Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Prallt ein Ball harmonisch?

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein elastischer Ball prallt ohne Energieverlust zwischen dem Erdboden und einer Platte in der Höhe \(h\) (\(h \ll \)Erdradius) hin und her.

a)Gib an, ob es sich bei dieser Bewegung um eine harmonische Schwingung handelt.

Begründe deine Entscheidung.

b)Der Ball habe den Radius \(r\) und die "Federkonstante" \(D\). Weiter habe der Ball beim Berühren der oberen Platte die Geschwindigkeit \(v(h) = 0\).

Leite eine Formel für die Zeitdauer her, die der Ball für eine Hin- und Herbewegung benötigt.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Es handelt sich bei dieser Bewegung nicht um eine harmonische Schwingung, da während der Flugphase des Balls die rücktreibende Gewichtskraft auf den Ball mit \({F_{\rm{G}}} = m \cdot g\) konstant ist. Bei einer harmonischen Schwingung dagegen muss die  rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung und damit nicht konstant sein.

b)Die Bewegung setzt sich aus drei Teilbewegungen zusammen: Der Ball fällt zunächst frei die Strecke \(s=h-2\cdot r\) nach unten, dann führt er, während er Bodenkontakt hat, genau eine harmonische Schwingung aus und bewegt sich anschließend wie beim Wurf nach oben wieder zurück zur Platte.

Die Zeit \(t_1\) des freien Fall ergibt sich aus\[s=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \Rightarrow t=\sqrt{\frac{2\cdot s}{g}}\]und mit \(s=h-2\cdot r\) folgt\[t_1=\sqrt{\frac{2\cdot \left(h-2\cdot r\right)}{g}}\]Die Zeit mit Bodenkontakt entspricht genau einer Periodendauer der harmonischen Schwingung, also ist\[t_2=2 \cdot \pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}\]Die Zeit, die der Ball wieder benötigt, um die obere Platte zu erreichen, entspricht der Zeit, die der Ball fürs Fallen benötigt, also \(t_1\). Es gilt also\[t_3=t_1\]Für die Gesamtzeit der Bewegung folgt \[t_{\rm{ges}}=t_1+t_2+t_3=2\cdot t_1+t_2=2\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \left(h-2\cdot r\right)}{g}}+2 \cdot \pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen