Mechanik

Lineares Kraftgesetz

Durch Verwendung von Newton II erkennt man mit Hilfe des Zeit-Beschleunigungsgesetzes:
\(F(t) = m \cdot a(t) =  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\) oder \(F \sim y\)

Fazit : Bei einer harmonischen Schwingung liegt ein lineares Kraftgesetz vor. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Elongation ist \(m \cdot {\omega ^2}\).

Der Vergleich der Federschwingung (es liegt nach Hooke ein lineares Kraftgesetz vor) mit der projizierten Kreisbewegung zeigt:

Um den Nachweis zu führen, dass eine harmonische Schwingung vorliegt, reicht daher der Nachweis des linearen Kraftgesetzes.

Zusammenfassung

Rücktreibende Kraft - Richtgröße - Schwingungsdauer

Wendet man auf die Zeit-Beschleunigungs-Beziehung das Gesetz von Newton II (\(F = m·a\)) an und berücksichtigt man noch die Zeit-Orts-Beziehung, so ergibt sich
\[F(t) =  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]

Aus dieser Beziehung ist die Proportionalität zwischen der Kraft und der Auslenkung abzulesen (lineares Kraftgesetz). Die Proportionalitätskonstante \(k = m \cdot {\omega ^2}\) wird als Richtgröße bezeichnet.

Außerdem sieht man aus dieser Beziehung, dass die Kraft stets das entgegengesetzte Vorzeichen der Auslenkung besitzt. Ist z.B. y positiv, so ist die Kraft negativ, d. h. sie zeigt in die negative y-Richtung. Die Kraft ist also stets zum Nullpunkt der Schwingung hingerichtet. Man bezeichnet sie daher auch als rücktreibende Kraft.

Zwischen der Richtgröße C und der Schwingungsdauer T gibt es den folgenden Zusammenhang:
\[m \cdot {\omega ^2} = k \Leftrightarrow {\omega ^2} = \frac{k}{m} \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{k}{m}} \]
und wegen \(\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\) bzw. \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\) ergibt sich
\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \]
\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]

Im Weiteren soll nun gezeigt werden, wie sich der Graph der Grundfunktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) mit \(\hat y = 1\rm{cm}\), \(T = 6,3{\rm{s}}\) und \({\varphi_0  = 0}\) verändert, wenn man die Amplitude \({\hat y}\), die Kreisfrequenz \(\omega \) oder die Phasenverschiebung \(\varphi_0 \) variiert.

1. Änderung der Amplitude

2. Änderung der Kreisfrequenz

3. Änderung der Phasenverschiebung

a) Skizziere die Funktion \(y(t) = 3\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{{0,5}}{s} \cdot t - \frac{\pi }{2}} \right)\)

b) Skizziere die Funktion \(y(t) = -2\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{2}{s} \cdot t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

c) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

d) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

Im Folgenden werden theoretische Grundlagen für die Behandlung von harmonischen Schwingungen bereitgestellt. Die Schwingungsgleichung für die freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung ist Lehrstoff. Die gedämpfte, freie Schwingung und die Schwingung mit äußerer Krafteinwirkung gehören nicht unbedingt zum Pflichtstoff. Sie sollten sich aber wenigstens in die Ansätze für die entsprechenden Differentialgleichungen hineindenken können.

Differentialgleichung und deren Lösung bei der ungedämpften Schwingung

Lässt man den Gleiter in der nebenstehenden Animation nach der Auslenkung los, so kann er frei schwingen. Dies bedeutet, dass keine von außen aufgeprägte Kraft auf das schwingungsfähige System einwirkt. Da sich der Gleiter reibungsfrei auf der Unterlage bewegen kann (Idealisierung), ist die Schwingung ungedämpft.

Wird der Gleiter losgelassen, so wirkt auf ihn als resultierende Kraft die stets rücktreibenden Kraft \({F_{\rm{F}}}=-D \cdot x\) des Federsystems, welches einer Federhärte vom Betrag \(D\) haben soll. Dabei bedeutet rücktreibend: Ist der Gleiter in die positive \(x\)-Richtung ausgelenkt, zeigt die Federkraft \(F\) in die negative \(x\)-Richtung und umgekehrt; dieses Verhalten wird mathematisch durch das Minuszeichen im Term für die Federkraft beschrieben.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt somit
\[m \cdot a=-D \cdot x \Leftrightarrow m \cdot a + D \cdot x = 0\]
Beachtet man nun, dass \(x = x(t)\) und \(a = a(t) = \ddot x(t)\) (die Beschleunigung ist die zweite zeitliche Ableitung des Ortes), so kann man die obige Gleichung schreiben als
\[m \cdot \ddot x(t) + D \cdot x(t) = 0 \quad(1)\]
Diese (Differential-)Gleichung bezeichnet man als die Differentialgleichung der freien, ungedämpften, harmonischen Schwingung.

Bemerkungen

In Gleichung \((1)\) kommt die Variable \(x\) (Auslenkung) und deren Ableitung (hier 2. Ableitung) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. In der Physik deutet man die zeitliche Ableitung als Punkt über der Variablen an.

Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und überzeugen uns, dass ein Lösungsansatz die Differentialgleichung erfüllt. Da die Schwingung ungedämpft ist, bietet sich eine Sinus- oder Kosinusfunktion an. Wir wählen die Kosinusfunktion, da zu Beginn der Schwingung der Gleiter maximal ausgelenkt ist.

Lösungsansatz

Aus der Beobachtung der freien, ungedämpften, harmonischen Schwingung (vgl. Abbildung rechts) lässt sich vermuten, dass die Zeit-Orts-Funktion die Form\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\quad(2)\]hat, wobei \(\hat x\) die durch die Anfangsauslenkung der Schwingung bestimmte Amplitide der Schwingung und \(\omega\) die durch die Parameter \(m\) und \(D\) noch zu bestimmende Kreisfrequenz der Schwingung ist. Durch Differenzieren von \((\)2) erhält man\[\dot x(t) =  - \omega  \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]und daraus\[\ddot x(t) =  - {\omega ^2} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\quad(3)\]Setzt man \((2)\) und \((3)\) in die Differentialgleichung \((1)\) ein, so folgt\[m \cdot \left( { - {\omega ^2} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right) + D \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {-m \cdot {\omega ^2} + D} \right) \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) = 0\quad(4)\]Die linke Seite der Gleichung \((4)\) wird nur dann ständig gleich Null sein, wenn gilt\[-m \cdot {\omega ^2} + D = 0 \Leftrightarrow {\omega ^2} = \frac{D}{m} \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{D}{m}} \quad(5)\]Somit ist eine Lösung der Differentialgleichung \((1)\)\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\;{\rm{mit}}\;\omega  = \sqrt {\frac{D}{m}} \]

Differentialgleichung und deren Lösung bei der gedämpften Schwingung

Lässt man den Gleiter in der nebenstehenden Animation nach der Auslenkung los, so kann er frei schwingen. Dies bedeutet, dass keine von außen aufgeprägte Kraft auf das schwingungsfähige System einwirkt. Da sich der Gleiter nicht reibungsfrei auf der Unterlage bewegen kann, ist die Schwingung gedämpft.

Wird der Gleiter losgelassen, so wirkt auf ihn als resultierende Kraft die Summe der stets rücktreibenden Kraft \({F_{\rm{F}}}=-D \cdot x\) des Federsystems und der stets entgegen der Bewegung gerichteten Reibungskraft \({F_{\rm{R}}}=-k \cdot v\). Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt somit
\[m \cdot a=-D \cdot x - k \cdot v \Leftrightarrow m \cdot a + k \cdot v + D \cdot x = 0\]
Beachtet man nun, dass \(x = x(t)\), \(v = v(t) = \dot x(t)\) (die Geschwindigkeit die erste zeitliche Ableitung des Ortes) und \(a = a(t) = \ddot x(t)\) (die Beschleunigung ist die zweite zeitliche Ableitung des Ortes), so kann man die obige Gleichung schreiben als
\[m \cdot \ddot x(t) + k \cdot \dot x(t) + D \cdot x(t) = 0\quad(1)\]
Diese (Differential-)Gleichung bezeichnet man als die Differentialgleichung der freien, gedämpften, harmonischen Schwingung.

Auch hier versuchen wir einen sinnvollen Lösungsansatz zu bestätigen. Allerdings gibt es bei der gedämpften Schwingung in Abhängigkeit von den Werten der Parameter \(m\), \(k\) und \(D\) drei unterschiedliche Lösungsansätze. Zur Unterscheidung der drei Lösungsansätze formen wir \((1)\) um zu
\[{\ddot x}(t) + \frac{k}{m} \cdot {\dot x}(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0\quad(1')\]
und führen die neuen Parameter \(\delta  = \frac{k}{{2 \cdot m}}\) und \({\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \) ein, so dass \((1')\) in
\[{\ddot x}(t) + 2 \cdot \delta  \cdot {\dot x}(t) + {\omega _0}^2 \cdot x(t) = 0\quad(1'')\]
übergeht. Die Fallunterscheidung ist nun wie folgt:

1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall): \({\delta ^2} - {\omega _0}^2 < 0\)

Aus der Beobachtung der freien, gedämpften, harmonischen Schwingung (vgl. Abbildung rechts) lässt sich vermuten, dass die Zeit-Orts-Funktion die Form
\[x(t) = \hat x \cdot {e^{-\delta  \cdot t}} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad(2)\]
hat, wobei \(\hat x\) die durch die Angangsauslenkung der Schwingung bestimmte Amplitide der Schwingung, \(\omega\) die durch die Parameter \(m\), \(D\) und \(k\) noch zu bestimmende Kreisfrequenz der Schwingung und \(\delta\) eine ebenfalls noch zu bestimmende Konstante darstellt, die die Stärke des Abfallens der Amplitude bestimmt.

