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Grundwissen

Harmonische Schwingungen

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Was man allgemein unter einer Schwingung versteht, wurde oben bereits behandelt. Im Folgenden geht es um eine wichtige Sonderform der Schwingung, nämlich der harmonischen Schwingung, die man etwas salopp auch als Sinusschwingung bezeichnet.

Definition der harmonischen Schwingung

Eine Schwingung heißt harmonische Schwingung, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllt.

Die Bewegung des schwingenden Körpers stimmt mit der Projektion einer Kreisbewegung überein (und kann somit durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion, z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben werden).

Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper ist entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage, kurz \({{ F}_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\). Wir sprechen dabei vom sogenannten linearen Kraftgesetz.

Erfüllt eine Schwingung eine dieser beiden Bedingungen, so erfüllt sie stets auch die andere.

Hinweis: Versuche und Überlegungen, die weiter unten durchgeführt werden, zeigen, dass z.B. das Federpendel oder auch das Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen harmonische Schwingungen ausführen.

Der Einfachheit halber beschreibt man in der Schule meist eine harmonische Schwingung, die beim Phasenwinkel \(\varphi  = 0\) startet. Dies bedeutet, dass in der folgenden Animation der Körper seine Kreisbewegung beim Winkel \(\varphi  = 0\) startet und sich in die mathematisch positive Richtung dreht (Gegenuhrzeigersinn).

Zeit-Orts-Gesetz \[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz\[v(t) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow v(t) = \hat y \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]Zeit-Beschleunigungs-Gesetz\[a(t) = - \hat a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow a(t) = - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

 

Für den allgemeineren Fall (d.h. befindet sich der Körper zur Zeit \(t  = 0\) bei der Kreisbewegung schon bei einem Winkel \(\varphi  \ne 0\) wird die Beschreibung etwas komplizierter. Die Verallgemeinerung kannst du dir hier einblenden lassen.