Mechanische Schwingungen

• Bei einer periodischen Bewegung kehrt ein Körper nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder in den gleichen Bewegungszustand zurück.
• Periodische Bewegungen um eine stabile Gleichgewichtslage herum, nennt man Schwingungen.

• Bei einer periodischen Bewegung hat ein Körper nach einer Periodendauer \(T\) wieder den gleichen Bewegungszustand.
• Für die Frequenz einer periodischen Bewegung gilt \(f=\frac{1}{T}\).
• Die Amplitude einer Schwingung ist der Betrag des Maximalwerts der Auslenkung aus der Ruhelage.

• Harmonische Schwingungen können mit Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden.
• Bei harmonischen Schwingungen ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage (lineares Kraftgesetz).
• Das Zeit-Orts-Gesetz lautet \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) 

• Eine harmonische Schwingung kannst du als Projektion einer Kreisbewegung auffassen.

Erfährt ein schwingender Körper eine rücktreibende Kraft, die entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage ist (lineares Kraftgesetz, kurz \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\)), so wird seine Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion wie z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben.

• Harmonische Schwingungen können mit der allgemeinen Sinusfunktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi_0 } \right)\) beschrieben werden.
• Dabei bestimmt \( \hat y\) die Amplitude und \(\omega\) die Periodendauer.
• \(\varphi_0\) gibt die Phasenverschiebung an, die im schulischen Kontext oft Null ist.

• Ein Federpendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(x(t) = \hat{x} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \({\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}}\)
• Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}\); sie ist insbesondere unabhängig von der Amplitude \(\hat{x} \) der Schwingung.

• Ein Feder-Schwere-Pendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(y(t) = \hat{y} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \({\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}}\)
• Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}\); sie ist insbesondere unabhängig von der Amplitude \(\hat{x} \) der Schwingung und dem Ortsfaktor \(g\).

• Ein Fadenpendel mit einem Faden der Länge \(l\) schwingt bei kleinen Auslenkungen harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(x(t) = \hat{x} \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right)\) mit \(\omega_0=\sqrt {\frac{g}{l}}\)
• Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \); sie ist insbesondere unabhängig von der Amplitude \(\hat{x} \) der Schwingung und der Masse \(m\) des Pendelkörpers.

• Ein allgemeines Kennzeichen für mechanische Schwingungen ist das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen.
• Bei ungedämpften mechanischen Schwingungen ist die Summe der Energien, die in den beiden Energieformen vorliegen, zeitlich konstant.

• Beim gedämpften Pendel wirkt zusätzlich zur Federkraft auch eine Reibungskraft auf den Pendelkörper.
• Für verschiedene Werte von Pendelmasse \(m\), Federkonstante \(D\) und Dämpfungskonstante \(k\) hat die Bewegungsgleichung unterschiedliche Lösungen
• Man unterscheidet drei Fälle: Schwingfall, aperiodischer Grenzfall und Kriechfall

• Beim angeregten Federpendel muss die äußere Kraft \(F_{\rm{A}}\) im Kraftansatz berücksichtigt werden.