Bildet man vom Lösungsansatz die erste und zweite zeitliche Ableitung und setzt in die Differentialgleichung \((1)\) ein, so erhält man nach einer etwas langwierigen Rechnung
\[\delta  = \frac{k}{{2 \cdot m}}\;{\rm{und}}\;\omega  = \sqrt {\frac{D}{m} - {\delta ^2}} \]

Diskussion

Die Dämpfung ist umso größer, je größer der Proportionalitätsfaktor für die Reibung ist. Mit zunehmender Masse des Gleiters wird die Dämpfung geringer.

Die Schwingungsfrequenz geht für \(k \to 0\) in die Schwingungsfrequenz der ungedämpften Schwingung über. Ist die Dämpfung aber nicht mehr gering und damit evtl. zu vernachlässigen, so erkennt man, dass die Schwingungsfrequenz vom Faktor \(k\) und der Masse \(m\) abhängt. Die Schwingungsdauer wird sich also bei merklicher Dämpfung erhöhen.

2. Fall (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall): \({\delta ^2} - {\omega _0}^2 = 0\)

Die Theorie der Differentialgleichungen liefert hier den Lösungsansatz
\[x(t) = \left( {{A_1} + {A_2} \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]
der mit den Anfangsbedingungen \(x(0\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0{\rm{s}}) = \dot x(0{\rm{s}}) = {v_0}\) zu der allgemeinen Lösung
\[x(t) = \left( {{x_0} + \left( {{v_0} + \delta  \cdot {x_0}} \right) \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]
führt.

Kriechfall

3. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall): \({\delta ^2} - {\omega _0}^2 > 0\)

Die Theorie der Differentialgleichungen liefert hier den Lösungsansatz
\[x(t) = \left( {{A_1} \cdot {e^{\Omega  \cdot t}} + {A_2} \cdot {e^{ - \Omega  \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\;{\rm{mit}}\;\Omega  = \sqrt {{\delta ^2} - {\omega _0}^2} \]
der mit den Anfangsbedingungen \(x(0\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0{\rm{s}}) = \dot x(0{\rm{s}}) = {v_0}\) zu der allgemeinen Lösung
\[x(t) = \left( {\frac{{{x_0} \cdot \left( {\Omega  + \delta } \right) + {v_0}}}{{2 \cdot \Omega }} \cdot {e^{\Omega  \cdot t}} + \frac{{{x_0} \cdot \left( {\Omega  - \delta } \right) - {v_0}}}{{2 \cdot \Omega }} \cdot {e^{ - \Omega  \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]
führt.

Praktische Anwendung der verschiedenen Fälle

Manchmal ist das nahezu ungedämpfte Schwingen eines Systems gar nicht erwünscht. Man unterscheidet verschiedene Dämpfungsgrade:

Schwingfall

Trommeln sind relativ schwach gedämpft

aperiodischer Grenzfall

Das System geht ohne zu schwingen in möglichst kurzer Zeit auf die Nulllage zurück; abhängig von den Anfangsbedingungen ist auch ein einmaliges Überschwingen möglich.

Das Schwingen des Autos aufgrund der Federung ist unerwünscht. Daher werden Stoßdämpfer eingebaut, die nahezu zum aperiodischen Grenzfall führen.

Kriechfall

Die Dämpfung ist so stark, dass das schwingungsfähige System sehr langsam in die Nulllage zurückgeht. In der Skizze ist zum Kriechfall aus Vergleichsgründen noch der aperiodische Grenzfall eingezeichnet.

Bei der Tankanzeige sind schnelle Änderungen in der Anzeige unerwünscht. Sehr starke Dämpfung, so dass der Zeiger in seine Endstellung "kriecht".

Überlegungen zur angeregten Schwingung

Wird im Fall der gedämpften Schwingung dem System noch eine zeitlich sich ändernde äußere Kraft \({F_{\rm{A}}}\) aufgeprägt, so ist der Kraftansatz wie folgt abzuändern
\[F = {F_{\rm{F}}} + {F_{\rm{R}}} + {F_{\rm{A}}}\]