Es handelt sich bei dieser Bewegung nicht um eine harmonische Schwingung, da während der Flugphase des Balls die rücktreibende Gewichtskraft auf den Ball mit \({F_{\rm{G}}} = m \cdot g\) konstant ist. Bei einer harmonischen Schwingung dagegen muss die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung und damit nicht konstant sein.
b)
Die Bewegung setzt sich aus drei Teilbewegungen zusammen:
Der Ball fällt zunächst die Strecke \(s=h-2\cdot r\) nach unten. Es handelt sich bei dieser Bewegung um einen Freien Fall. Dafür benötige er die Zeit \(t_1\).
Während der Ball Kontakt zum Boden hat, wird er erst zusammengedrückt bis er ruht und dehnt sich dann wieder aus, bis er seine ursprüngliche Ausdehnung und seine Aufprallgeschwindigkeit erreicht hat. Dafür benötige er die Zeit \(t_2\). Wenn man den Ball wie eine Feder behandelt, die Gewichtskraft auf den Ball während dieser Bewegung vernachlässigt, so führt der Ball eine halbe harmonische Schwingung aus.
Schließlich bewegt sich der Ball wie bei einem senkrechten Wurf nach oben, bis er die Platte schließlich berührt. Dafür benötige er die Zeit \(t_3\).
Die Zeit \(t_1\) des freien Fall ergibt sich aus\[s=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \Rightarrow t=\sqrt{\frac{2\cdot s}{g}}\]und mit \(s=h-2\cdot r\) folgt\[t_1=\sqrt{\frac{2\cdot \left(h-2\cdot r\right)}{g}}\]Die Zeit mit Bodenkontakt entspricht - mit den angesprochenen Näherungen - ungefähr der halben Periodendauer einer harmonischen Schwingung, also ist\[t_2 \approx \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}=\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}\]Die Zeit, die der Ball wieder benötigt, um die obere Platte zu erreichen, entspricht der Zeit, die der Ball fürs Fallen benötigt, also \(t_1\). Es gilt also\[t_3=t_1\]Für die Gesamtzeit der Bewegung folgt \[t_{\rm{ges}} \approx t_1+t_2+t_3 = 2\cdot t_1+t_2 =2\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \left(h-2\cdot r\right)}{g}}+ \pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}\]
