Mechanik

Mit Hilfe eines Schattenwurfs wird der auf dem Kreis gleichförmig rotierende Punkt auf eine Wand projiziert.

Begründung des Zeit-Orts-Gesetzes

Begründung des Zeit-Geschwindigkeits-Gesetzes

Begründung des Zeit-Beschleunigungs-Gesetzes

Begründung des Linearen Kraftgesetzes

Nun können wir zeigen, dass aus der Eigenschaft einer harmonischen Schwingung als Projektion einer Kreisbewegung die Eigenschaft des linearen Kraftgesetzes gefolgert werden kann. Gilt nämlich wie oben gezeigt\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad (1)\]\[{v_y}(t) = \omega \cdot \hat y  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad (2)\]\[{a_y}(t) =  - {\omega ^2} \cdot \hat y  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad(3)\], so erhält man nach dem 2. NEWTONschen Axiom \(F=m \cdot a\) für die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{rück}}=F_y\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) (und damit für jede Elongation \(y\))\[{F_{{\rm{rück}}}}(t) = m \cdot {a_y}(t)\mathop  = \limits_{(3)}  - m \cdot {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\mathop  = \limits_{(1)}  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]

Energiebetrachtung bei der Schwingung

Bei der mechanischen Schwingung ist ein periodisches Hin- und Herpendeln zwischen den zwei Energieformen "kinetische Energie" und "potentielle Energie" zu beobachten.
Speziell beim ungedämpften Federpendel gilt:
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}}} + {E_{{\rm{kin}}}}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v{(t)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot y{(t)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\hat y \cdot \omega  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {\omega ^2}} \right) \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \underbrace {\left( {\cos {{\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)}^2} + \sin {{\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)}^2}} \right)}_1\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2}\end{eqnarray}\]
Die Gesamtenergie der Schwingung ist also zeitlich konstant.

Hinweis: Das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen ist ein allgemeines Kennzeichen einer Schwingung. So tritt z.B. bei den elektromagnetischen Schwingungen ein Hin- und Herpendeln zwischen "elektrischer Energie" und "magnetischer Energie" auf.

Kraftgesetz aufgrund der Schwingungsgleichung: \[F = - m \cdot {\omega ^2} \cdot y \quad(1)\]Kraftgesetz aufgrund der Anordnung: \[{F_{{\rm{rück}}}} =-D \cdot y \quad(2)\]Vergleich von \((2)\) mit \((1)\) liefert \[D = m \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow \frac{D}{m} = {\omega ^2} \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{D}{m}} \] woraus sich wegen \(T = \frac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\) ergibt \[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{D}} \]

Wegen der obigen Annahmen wirken auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung zwei Kräfte:

•Die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{F}}\) der Feder. Diese berechnet sich aus der Federkonstanten \(D\) und der momentanen Auslenkung \(x\) durch \(D \cdot x\). Da die Federkraft entgegen der Auslenkung gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{F}} = - D \cdot x\).

•Die (viskose) Reibungskraft \(F_{\rm{VR}}\) zwischen Medium und Körper. Diese berechnet sich aus der Reibungskonstanten \(k\) und der momentanen Geschwindigkeit \(v\) durch \(k \cdot v\). Da die viskose Reibung entgegen der Geschwindigkeit gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{VR}} = - k \cdot v\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{F}}}+{F_{\rm{VR}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2.Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{F}}} = {F_{\rm{F}}}(x(t)) = - D \cdot x(t)\) (HOOKEsches Gesetz) sowie \(v = \dot x(t)\) (Definition des Geschwindigkeit als 1.Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{VR}}} = {F_{\rm{VR}}}(v(t)) = - k \cdot v(t) = -k \cdot \dot x(t)\) (Gesetz der viskosen Reibung) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - D \cdot x(t) - k \cdot \dot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Massen \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot \dot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Dies ist die homogene Differentialgleichung 2.Ordnung für die Elongation \(x(t)\) des Körpers während des Schwingungsvorgangs mit den beiden Anfangsbedingungen \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0\,\rm{s}) = 0\).

In den meisten Fällen (schwache Dämpfung, Schwingfall: \(\frac{D}{m} > \delta^2\)) ist die Lösung der Differentialgleichung \((*)\) mit den beiden Anfangsbedingungen \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0\,\rm{s}) = 0\) die Funktion \[x(t) = \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\] mit \(\hat x = x_0\), \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und \({\omega} = \sqrt {\frac{D}{m} - \delta^2} \).

1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall): \(\frac{D}{m} > \delta^2\) Schwingfall (gedämpfte harmonische Schwingung); die e-Funktion ist die Einhüllende Diskussion Die Dämpfung ist umso größer, je größer der Proportionalitätsfaktor für die Reibung ist. Mit zunehmender Masse des Gleiters wird die Dämpfung geringer. Die Schwingungsfrequenz geht für \(k \to 0\) in die Schwingungsfrequenz der ungedämpften Schwingung über. Ist die Dämpfung aber nicht mehr gering und damit evtl. zu vernachlässigen, so erkennt man, dass die Schwingungsfrequenz vom Faktor \(k\) und der Masse \(m\) abhängt. Die Schwingungsdauer wird sich also bei merklicher Dämpfung erhöhen.

2. Fall (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall): \(\frac{D}{m} = \delta^2\) aperiodischer Grenzfall; abhängig von den Anfangsbedingungen ist auch ein einmaliges Überschwingen möglich Die Theorie der Differentialgleichungen liefert bei den Anfangsbedingungen \(x(0\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0{\rm{s}}) = 0\) die Lösung\[x(t) = \left( {{x_0} + \delta  \cdot {x_0} \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]

3. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall): \(\frac{D}{m} < \delta^2\) Kriechfall Die Theorie der Differentialgleichungen liefert bei den Anfangsbedingungen \(x(0\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0{\rm{s}}) = 0\) die Lösung\[x(t) = {x_0} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }}\left( {\left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot t}} + \left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]mit \(\lambda  = \sqrt {{\delta ^2} - \frac{D}{m}} \).

Die folgende Simulation zeigt dir die Graphen von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Federkraft, viskoser Reibungskraft, kinetischer und potentieller Energie. Du kannst zusätzlich die Größen \(D\), \(m\), \(k\) und \(x_0\) in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.

Praktische Anwendung der verschiedenen Fälle

Manchmal ist das nahezu ungedämpfte Schwingen eines Systems gar nicht erwünscht. Man unterscheidet verschiedene Dämpfungsgrade:

Schwingfall		Trommeln sind relativ schwach gedämpft
aperiodischer Grenzfall Das System geht ohne zu schwingen in möglichst kurzer Zeit auf die Nulllage zurück; abhängig von den Anfangsbedingungen ist auch ein einmaliges Überschwingen möglich.		Das Schwingen des Autos aufgrund der Federung ist unerwünscht. Daher werden Stoßdämpfer eingebaut, die nahezu zum aperiodischen Grenzfall führen.
Kriechfall Die Dämpfung ist so stark, dass das schwingungsfähige System sehr langsam in die Nulllage zurückgeht. In der Skizze ist zum Kriechfall aus Vergleichsgründen noch der aperiodische Grenzfall eingezeichnet.		Bei der Tankanzeige sind schnelle Änderungen in der Anzeige unerwünscht. Sehr starke Dämpfung, so dass der Zeiger in seine Endstellung "kriecht".