Mechanische Schwingungen

Mechanik

Mechanische Schwingungen

  • Wovon hängt eigentlich die Schwingungsdauer eines Pendels ab?
  • Geht eine Standuhr auf dem Mond genau?
  • Wie misst man im Weltall die Masse der Astronauten?

Opa schaukelt im Stuhl

Max hat Spaß beim Schaukeln

Ein Trampolinspringer erreicht durch Energiezufuhr stets die gleiche Höhe

Die Zinken einer angeschlagenen Stimmgabel schwingen

Ein Federpendel schwingt nahezu ungedämpft und anschließend gedämpft

Ein EKG wird aufgezeichnet

In den oben dargestellten Animationen sind Vorgänge dargestellt, die sich weitgehend auf die gleiche Weise wiederholen. Man sagt zu diesen Vorgängen auch periodische Vorgänge oder - wenn es sich um Bewegungen handelt - um periodische Bewegungen. Wir beschäftigen uns im Folgenden mit solchen periodischen Bewegungen.

Definition der periodischen Bewegung

Die Bewegung eines Körpers heißt periodische Bewegung (griech. περίοδος (períodos): das Herumgehen), wenn

der Körper nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt.

Die Periodendauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Periodendauer ist \(T\), für die Einheit der Periodendauer gilt \(\left[ T \right] = 1\,{\rm{s}}\).

Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Periodendauer \(T = 1\,{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1\,{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Periodendauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{T}} \right] = \frac{1}{{1\,{\rm{s}}}} = 1\,{\rm{Hz}}\) (Hz: HERTZ, nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).

Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Frequenz \(f = 1\,{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\,\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Verständnisaufgabe
 

Die Periodendauer \(T\) bei den im Bild aufgezeichneten Herzschlägen sei \(T=0{,}75\,\rm{s}\).

Berechne daraus die Herzfrequenz in \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}\).

Lösung

\[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{{0{,}75\,{\rm{s}}}} = 1{,}33\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 1{,}33 \cdot 60\,\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}} = 80\,\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}\]

Eine besondere Form von periodischen Bewegungen sind die sogenannten Schwingungen.

Definition der Schwingung

Die Bewegung eines Körpers heißt Schwingung, wenn

der Körper Teil eines physikalischen Systems mit einer eindeutigen stabilen Gleichgewichtslage (das ist die Lage, in die das System ohne äußeren Einfluss stets wieder zurückkehrt), der sogenannten Ruhelage oder Nulllage ist,

der Körper eine Periodische Bewegung durch diese Ruhelage vollführt, d.h. nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt (siehe oben).

Ein physikalisches System, das Schwingungen ausführen kann, heißt Oszillator (lat. oscillare: schaukeln). Der Begriff der Ruhelage ist etwas missverständlich, da ein schwingender Körper in der Ruhelage gerade nicht ruht, sondern sich durch diesen Punkt hindurchbewegt. Diejenigen Orte dagegen, an denen der schwingende Körper seine Bewegungsrichtung umkehrt, an denen er somit ruht und die Geschwindigkeit \(v=0\) besitzt, bezeichnet man als Umkehrpunkte.

Üblicherweise vollzieht sich eine Schwingung symmetrisch um die Nullage herum, d.h. es gibt genau zwei Umkehrpunkte, die symmetrisch um die Ruhelage liegen.

Die Schwingungsdauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Schwingungsdauer ist \(T\), für die Einheit der Schwingungsdauer gilt \(\left[ T \right] = 1\,{\rm{s}}\).

Ein Körper schwingt also mit der Schwingungsdauer \(T = 1\,{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1\,{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Schwingungsdauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{P}} \right] = \frac{1}{{1\,{\rm{s}}}} = 1\,{\rm{Hz}}\) (HERTZ nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).

Ein Körper schwingt also mit der Frequenz \(f = 1\,{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\,\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Nach dieser Festlegung wären sowohl das Trampolinspringen als auch der sich ständig wiederholende Herzschlag zwar Periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, weil die Bewegungen nicht symmetrisch um die Ruhelage herum ablaufen. Auch Kreisbewegungen sind sind zwar periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, da es bei ihnen keine eindeutig festgelegte Ruhelage gibt. Periodische Bewegungen, die nicht symmetrisch um die Ruhelage heraum ablaufen, können aber meistens durch zwei einzelne Schwingungen beschrieben werden, die jeweils nur einen halben Teil der Bewegung abdecken.

Die Begriffe Schwingungsdauer und Frequenz beschreiben zwar recht gut das zeitliche Verhalten eines Oszillators, nicht aber das räumliche. Aus diesem Grund sind weitere Definitionen nötig.

Definition von Elongation und Amplitude einer Schwingung

Die Elongation \(x\) , besser \(x(t)\) (lat. elongare: entfernen, fernhalten) ist der von der Ruhelage aus gemessene Ort des Körpers (zu einem Zeitpunkt \(t\)). Eine Elongation \(x(t)\) ist also der Funktionswert der Zeit-Orts-Funktion zum Zeitpunkt \(t\). Das Formelzeichen für die Elongation ist \(x\), für die Einheit der Elongation gilt \(\left[ x \right] = 1{\rm{m}}\).

Die Skalierung der Elongation wird üblicherweise so gewählt, dass die Ruhelage durch die Elongation \(x=0\) (nicht unbedingt bei \(t=0\)) beschrieben wird. Die sind der Grund dafür, dass man die Ruhelage auch als Nulllage der Schwingung bezeichnet (siehe oben). Bei dieser Skalierung erhält man sowohl positive als auch negative Werte für die Elongation.

Die Amplitude \({\hat x}\) (lat. amplitudo: die Geräumigkeit) ist der Betrag des Maximalwertes der Elongation. Das Formelzeichen für die Amplitude ist \({\hat x}\), für die Einheit der Amplitude gilt \(\left[ {\hat x} \right] = 1{\rm{m}}\).

Die Amplitude ist per Definition immer positiv. Sie ist wegen der Symmetrie der Schwingung um die Ruhelage der (gleich große) Abstand zwischen der Nulllage und den beiden Umkehrpunkten.

Hinweis: Bei vertikalen Schwingungen wie z.B. beim Feder-Schwere-Pendel benutzt man häufig für die Elongation \(y\) bzw. \(y(t)\) und für die Amplitude \({\hat y}\).

Eine nähere Analyse mechanischer Schwingungen zeigt, dass zum Auftreten einer Schwingung stets eine Rückstellkraft \({{\vec F}_{{\rm{Rück}}}}\) notwendig ist, die auf den Gleichgewichtspunkt hin gerichtet ist.

Was man allgemein unter einer Schwingung versteht, wurde oben bereits behandelt. Im Folgenden geht es um eine wichtige Sonderform der Schwingung, nämlich der harmonischen Schwingung, die man etwas salopp auch als Sinusschwingung bezeichnet.

Definition der harmonischen Schwingung

Eine Schwingung heißt harmonische Schwingung, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllt.

Die Bewegung des schwingenden Körpers stimmt mit der Projektion einer Kreisbewegung überein (und kann somit durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion, z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben werden).

Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper ist entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage, kurz \({{ F}_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\). Wir sprechen dabei vom sogenannten linearen Kraftgesetz.

Erfüllt eine Schwingung eine dieser beiden Bedingungen, so erfüllt sie stets auch die andere.

Hinweis: Versuche und Überlegungen, die weiter unten durchgeführt werden, zeigen, dass z.B. das Federpendel oder auch das Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen harmonische Schwingungen ausführen.

Der Einfachheit halber beschreibt man in der Schule meist eine harmonische Schwingung, die beim Phasenwinkel \(\varphi  = 0\) startet. Dies bedeutet, dass in der folgenden Animation der Körper seine Kreisbewegung beim Winkel \(\varphi  = 0\) startet und sich in die mathematisch positive Richtung dreht (Gegenuhrzeigersinn).

Zeit-Orts-Gesetz \[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz\[v(t) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow v(t) = \hat y \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]Zeit-Beschleunigungs-Gesetz\[a(t) = - \hat a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow a(t) = - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

 

Für den allgemeineren Fall (d.h. befindet sich der Körper zur Zeit \(t  = 0\) bei der Kreisbewegung schon bei einem Winkel \(\varphi  \ne 0\) wird die Beschreibung etwas komplizierter. Die Verallgemeinerung kannst du dir hier einblenden lassen.

Mit Hilfe eines Schattenwurfs wird der auf dem Kreis gleichförmig rotierende Punkt auf eine Wand projiziert.

Begründung des Zeit-Orts-Gesetzes

1 Entstehung des Zeit-Orts-Graphen einer harmonischen Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung

Mit Hilfe des Schalters "Projektion" kann man sich die Bewegung des Schattenbildes auf der \(y\)-Achse einprägen. Die größte Auslenkung aus der Nulllage wird mit \(\hat y\) bezeichnet. Wenn du die Entstehung der Zeit Orts-Funktion (\(t\)-\(y\)-Funktion) der projizierten Bewegung betrachten willst, so drücke den Schalter "Projektion und Zeit-Orts-Kurve".

 

Bei den gegebenen Anfangsbedingungen ergibt sich (\(\varphi  = 0\) bei \(t  = 0\); Drehung im Gegenuhrzeigersinn) ergibt sich als Zeit-Orts-Graph eine Sinuskurve. Dies sieht man auch ohne Animation durch die Betrachtung der \(y\)-Komponente \(r_y\) des Radiusvektors im rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel \(\varphi \). Für \(r_y\) gilt\[r_y\left( \varphi \right) = r \cdot \sin \left( \varphi \right) = r \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]Bei der Schwingung bezeichnen wir die Auslenkung in \(y\)-Richtung mit \(y(t)\) und die maximale Auslenkung (welche dem Radius \(r\) der Kreisbahn entspricht) mit \(\hat y\). Somit gilt dann\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

Begründung des Zeit-Geschwindigkeits-Gesetzes

2 Herleitung des Zeit-Geschwindigkeits-Terms einer harmonischen Schwingung durch die Betrachtung einer Komponente des Geschwindigkeitsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung

Begründung des Zeit-Beschleunigungs-Gesetzes

3 Herleitung des Zeit-Beschleunigungs-Terms einer harmonischen Schwingung durch die Betrachtung einer Komponente des Beschleunigungsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung
5 Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Graphen einer harmonischen Schwingung

Die Animation in Abb. 5 zeigt den Zeit-Orts-, den Zeit-Geschwindigkeits- udn den Zeit-Beschleunigungs-Graphen einer harmonischen Schwingung.

Begründung des Linearen Kraftgesetzes

Nun können wir zeigen, dass aus der Eigenschaft einer harmonischen Schwingung als Projektion einer Kreisbewegung die Eigenschaft des linearen Kraftgesetzes gefolgert werden kann. Gilt nämlich wie oben gezeigt\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad (1)\]\[{v_y}(t) = \omega \cdot \hat y  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad (2)\]\[{a_y}(t) =  - {\omega ^2} \cdot \hat y  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad(3)\], so erhält man nach dem 2. NEWTONschen Axiom \(F=m \cdot a\) für die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{rück}}=F_y\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) (und damit für jede Elongation \(y\))\[{F_{{\rm{rück}}}}(t) = m \cdot {a_y}(t)\mathop  = \limits_{(3)}  - m \cdot {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\mathop  = \limits_{(1)}  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]

Das Wichtigste auf einen Blick

Erfährt ein schwingender Körper eine rücktreibende Kraft, die entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage ist (lineares Kraftgesetz, kurz \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\)), so wird seine Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion wie z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben.

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1 Bewegung eines Körpers, auf den eine zur Auslenkung entgegengesetzt gerichtete und betraglich proportionale Rückstellkraft wirkt

Die Animation in Abb. 1 zeigt folgende Situation:

Wir betrachten einen schwingenden Körper, dessen Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) beschrieben wird.

Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper folgt dem linearen Kraftgesetz, hat also die Form \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{rück}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - k \cdot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Masse \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Die Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) des Körpers muss diese Gleichung \((*)\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) erfüllen. Aus der Differentialrechnung weiß man nun, dass die zweite Ableitung der Sinusfunktion die "Minus-Sinusfunktion" ist. So findet man leicht, dass z.B. die Zeit-Orts-Funktion \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) die Gleichung \((*)\) erfüllt: Setzt man nämlich\[x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) \Rightarrow \dot x(t) = \sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) \Rightarrow \ddot x(t) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]in Gleichung \((*)\) ein, so erhält man\[ - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]eine stets wahre Aussage. Somit ist \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) eine Lösung der Gleichung \((*)\) und damit eine Zeit-Orts-Funktion des schwingenden Körpers.

Aus diesen Überlegungen sieht man auch, dass es zwischen der Konstanten \(k\), der Masse \(m\) und der Kreisfrequenz \(\omega\) bzw. der Schwingungsdauer \(T\) Zusammenhänge gibt: Es gilt\[\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}} \]und wegen \(\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\) bzw. \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\)\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \]sowie\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]

Bemerkungen

In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(x(t)\) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot x(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Schließlich ist die Differentialgleichung homogen, da in der Gleichung \((*)\) kein Summand ohne die Funktion \(x(t)\) oder eine ihrer Ableitungen auftaucht.

Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und zeigen meistens nur, dass eine angegebene Funktion eine Differentialgleichung (und ihre Anfangsbedingungen) erfüllt.

Energiebetrachtung bei der Schwingung

Bei der mechanischen Schwingung ist ein periodisches Hin- und Herpendeln zwischen den zwei Energieformen "kinetische Energie" und "potentielle Energie" zu beobachten.
Speziell beim ungedämpften Federpendel gilt:
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}}} + {E_{{\rm{kin}}}}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v{(t)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot y{(t)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\hat y \cdot \omega  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {\omega ^2}} \right) \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \underbrace {\left( {\cos {{\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)}^2} + \sin {{\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)}^2}} \right)}_1\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2}\end{eqnarray}\]
Die Gesamtenergie der Schwingung ist also zeitlich konstant.

Hinweis: Das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen ist ein allgemeines Kennzeichen einer Schwingung. So tritt z.B. bei den elektromagnetischen Schwingungen ein Hin- und Herpendeln zwischen "elektrischer Energie" und "magnetischer Energie" auf.

Sinusfunktion

Zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung wird im Allgemeinen die Sinusfunktion verwendet. In der Form \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) stellt die Sinusfunktion nur einen Spezialfall dar. Hierbei hat die Schwingung zur Zeit \({t = 0}\) die Auslenkung (Elongation) null und beginnt in die positive \(y\)-Richtung zu schwingen.

Will man die harmonische Schwingung allgemeiner beschreiben, so wählt man die Funktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi_0 } \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t + \varphi_0 } \right)\).

Bezeichnungen

\(\hat y\): Amplitude (maximale Auslenkung); \(\left[ {\hat y} \right] = 1\rm{m}\)   \(T\): Schwingungsdauer; \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\)
\(\omega \): Kreisfrequenz; \({\left[ \omega  \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}\)   \(\varphi_0 \): Phasenverschiebung
\(f\): Frequenz; \({\left[ f \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Hz}}}\)      

Wichtige Beziehungen

\[f = \frac{1}{T}\] \[\omega = 2\pi \cdot f\]

Im Weiteren soll nun gezeigt werden, wie sich der Graph der Grundfunktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) mit \(\hat y = 1{,}0\,\rm{cm}\), \(T = 6{,}3\,{\rm{s}}\) und \({\varphi_0  = 0}\) verändert, wenn man die Amplitude \({\hat y}\), die Kreisfrequenz \(\omega \) oder die Phasenverschiebung \(\varphi_0 \) variiert.

Änderung der Amplitude

Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Amplitude
ŷ
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
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1 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Amplitude

Änderung der Kreisfrequenz

Der Graph der Grundfunktion wird in \(x\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Kreisfrequenz
ω
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
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2 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Kreisfrequenz

Änderung der Phasenverschiebung

Der Graph der Grundfunktion wird in \(x\)-Richtung nach rechts oder links verschoben.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Phasenverschiebung
φo
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
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3 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Phasenverschiebung

Änderung von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung

Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht und in \(x\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht und nach rechts oder links verschoben.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Amplitude
ŷ
Kreisfrequenz
ω
Phasenverschiebung
φo
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
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4 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung

Anmerkung: Die letzten beiden Animationen zeigen insbesondere, dass \(\sin \left( {\omega  \cdot t + \frac{1}{2}\pi } \right)\) gleich \(\cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) ist

Aufgaben

a) Skizziere die Funktion \(y(t) = 3\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{{0,5}}{s} \cdot t - \frac{\pi }{2}} \right)\)

b) Skizziere die Funktion \(y(t) = -2\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{2}{s} \cdot t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

c) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

d) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

Kraftgesetz aufgrund der Schwingungsgleichung: \[F = - m \cdot {\omega ^2} \cdot y \quad(1)\]Kraftgesetz aufgrund der Anordnung: \[{F_{{\rm{rück}}}} =-D \cdot y \quad(2)\]Vergleich von \((2)\) mit \((1)\) liefert \[D = m \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow \frac{D}{m} = {\omega ^2} \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{D}{m}} \] woraus sich wegen \(T = \frac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\) ergibt \[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{D}} \]

1 Rückstellkraft bei einem Fadenpendel als resultierende Kraft aus Fadenkraft und Gewichtskraft

Die Animation in Abb. 1 zeigt, dass die Rückstellkraft bei einem Fadenpendel die resultierende Kraft aus der Fadenkraft und der Gewichtskraft ist.

Kraftgesetz aufgrund der Schwingungsgleichung:\[F = - m \cdot {\omega ^2} \cdot y \quad(1)\]Kraftgesetz aufgrund der Anordnung: \[{F_{{\rm{rück}}}} =  - m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right)\] woraus sich für kleine \(\alpha \) und \(\alpha \) im Bogenmaß ergibt \[{F_{{\rm{rück}}}} = - m \cdot g \cdot \alpha \] Mit \(\alpha = \frac{y}{l}\) ergibt sich dann \[{F_{{\rm{rück}}}} =  - \frac{{m \cdot g}}{l} \cdot y \quad(3)\]Vergleich von \((3)\) mit \((1)\) liefert \[\frac{{m \cdot g}}{l} = m \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow \frac{g}{l} = {\omega ^2} \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{g}{l}} \] woraus sich wegen \(T = \frac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\) ergibt \[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{l}{g}} \]Hinweis: Nur für kleine Winkel kann der Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß ersetzt werden. Das Fadenpendel ist daher nur für kleine Auslenkwinkel ein harmonischer Schwinger.

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1 Ungedämpftes Federpendel, bestehend aus einer Feder mit der Federkonstanten \(D\) und einem Pendelkörper der Masse \(m\), der sich reibungsfrei bewegen kann

Ein Körper mit der Masse \(m\) befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante \(D\); Körper und Feder können sich nur in horizontaler Richtung bewegen. Da es sich somit um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob die Größen in die positive oder die negative Ortsrichtung orientiert sind.

Weiter wollen wir die Reibungskräfte auf Körper und Feder vernachlässigen. Eine solche Anordnung bezeichnet man kurz als (horizontales) ungedämpftes Federpendel.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach rechts gerichtete \(x\)-Ortsache mit dem Ursprung in der Ruhelage des Körpers. Lenkt man den Körper aus der Ruhelage bei \(x=0\) auf eine Position \(x(0\,\rm{s}) = {x_0} > 0\) aus, hält ihn dort fest (\(v(0\,\rm{s}) = 0\)) und lässt ihn dann los, so führt er eine periodische Bewegung aus (vgl. Abb. 1).

Wegen der obigen Annahmen wirkt auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung nur eine einzige Kraft:

Die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{F}}\) der Feder. Diese berechnet sich aus der Federkonstanten \(D\) und der momentanen Auslenkung \(x\) durch \(D \cdot x\). Da die Federkraft entgegen der Auslenkung gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{F}} = - D \cdot x\).

Wie wir im Theorieartikel (vgl. Linkliste am Ende dieses Artikels) zeigen, wird das zeitliche Verhalten aller relevanter Größen durch sogenannte trigonometrische Funktionen beschrieben. Es ergibt sich\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat x = {x_0}\;;\;{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]\[{F_{\rm{F}}}(t) =  - \hat F \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) \;\;{\rm{mit}}\;\;\hat F = D \cdot {x_0}\]\[v(t) =  - \hat v \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat v = {x_0} \cdot {\omega _0} = {x_0} \cdot \sqrt {\frac{D}{m}} \]\[a(t) =  - \hat a \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat a = {x_0} \cdot {\omega _0}^2 = {x_0} \cdot \frac{D}{m}\]\[{E_{{\rm{kin}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]\[{E_{{\rm{pot}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]

Die folgende Simulation zeigt dir die zugehörigen Graphen. Du kannst zusätzlich die Größen \(D\), \(m\) und \(x_0\) in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.

D
m
xo
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2 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Federkraft, kinetische und potentielle Energie eines ungedämpften Federpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern
1 Proportionalität der Rückstellkraft eines Feder-Schwere-Pendels zu dessen Auslenkung

Man unterliegt leicht der Vorstellung, dass ein vertikal aufgehängtes Federpendel (Feder-Schwere-Pendel) wegen der zusätzlichen Gewichtskraft auf den Pendelkörper anders schwingt als ein baugleiches, aber horizontal schwingendes Federpendel. Dass diese Vorstellung falsch ist wollen wir hier kurz zeigen (vgl. Animation in Abb. 1).

Wird an die Feder der Körper mit der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) gehängt, so gilt für den Gleichgewichtsfall \[\left| F_{\rm{G}} \right| = \left| {{F_{\rm{F}}}} \right| \Rightarrow m \cdot g = D \cdot {s_0}\quad (1)\]Wird der Körper zur Schwingung frei gegeben, so gilt in jedem Punkt \[{F_{\rm{res}}} =  - D \cdot \left( {{s_0} + y} \right) + m \cdot g\]Hinweis: Kräfte, die in die positive y-Richtung zeigen werden positiv gezählt. Kräfte, die in negative y-Richtung zeigen werden negativ gezählt.

Multipliziert man die Klammer aus, so ergibt sich \[{F_{\rm{res}}} - D \cdot {s_0} - D \cdot y + m \cdot g\quad (2)\]Ersetzt man mit Hilfe von Gleichung \((1)\) in Gleichung \((2)\) den Ausdruck \(m \cdot g\), so folgt \[{F_{\rm{res}}} = - D \cdot {s_0} - D \cdot y + D \cdot {s_0}\]Hieraus ergibt sich das sogenannte lineare Kraftgesetz (Proportionalität zwischen resultierender Kraft und Auslenkung)\[{F_{{\rm{res}}}} = - D \cdot y\]

2 Rückstellkraft bei einem Feder-Schwere-Pendel als resultierende Kraft aus Federkraft und Gewichtskraft

Die Animation in Abb. 2 zeigt nun noch einmal explizit, dass die Rückstellkraft bei einem Feder-Schwere-Pendel proportional zur Auslenkung ist.

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1 Gedämpftes Federpendel, bestehend aus einer Feder mit der Federkonstanten \(D\) und einem Pendelkörper der Masse \(m\), der sich in einem viskosen Medium z.B. Wasser bewegen kann

Ein Körper mit der Masse \(m\) befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante \(D\); Körper und Feder können sich nur in horizontaler Richtung bewegen. Da es sich somit um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob die Größen in die positive oder die negative Ortsrichtung orientiert sind.

Das gesamte System soll sich in einem viskosen Medium z.B. Wasser befinden, so dass auf den Körper (und die Feder) viskose Reibungskräfte wirken. Eine solche Anordnung bezeichnet man kurz als (horizontales) gedämpftes Federpendel.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach rechts gerichtete \(x\)-Ortsache mit dem Ursprung in der Ruhelage des Körpers. Lenkt man den Körper aus der Ruhelage bei \(x=0\) auf eine Position \(x=x_0>0\) aus, hält ihn dort fest (\(v=0\)) und lässt ihn dann los, so führt er eine periodische Bewegung aus (vgl. Abb. 1).

Wegen der obigen Annahmen wirken auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung zwei Kräfte:

Die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{F}}\) der Feder. Diese berechnet sich aus der Federkonstanten \(D\) und der momentanen Auslenkung \(x\) durch \(D \cdot x\). Da die Federkraft entgegen der Auslenkung gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{F}} = - D \cdot x\).

Die (viskose) Reibungskraft \(F_{\rm{VR}}\) zwischen Medium und Körper. Diese berechnet sich aus der Reibungskonstanten \(k\) und der momentanen Geschwindigkeit \(v\) durch \(k \cdot v\). Da die viskose Reibung entgegen der Geschwindigkeit gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{VR}} = - k \cdot v\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{F}}}+{F_{\rm{VR}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2.Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{F}}} = {F_{\rm{F}}}(x(t)) = - D \cdot x(t)\) (HOOKEsches Gesetz) sowie \(v = \dot x(t)\) (Definition des Geschwindigkeit als 1.Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{VR}}} = {F_{\rm{VR}}}(v(t)) = - k \cdot v(t) = -k \cdot \dot x(t)\) (Gesetz der viskosen Reibung) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - D \cdot x(t) - k \cdot \dot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Massen \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot \dot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Dies ist die homogene Differentialgleichung 2.Ordnung für die Elongation \(x(t)\) des Körpers während des Schwingungsvorgangs mit den beiden Anfangsbedingungen \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0\,\rm{s}) = 0\).

In den meisten Fällen (schwache Dämpfung, Schwingfall: \(\frac{D}{m} > \delta^2\)) ist die Lösung der Differentialgleichung \((*)\) mit den beiden Anfangsbedingungen \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0\,\rm{s}) = 0\) die Funktion \[x(t) = \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\] mit \(\hat x = x_0\), \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und \({\omega} = \sqrt {\frac{D}{m} - \delta^2} \).

1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall): \(\frac{D}{m} > \delta^2\)

Schwingfall (gedämpfte harmonische Schwingung); die e-Funktion ist die Einhüllende

Diskussion

Die Dämpfung ist umso größer, je größer der Proportionalitätsfaktor für die Reibung ist. Mit zunehmender Masse des Gleiters wird die Dämpfung geringer.

Die Schwingungsfrequenz geht für \(k \to 0\) in die Schwingungsfrequenz der ungedämpften Schwingung über. Ist die Dämpfung aber nicht mehr gering und damit evtl. zu vernachlässigen, so erkennt man, dass die Schwingungsfrequenz vom Faktor \(k\) und der Masse \(m\) abhängt. Die Schwingungsdauer wird sich also bei merklicher Dämpfung erhöhen.

2. Fall (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall): \(\frac{D}{m} = \delta^2\)

aperiodischer Grenzfall; abhängig von den Anfangsbedingungen ist auch ein einmaliges Überschwingen möglich

Die Theorie der Differentialgleichungen liefert bei den Anfangsbedingungen \(x(0\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0{\rm{s}}) = 0\) die Lösung\[x(t) = \left( {{x_0} + \delta  \cdot {x_0} \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]

3. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall): \(\frac{D}{m} < \delta^2\)

Kriechfall

Die Theorie der Differentialgleichungen liefert bei den Anfangsbedingungen \(x(0\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0{\rm{s}}) = 0\) die Lösung\[x(t) = {x_0} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }}\left( {\left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot t}} + \left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]mit \(\lambda  = \sqrt {{\delta ^2} - \frac{D}{m}} \).

Die folgende Simulation zeigt dir die Graphen von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Federkraft, viskoser Reibungskraft, kinetischer und potentieller Energie. Du kannst zusätzlich die Größen \(D\), \(m\), \(k\) und \(x_0\) in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.

D
m
k
xo
Schwingfall
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2 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Federkraft, viskose Reibungskraft, kinetische und potentielle Energie eines gedämpften Federpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern

Praktische Anwendung der verschiedenen Fälle

Manchmal ist das nahezu ungedämpfte Schwingen eines Systems gar nicht erwünscht. Man unterscheidet verschiedene Dämpfungsgrade:

Schwingfall

Trommeln sind relativ schwach gedämpft

aperiodischer Grenzfall

Das System geht ohne zu schwingen in möglichst kurzer Zeit auf die Nulllage zurück; abhängig von den Anfangsbedingungen ist auch ein einmaliges Überschwingen möglich.

Das Schwingen des Autos aufgrund der Federung ist unerwünscht. Daher werden Stoßdämpfer eingebaut, die nahezu zum aperiodischen Grenzfall führen.

Kriechfall

Die Dämpfung ist so stark, dass das schwingungsfähige System sehr langsam in die Nulllage zurückgeht. In der Skizze ist zum Kriechfall aus Vergleichsgründen noch der aperiodische Grenzfall eingezeichnet.

Bei der Tankanzeige sind schnelle Änderungen in der Anzeige unerwünscht. Sehr starke Dämpfung, so dass der Zeiger in seine Endstellung "kriecht".

Überlegungen zur angeregten Schwingung

 

Wird im Fall der gedämpften Schwingung dem System noch eine zeitlich sich ändernde äußere Kraft \({F_{\rm{A}}}\) aufgeprägt, so ist der Kraftansatz wie folgt abzuändern
\[F = {F_{\rm{F}}} + {F_{\rm{R}}} + {F_{\rm{A}}}\]

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