.

b)
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Abb. 4 Ballpyramide; links vor, rechts nach dem Stoß der beiden Bälle

Abb. 4 zeigt gleichzeitig zwei Situationen: Links ist der untere Ball bereits auf den Boden geprallt und bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\vec v_1=\vec v\) nach oben. Die beiden Bälle sind noch nicht aufeinandergeprallt, der obere Ball bewegt sich noch mit der Geschwindigkeit \(\vec v_2=- \vec v\) nach unten. Rechts sind die beiden Bälle bereits aufeinandergeprallt und auch der obere Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\vec v'_2\) nach oben. Da die Stöße vollkommen elastisch sein sollen, gilt für die Geschwindigkeit \(\vec v'_2\) die Formel\[{{v'}_2} = \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]Mit \({v_1} =  v\) und \({v_2} =  - v\) ergibt sich hieraus\[{{v'}_2} = \frac{{{m_2} \cdot \left( { - v} \right) + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot v - \left( { - v} \right)} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}} = v \cdot \frac{{3 \cdot {m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]Wegen \(m_2 \ll m_1\) ist \({3 \cdot {m_1} - {m_2} \approx 3 \cdot {m_1}}\) und \({{m_1} + {m_2} \approx {m_1}}\) und damit\[{{v'}_2} = v \cdot \frac{{3 \cdot {m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \approx v \cdot \frac{{3 \cdot {m_1}}}{{{m_1}}} = 3 \cdot v\].

c)

Wegen der Energieerhaltung gilt allgemein\[m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Leftrightarrow h = \frac{{{v^2}}}{{2 \cdot g}}\]Damit ergibt sich\[{h'_2} = \frac{{{v'_2}^2}}{{2 \cdot g}} = \frac{{{{\left( {3 \cdot v} \right)}^2}}}{{2 \cdot g}} = 9 \cdot \frac{{{v^2}}}{{2 \cdot g}} = 9 \cdot h\]und damit \(h'_2=9 \cdot 1\,\rm{m}=9\,\rm{m}\).

d)
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Abb. 5 Ballpyramide; links vor, rechts nach dem Stoß der beiden oberen Bälle

Abb. 5 zeigt gleichzeitig zwei Situationen: Links sind die beiden unteren Bälle bereits auf den Boden bzw. aufeinandergeprallt und der mittlere Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\vec v'_2=3 \cdot \vec v\) nach oben. Die beiden oberen Bälle sind noch nicht aufeinandergeprallt, der oberste Ball bewegt sich noch mit der Geschwindigkeit \(\vec v_3=- \vec v\) nach unten. Rechts sind die beiden oberen Bälle ebenfalls aufeinandergeprallt und auch der oberste Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\vec v'_3\) nach oben. Da die Stöße vollkommen elastisch sein sollen, gilt für die Geschwindigkeit \(\vec v'_3\) die Formel\[{{v'}_3} = \frac{{{m_3} \cdot {v_3} + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v'_2} - {v_3}} \right)}}{{{m_2} + {m_3}}}\]Mit \({v'_2} = 3 \cdot v\) und \({v_3} = -v\) ergibt sich hieraus\[{{v'}_3} = \frac{{{m_3} \cdot \left( { - v} \right) + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot \left( 3 \cdot v \right) - \left( { - v} \right)} \right)}}{{{m_2} + {m_3}}} = v \cdot \frac{{7 \cdot {m_2} - {m_3}}}{{{m_2} + {m_3}}}\]Wegen \(m_3 \ll m_2\) ist \({7 \cdot {m_2} - {m_3} \approx 7 \cdot {m_2}}\) und \({{m_2} + {m_3} \approx {m_2}}\) und damit\[{{v'}_3} = v \cdot \frac{{7 \cdot {m_2} - {m_3}}}{{{m_2} + {m_3}}} \approx v \cdot \frac{{7 \cdot {m_2}}}{{{m_2}}} = 7 \cdot v\]

e)

Analog zu Teilaufgabe c) ergibt sich\[{h'_3} = \frac{{{v'_3}^2}}{{2 \cdot g}} = \frac{{{{\left( {7 \cdot v} \right)}^2}}}{{2 \cdot g}} = 49 \cdot \frac{{{v^2}}}{{2 \cdot g}} = 49 \cdot h\]und damit \(h'_3=49 \cdot 1\,\rm{m}=49\,\rm{m}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße