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Grundwissen

Harmonische Schwingungen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Harmonische Schwingungen können mit Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden.
  • Bei harmonischen Schwingungen ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage (lineares Kraftgesetz).
  • Das Zeit-Orts-Gesetz lautet \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) 
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Was man allgemein unter einer Schwingung versteht, wurde oben bereits behandelt. Im Folgenden geht es um eine wichtige Sonderform der Schwingung, nämlich der harmonischen Schwingung, die man etwas salopp auch als Sinusschwingung bezeichnet.

Definition der harmonischen Schwingung

Eine Schwingung heißt harmonische Schwingung, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllt.

Die Bewegung des schwingenden Körpers stimmt mit der Projektion einer Kreisbewegung überein (und kann somit durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion, z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben werden).

Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper ist entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage, kurz \({{ F}_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\). Wir sprechen dabei vom sogenannten linearen Kraftgesetz.

Erfüllt eine Schwingung eine dieser beiden Bedingungen, so erfüllt sie stets auch die andere.

Hinweis: Versuche und Überlegungen, die weiter unten durchgeführt werden, zeigen, dass z.B. das Federpendel oder auch das Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen harmonische Schwingungen ausführen.

Der Einfachheit halber beschreibt man in der Schule meist eine harmonische Schwingung, die beim Phasenwinkel \(\varphi  = 0\) startet. Dies bedeutet, dass in der folgenden Animation der Körper seine Kreisbewegung beim Winkel \(\varphi  = 0\) startet und sich in die mathematisch positive Richtung dreht (Gegenuhrzeigersinn).

Zeit-Orts-Gesetz \[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz\[v(t) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow v(t) = \hat y \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]Zeit-Beschleunigungs-Gesetz\[a(t) = - \hat a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow a(t) = - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

Bewegungsdiagramme

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Bewegungsdiagramme im nicht verschobenen Fall

Entsprechend der drei Bewegungsgesetze kann eine harmonische Schwingung auch in Diagrammform dargestellt werden. Abb. 1 zeigt den einfachsten Fall in dem die Bewegung zum Zeitpunkt \(t=0\) am Ort \(y(t)=0\) ist. Weiter ist die Periodendauer der Bewegung im Diagramm \(T=2\pi\), sodass \(\omega=1\) gilt.

Du kannst erkennen, dass das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm gegenüber dem Zeit-Orts-Diagramm genau um \(\frac{3}{2}\pi\) nach rechts verschoben ist. Das Zeit-Beschleunigungs-Diagramm ist gegenüber dem Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm um genau \(\pi\) verschoben.

Diese Verschiebungen treten allgemein auf, unabhängig von der Periodendauer und dem Startzeitpunkt der harmonischen Schwingung. 

Allgemeiner Fall mit beliebigem Startpunkt

Für den allgemeineren Fall, in dem sich der Körper zur Zeit \(t  = 0\) bei der Kreisbewegung schon bei einem Winkel \(\varphi  \ne 0\) befindet, wird die Beschreibung etwas komplizierter. Hier musst du die Phasenverschiebung \(\varphi\) im Argument von Sinus bzw. Kosinus in allen drei Gesetzmäßigkeiten berücksichtigen.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Bewegungsdiagramm im allgemeinen Fall

Zeit-Orts-Gesetz\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)\]Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz\[v(t) = \dot y(t) = \hat y \cdot \omega  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)\]Zeit-Beschleunigungs-Gesetz\[a(t) = \dot v(t) = \ddot y(t) =  - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right) =  - \hat a \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)\]