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Aufgabe

Geschwindigkeiten nach einem zentralen elastischen Stoß

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Verlauf eines zentralen elastischen Stoßes

Leite für einen zentralen elastischen Stoß aus dem Impulserhaltungssatz und dem Energieerhaltungssatz die beiden Formeln\[{v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]und\[{v_2}^\prime = \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]für die Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach dem Stoß her.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Aufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

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Aus dem Energieerhaltungssatz \((2)\) folgt durch Kürzen mit \(\frac{1}{2}\), Umsortieren und Anwendung einer binomischen Formel\[{{m_1} \cdot \left( {{v_1}^2 - {{v_1}^\prime}^2} \right) = {m_2} \cdot \left( {{{v_2}^\prime}^2 - {v_2}^2} \right) \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) \cdot \left( {{v_1} + {{v_1}^\prime}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{{v_2}^\prime} - {v_2}} \right) \cdot \left( {{{v_2}^\prime} + {v_2}} \right)\quad(3)}\]Aus dem Impulserhaltungssatz \((1)\) folgt durch Umsortieren und Ausklammern\[{m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\quad(4)\]Dividiert man nun Gleichung \((3)\) durch Gleichung \((4)\), so folgt\[{v_1} + {{v_1}^\prime} = {v_2}^\prime + {v_2} \Leftrightarrow {v_1} - {v_2} = {v_2}^\prime - {{v_1}^\prime}\quad(5)\]Hinweis: Gleichung \((5)\) besagt, dass die Beträge der Relativgeschwindigkeiten der beiden Körper vor und nach dem Stoß gleich sind.

Auflösen von Gleichung \((5)\) nach \({v_2}^\prime\) ergibt\[{v_2}^\prime = {v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2}\quad(6)\]Setzt man \((6)\) in Gleichung \((4)\) ein, so erhält man\[\begin{eqnarray}{m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {\left( {{v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2}} \right) - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2} - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} &=& {m_2} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {{v_1}^\prime} - 2{m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow {{v_1}^\prime} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) &=& {m_1} \cdot {v_1} - {m_2} \cdot {v_1} + 2{m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow {v_1}^\prime &=& \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2{v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\end{eqnarray}\]Auflösen von Gleichung \((6)\) nach \({v_1}^\prime\) ergibt\[{v_1}^\prime = {v_2} + {v_2}^\prime - {v_1}\quad(7)\]Setzt man \((7)\) in Gleichung \((4)\) ein, so erhält man\[\begin{eqnarray}{m_1} \cdot \left( {{v_1} - \left( {{v_2} + {v_2}^\prime - {v_1}} \right)} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {v_2} - {v_2}^\prime+ {v_1}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime- {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2 \cdot {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {v_2} - {m_1} \cdot {v_2}^\prime &=& {m_2} \cdot {v_2}^\prime - {m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow 2 \cdot {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {v_2} + {m_2} \cdot {v_2} &=& {m_1} \cdot {v_2}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\\ \Leftrightarrow {m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right) &=& {v_2}^\prime \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {v_2}^\prime&=& \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2{v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\end{eqnarray}\]

Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße