1Verschiedene periodische Bewegungen und Schwingungen
Die Animationen in Abb. 1 zeigen sechs verschiedene Bewegungen. Unabhängig von den Bewegungsrichtungen haben die Bewegungen Gemeinsamenkeiten, aber auch Unterschiede. Findest du sie?
In den oben dargestellten Animationen sind Vorgänge dargestellt, die sich weitgehend auf die gleiche Weise wiederholen. Man sagt zu diesen Vorgängen auch periodische Vorgänge oder periodische Bewegungen. Wir beschäftigen uns im Folgenden mit solchen periodischen Bewegungen.
Definition der periodischen Bewegung
Die Bewegung eines Körpers heißt periodische Bewegung (griech. περίοδος (períodos): das Herumgehen), wenn
•der Körper nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt.
Die Periodendauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Periodendauer ist \(T\), für die Einheit der Periodendauer gilt \(\left[ T \right] = 1\,{\rm{s}}\).
Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Periodendauer \(T = 1\,{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1\,{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.
Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Periodendauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{T}} \right] = \frac{1}{{1\,{\rm{s}}}} = 1\,{\rm{Hz}}\) (Hz: HERTZ, nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).
Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Frequenz \(f = 1\,{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\,\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.
Verständnisaufgabe
Die Periodendauer \(T\) bei den im Bild aufgezeichneten Herzschlägen sei \(T=0{,}75\,\rm{s}\).
Berechne daraus die Herzfrequenz in \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}\).
Eine besondere Form von periodischen Bewegungen sind die sogenannten Schwingungen.
Definition der Schwingung
Die Bewegung eines Körpers heißt Schwingung, wenn
•der Körper Teil eines physikalischen Systems mit einer eindeutigen stabilen Gleichgewichtslage (das ist die Lage, in die das System ohne äußeren Einfluss stets wieder zurückkehrt), der sogenannten Ruhelage oder Nulllage ist,
•der Körper eine Periodische Bewegung durch diese Ruhelage vollführt, d.h. nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt (siehe oben).
Ein physikalisches System, das Schwingungen ausführen kann, heißt Oszillator (lat. oscillare: schaukeln). Der Begriff der Ruhelage ist etwas missverständlich, da ein schwingender Körper in der Ruhelage gerade nicht ruht, sondern sich durch diesen Punkt hindurchbewegt. Diejenigen Orte dagegen, an denen der schwingende Körper seine Bewegungsrichtung umkehrt, an denen er somit ruht und die Geschwindigkeit \(v=0\) besitzt, bezeichnet man als Umkehrpunkte.
Üblicherweise vollzieht sich eine Schwingung symmetrisch um die Nullage herum, d.h. es gibt genau zwei Umkehrpunkte, die symmetrisch um die Ruhelage liegen.
Die Schwingungsdauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Schwingungsdauer ist \(T\), für die Einheit der Schwingungsdauer gilt \(\left[ T \right] = 1\,{\rm{s}}\).
Ein Körper schwingt also mit der Schwingungsdauer \(T = 1\,{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1\,{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.
Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Schwingungsdauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{P}} \right] = \frac{1}{{1\,{\rm{s}}}} = 1\,{\rm{Hz}}\) (HERTZ nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).
Ein Körper schwingt also mit der Frequenz \(f = 1\,{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\,\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.
Nach dieser Festlegung wären sowohl das Trampolinspringen als auch der sich ständig wiederholende Herzschlag zwar Periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, weil die Bewegungen nicht symmetrisch um die Ruhelage herum ablaufen. Auch Kreisbewegungen sind zwar periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, da es bei ihnen keine eindeutig festgelegte Ruhelage gibt. Periodische Bewegungen, die nicht symmetrisch um die Ruhelage heraum ablaufen, können aber meistens durch zwei einzelne Schwingungen beschrieben werden, die jeweils nur einen halben Teil der Bewegung abdecken.
Die Begriffe Schwingungsdauer und Frequenz beschreiben zwar recht gut das zeitliche Verhalten eines Oszillators, nicht aber das räumliche. Aus diesem Grund sind weitere Definitionen nötig.
Definition von Elongation und Amplitude einer Schwingung
Die Elongation \(x\) , besser \(x(t)\) (lat. elongare: entfernen, fernhalten) ist der von der Ruhelage aus gemessene Ort des Körpers (zu einem Zeitpunkt \(t\)). Eine Elongation \(x(t)\) ist also der Funktionswert der Zeit-Orts-Funktion zum Zeitpunkt \(t\). Das Formelzeichen für die Elongation ist \(x\), für die Einheit der Elongation gilt \(\left[ x \right] = 1{\rm{m}}\).
Die Skalierung der Elongation wird üblicherweise so gewählt, dass die Ruhelage durch die Elongation \(x=0\) (nicht unbedingt bei \(t=0\)) beschrieben wird. Die sind der Grund dafür, dass man die Ruhelage auch als Nulllage der Schwingung bezeichnet (siehe oben). Bei dieser Skalierung erhält man sowohl positive als auch negative Werte für die Elongation.
Die Amplitude \({\hat x}\) (lat. amplitudo: die Geräumigkeit) ist der Betrag des Maximalwertes der Elongation. Das Formelzeichen für die Amplitude ist \({\hat x}\), für die Einheit der Amplitude gilt \(\left[ {\hat x} \right] = 1{\rm{m}}\).
Die Amplitude ist per Definition immer positiv. Sie ist wegen der Symmetrie der Schwingung um die Ruhelage der (gleich große) Abstand zwischen der Nulllage und den beiden Umkehrpunkten.
Hinweis: Bei vertikalen Schwingungen wie z.B. beim Feder-Schwere-Pendel benutzt man häufig für die Elongation \(y\) bzw. \(y(t)\) und für die Amplitude \({\hat y}\).
Eine nähere Analyse mechanischer Schwingungen zeigt, dass zum Auftreten einer Schwingung stets eine Rückstellkraft \({{\vec F}_{{\rm{Rück}}}}\)notwendig ist, die auf den Gleichgewichtspunkt hin gerichtet ist.
Was man allgemein unter einer Schwingung versteht, wurde oben bereits behandelt. Im Folgenden geht es um eine wichtige Sonderform der Schwingung, nämlich der harmonischen Schwingung, die man etwas salopp auch als Sinusschwingung bezeichnet.
Definition der harmonischen Schwingung
Eine Schwingung heißt harmonische Schwingung, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllt.
•Die Bewegung des schwingenden Körpers stimmt mit der Projektion einer Kreisbewegung überein (und kann somit durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion, z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) beschrieben werden).
•Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper ist entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage, kurz \({{ F}_{{\rm{rück}}}}(x) = - k \cdot x\). Wir sprechen dabei vom sogenannten linearen Kraftgesetz.
Erfüllt eine Schwingung eine dieser beiden Bedingungen, so erfüllt sie stets auch die andere.
Hinweis: Versuche und Überlegungen, die weiter unten durchgeführt werden, zeigen, dass z.B. das Federpendel oder auch das Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen harmonische Schwingungen ausführen.
Der Einfachheit halber beschreibt man in der Schule meist eine harmonische Schwingung, die beim Phasenwinkel \(\varphi = 0\) startet. Dies bedeutet, dass in der folgenden Animation der Körper seine Kreisbewegung beim Winkel \(\varphi = 0\) startet und sich in die mathematisch positive Richtung dreht (Gegenuhrzeigersinn).
Für den allgemeineren Fall (d.h. befindet sich der Körper zur Zeit \(t = 0\) bei der Kreisbewegung schon bei einem Winkel \(\varphi \ne 0\) wird die Beschreibung etwas komplizierter. Die Verallgemeinerung kannst du dir hier einblenden lassen.
Zeit-Orts-Gesetz\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\]Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz\[v(t) = \dot y(t) = \hat y \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\]Zeit-Beschleunigungs-Gesetz\[a(t) = \dot v(t) = \ddot y(t) = - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right) = - \hat a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\]
Mit Hilfe eines Schattenwurfs wird der auf dem Kreis gleichförmig rotierende Punkt auf eine Wand projiziert.
Begründung des Zeit-Orts-Gesetzes
1Entstehung des Zeit-Orts-Graphen einer harmonischen Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung
Mit Hilfe des Schalters "Projektion" kann man sich die Bewegung des Schattenbildes auf der \(y\)-Achse einprägen. Die größte Auslenkung aus der Nulllage wird mit \(\hat y\) bezeichnet. Wenn du die Entstehung der Zeit Orts-Funktion (\(t\)-\(y\)-Funktion) der projizierten Bewegung betrachten willst, so drücke den Schalter "Projektion und Zeit-Orts-Kurve".
Bei den gegebenen Anfangsbedingungen ergibt sich (\(\varphi = 0\) bei \(t = 0\); Drehung im Gegenuhrzeigersinn) ergibt sich als Zeit-Orts-Graph eine Sinuskurve. Dies sieht man auch ohne Animation durch die Betrachtung der \(y\)-Komponente \(r_y\) des Radiusvektors im rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel \(\varphi \). Für \(r_y\) gilt\[r_y\left( \varphi \right) = r \cdot \sin \left( \varphi \right) = r \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]Bei der Schwingung bezeichnen wir die Auslenkung in \(y\)-Richtung mit \(y(t)\) und die maximale Auslenkung (welche dem Radius \(r\) der Kreisbahn entspricht) mit \(\hat y\). Somit gilt dann\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]
Begründung des Zeit-Geschwindigkeits-Gesetzes
2Herleitung des Zeit-Geschwindigkeits-Terms einer harmonischen Schwingung durch die Betrachtung einer Komponente des Geschwindigkeitsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung
Begründung des Zeit-Beschleunigungs-Gesetzes
3Herleitung des Zeit-Beschleunigungs-Terms einer harmonischen Schwingung durch die Betrachtung einer Komponente des Beschleunigungsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung
5Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Graphen einer harmonischen Schwingung
Die Animation in Abb. 5 zeigt den Zeit-Orts-, den Zeit-Geschwindigkeits- udn den Zeit-Beschleunigungs-Graphen einer harmonischen Schwingung.
Begründung des Linearen Kraftgesetzes
Nun können wir zeigen, dass aus der Eigenschaft einer harmonischen Schwingung als Projektion einer Kreisbewegung die Eigenschaft des linearen Kraftgesetzes gefolgert werden kann. Gilt nämlich wie oben gezeigt\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \quad (1)\]\[{v_y}(t) = \omega \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \quad (2)\]\[{a_y}(t) = - {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \quad(3)\], so erhält man nach dem 2. NEWTONschen Axiom \(F=m \cdot a\) für die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{rück}}=F_y\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) (und damit für jede Elongation \(y\))\[{F_{{\rm{rück}}}}(t) = m \cdot {a_y}(t)\mathop = \limits_{(3)} - m \cdot {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\mathop = \limits_{(1)} - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]
Erfährt ein schwingender Körper eine rücktreibende Kraft, die entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage ist (lineares Kraftgesetz, kurz \({F_{{\rm{rück}}}}(x) = - k \cdot x\)), so wird seine Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion wie z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) beschrieben.
1Bewegung eines Körpers, auf den eine zur Auslenkung entgegengesetzt gerichtete und betraglich proportionale Rückstellkraft wirkt
Die Animation in Abb. 1 zeigt folgende Situation:
•Wir betrachten einen schwingenden Körper, dessen Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) beschrieben wird.
•Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper folgt dem linearen Kraftgesetz, hat also die Form \({F_{{\rm{rück}}}}(x) = - k \cdot x\).
Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{rück}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - k \cdot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Masse \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Die Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) des Körpers muss diese Gleichung \((*)\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) erfüllen. Aus der Differentialrechnung weiß man nun, dass die zweite Ableitung der Sinusfunktion die "Minus-Sinusfunktion" ist. So findet man leicht, dass z.B. die Zeit-Orts-Funktion \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right)\) die Gleichung \((*)\) erfüllt: Setzt man nämlich\[x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right) \Rightarrow \dot x(t) = \sqrt {\frac{k}{m}} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right) \Rightarrow \ddot x(t) = - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right)\]in Gleichung \((*)\) ein, so erhält man\[ - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right) = - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right)\]eine stets wahre Aussage. Somit ist \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right)\) eine Lösung der Gleichung \((*)\) und damit eine Zeit-Orts-Funktion des schwingenden Körpers.
Aus diesen Überlegungen sieht man auch, dass es zwischen der Konstanten \(k\), der Masse \(m\) und der Kreisfrequenz \(\omega\) bzw. der Schwingungsdauer \(T\) Zusammenhänge gibt: Es gilt\[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \]und wegen \(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f\) bzw. \(\omega = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\)\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \]sowie\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]
Bemerkungen
•In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(x(t)\) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot x(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Schließlich ist die Differentialgleichung homogen, da in der Gleichung \((*)\) kein Summand ohne die Funktion \(x(t)\) oder eine ihrer Ableitungen auftaucht.
•Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und zeigen meistens nur, dass eine angegebene Funktion eine Differentialgleichung (und ihre Anfangsbedingungen) erfüllt.
Zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung wird im Allgemeinen die Sinusfunktion verwendet. In der Form \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) stellt die Sinusfunktion nur einen Spezialfall dar. Hierbei hat die Schwingung zur Zeit \({t = 0}\) die Auslenkung (Elongation) null und beginnt in die positive \(y\)-Richtung zu schwingen.
Will man die harmonische Schwingung allgemeiner beschreiben, so wählt man die Funktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi_0 } \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t + \varphi_0 } \right)\).
Frequenz; \({\left[ f \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Hz}}}\)
Wichtige Beziehungen
\[f = \frac{1}{T}\]
\[\omega = 2\pi \cdot f\]
Im Weiteren soll nun gezeigt werden, wie sich der Graph der Grundfunktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) mit \(\hat y = 1{,}0\,\rm{cm}\), \(T = 6{,}3\,{\rm{s}}\) und \({\varphi_0 = 0}\) verändert, wenn man die Amplitude \({\hat y}\), die Kreisfrequenz \(\omega \) oder die Phasenverschiebung \(\varphi_0 \) variiert.
Änderung der Amplitude
Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.
Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Amplitude
ŷ
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
1Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Amplitude
Änderung der Kreisfrequenz
Der Graph der Grundfunktion wird in \(x\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.
Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Kreisfrequenz
ω
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
2Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Kreisfrequenz
Änderung der Phasenverschiebung
Der Graph der Grundfunktion wird in \(x\)-Richtung nach rechts oder links verschoben.
Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Phasenverschiebung
φo
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
3Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Phasenverschiebung
Änderung von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung
Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht und in \(x\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht und nach rechts oder links verschoben.
Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Amplitude
ŷ
Kreisfrequenz
ω
Phasenverschiebung
φo
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
4Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung
Anmerkung: Die letzten beiden Animationen zeigen insbesondere, dass \(\sin \left( {\omega \cdot t + \frac{1}{2}\pi } \right)\) gleich \(\cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) ist
Aufgaben
a) Skizziere die Funktion \(y(t) = 3\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{{0,5}}{s} \cdot t - \frac{\pi }{2}} \right)\)
b) Skizziere die Funktion \(y(t) = -2\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{2}{s} \cdot t + \frac{\pi }{2}} \right)\)
c) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:
z.B.
\[y(t) = 1,5\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{3}{{\rm{s}}} \cdot t + \pi } \right)\]
oder
\[y(t) = - 1,5\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{3}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]
d) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:
z.B.
\[y(t) = 2,5\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{{0,5}}{{\rm{s}}} \cdot t + \frac{\pi }{3}} \right)\]
•Ein Federpendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad {\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]
•Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}\).
1Bewegung eines Federpendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind
Ein Federpendel besteht aus einem Pendelkörper, der über eine Feder horizontal befestigt ist. Der Pendelkörper wird ein Stück aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.
Im Folgenden werden wir die Bewegung des Federpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:
•Die Bewegung des Pendelkörpers und der Feder verläuft reibungsfrei.
•Die Masse der Feder wird vernachlässigt.
•Der Betrag der Federkraft ist proportional zur Ausdehnung der Feder.
1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems
Wir wählen eine horizontales Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Federpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). In diesem Koordinatensystem gilt für die Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit\[a = \ddot x(t) \quad (1)\]Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist.
2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)
Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirkt auf den Pendelkörper nur eine Kraft: Die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\). Wir erhalten also \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{F}} \quad(2)\]
3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)
Da die Masse der Feder vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.
4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung
Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{F}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).
Die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) ist stets gegen die Position \(x\) gerichtet: Ist die Position \(x\) positiv, so wirkt die Federkraft gegen die Orientierung des Koordinatensystems; ist die Position negativ, so wirkt die Federkraft mit der Orientierung des Koordinatensystems (vgl. Animation). Es gilt also\[F_{\rm{F}} = - D \cdot x\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{F}} = -D \cdot x(t) \quad(3)\]
Setzen wir \((3)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{F}}}{m}\underbrace{=}_{(3)} = \frac{-D \cdot x(t)}{m} = -\frac{D}{m} \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Federpendels.
5. Angeben der Anfangsbedingungen
Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(x_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\).
6. Lösen der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(x(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des Federpendels vollständig. Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir Herleitung einblenden lassen.
Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(x(t)\), deren zweite Ableitung nach der Zeit \(\ddot x(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(x(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(x(0)=x_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega_0\) und \(\hat x\) bestimmen.
Hinweis: Wir benutzen für ungedämpfte Schwingungen für die Kreisfrequenz die Bezeichnung \(\omega_0\) mit dem Index \(_0\).
Zur Bestimmung von \(\omega_0\) bilden wir zuerst die 1. Ableitung nach der Zeit\[\dot x(t) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \sin \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und dann die 2. Ableitung nach der Zeit\[\ddot x(t) = - \hat x \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und setzen die Funktion und die 2. Ableitung in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat x \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) + \frac{{D}}{m} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega_0^2} - \frac{{D}}{m}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega_0^2} - \frac{{D}}{m} = 0 \Rightarrow \omega_0 = \sqrt {\frac{{D}}{m}} }\]
Zur Bestimmung von \(\hat x\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(x(0) = {x_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten\[x(0) = {x_0} \Rightarrow \hat x \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {x_0} \Rightarrow \hat x = {x_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot x(0) = 0\) muss erfüllt sein. Dies ist wegen\[v(0)=\dot x(0) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]ebenfalls der Fall.
Bewegung des Federpendels
Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\) wird die Bewegung eines Federpendels mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad {\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]Das Federpendel schwingt somit harmonisch.
Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{D}}{m}} }} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{{D}}} \]
Die Animation in Abb. 2 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ort \(x\), Geschwindigkeit \(v\), Beschleunigung \(a\), Federkraft \(F_{\rm{F}}\), kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\) und Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) eines Federpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern \(D\), \(m\) und \(x_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.
D
m
xo
2Graphen von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Federkraft, kinetischer und Spannenergie eines Federpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern
•Ein Feder-Schwere-Pendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad{\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]
•Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}\).
1Bewegung eines Feder-Schwere-Pendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind
Ein Feder-Schwere-Pendel besteht aus einem Pendelkörper, der über eine Feder an einer Befestigung vertikal aufgehängt ist. Der Pendelkörper wird ein Stück aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.
Im Folgenden werden wir die Bewegung des Feder-Schwere-Pendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:
•Die Bewegung des Pendelkörpers und der Feder verläuft reibungsfrei.
•Die Masse der Feder wird vernachlässigt.
•Der Betrag der Federkraft ist proportional zur Ausdehnung der Feder.
1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems
Wir wählen eine vertikales Koordinatensystem (\(y\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Feder-Schwere-Pendels liegt und das nach oben orientiert ist (vgl. Animation). In diesem Koordinatensystem gilt für die Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit\[a = \ddot y(t) \quad (1)\] Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist.
2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)
Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf den Pendelkörper nur zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\). Wir erhalten also \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{G}} + F_{\rm{F}} \quad(2)\]
3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)
Da die Masse der Feder vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.
4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung
Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot y(t) = \frac{F_{\rm{G}}+F_{\rm{F}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).
Schritt 1
Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) ist stets gegen die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet; es gilt also\[F_{\rm{G}} = - m \cdot g \quad (3)\]
Schritt 2
2Bewegung eines Feder-Schwere-Pendels und insbesondere die Größen, die zur Beschreibung der Federkraft wichtig sind
Wir stellen die Details zur Bestimmung der Federkraft beim Feder-Schwere-Pendel in der Animation in Abb. 2 genauer dar.
Wir hängen an die unbelastete Feder mit der Federkonstante \(D\) den Körper mit der Masse \(m\), auf den die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) wirkt. Dadurch dehnt sich die Feder so weit aus, bis die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) die Gewichtskraft kompensiert und Kräftegleichgewicht herrscht. Der Pendelkörper befindet sich nun in der Ruhelage \(y=0\), die Feder ist um die Strecke \(s_0\) ausgedehnt. In dieser Position gilt\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{F}},{{\rm{s}}_{\rm{0}}}}} &=& - {F_{\rm{G}}}\\D \cdot {s_0} &=& -( - m \cdot g) = m \cdot g\quad (4)\end{eqnarray}\]Wird der Pendelkörper aus der Ruhelage auf die Position \(y\) ausgelenkt, so ist die Feder um die Strecke \(s=s_0-y\) ausgedehnt (Beachte, dass bei \(y<0\) dann \(s=s_0-y>s_0\) ist). Bei einer Auslenkung des Pendelkörpers auf eine Position \(y\) gilt somit für die (stets positiv orientierte) Federkraft \(F_{\rm{F}}\)\[F_{\rm{F}} = D \cdot \left( {{s_0} - y} \right)\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(y\) allgemeiner \(y(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{F}} = D \cdot \left( {{s_0} - y(t)} \right) \quad(5)\]
Setzen wir \((3)\), \((5)\) und \((4)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot y(t) = \frac{{{F_{\rm{G}}} + {F_{\rm{F}}}}}{m}\underbrace{=}_{(3),(5)}\frac{{ - m \cdot g + D \cdot \left( {{s_0} - y(t)} \right)}}{m} = \frac{{ - m \cdot g + D \cdot {s_0} - D \cdot y(t)}}{m}\underbrace{=}_{(4)}\frac{{ - m \cdot g + m \cdot g - D \cdot y(t)}}{m} = - \frac{D}{m} \cdot y(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot y(t) + \frac{D}{m} \cdot y(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Feder-Schwere-Pendels.
5. Angeben der Anfangsbedingungen
Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(y_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation in Abb. 1). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(y(0)=y_0\) und \(\dot y(0) = v(0)= 0\).
6. Lösen der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(y(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(y(0)=y_0\) und \(\dot y(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des Feder-Schwere-Pendels vollständig. Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir Herleitung einblenden lassen.
Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(y(t)\), deren zweite Ableitung nach der Zeit \(\ddot y(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(y(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(y(0)=y_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega_0\) und \(\hat y\) bestimmen.
Hinweis: Wir benutzen für ungedämpfte Schwingungen für die Kreisfrequenz die Bezeichnung \(\omega_0\) mit dem Index \(_0\).
Zur Bestimmung von \(\omega_0\) bilden wir zuerst die 1. Ableitung nach der Zeit\[\dot y(t) = - \hat y \cdot \omega_0 \cdot \sin \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und dann die 2. Ableitung nach der Zeit\[\ddot y(t) = - \hat y \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und setzen die Funktion und die 2. Ableitung in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat y \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) + \frac{{D}}{m} \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat y \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega_0^2} - \frac{{D}}{m}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega_0^2} - \frac{{D}}{m} = 0 \Rightarrow \omega_0 = \sqrt {\frac{{D}}{m}} }\]
Zur Bestimmung von \(\hat y\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(y(0) = {y_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten\[y(0) = {y_0} \Rightarrow \hat y \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {y_0} \Rightarrow \hat y = {y_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot y(0) = 0\) muss erfüllt sein. Dies ist wegen\[v(0)=\dot y(0) = - \hat y \cdot \omega_0 \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]ebenfalls der Fall.
Bewegung des Feder-Schwere-Pendels
Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(y(0) = {y_0}\) und \(v(0)=\dot y(0) = 0\) wird die Bewegung eines Feder-Schwere-Pendels mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad{\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]Das Feder-Schwere-Pendel schwingt somit harmonisch.
Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{D}}{m}} }} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{{D}}} \]
Die Animation in Abb. 3 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ort \(x\), Geschwindigkeit \(v\), Beschleunigung \(a\), Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\), Federkraft \(F_{\rm{F}}\), resultierender Kraft \(F_{\rm{res}}\), kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\), potentieller Energie \(E_{\rm{pot}}\) und Spannenergie \(E_{\rm{Sp}}\) eines Feder-Schwere-Pendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern \(D\), \(m\) und \(x_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.
D
m
yo
3Graphen von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Gewichts-, Feder- und Gesamtkraft sowie kinetischer, potentieller und Spannenergie (bezogen auf die Ruhelage) eines Feder-Schwere-Pendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern
Hinweis
Man unterliegt leicht der Vorstellung, dass ein Feder-Schwere-Pendel wegen der zusätzlichen Gewichtskraft auf den Pendelkörper anders schwingt als ein baugleiches, aber horizontal schwingendes Federpendel. Dass diese Vorstellung falsch ist haben wir oben gezeigt.
•Ein Fadenpendel mit einem Faden der Länge \(l\) schwingt bei kleinen Auslenkungen harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{g}}{l}} \cdot t} \right)\]
•Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \); sie ist insbesondere unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.
1Bewegung eines Fadenpendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind
Ein Fadenpendel (oder auch Mathematisches Pendel) besteht aus einem Pendelkörper, der mit einem Faden an einer Befestigung aufgehängt ist. Der Pendelkörper wird anfangs ein kleines Stück (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels) aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.
Im Folgenden werden wir die Bewegung des Fadenpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:
•Die Bewegung des Pendelkörpers und des Fadens verläuft reibungsfrei.
•Die Masse des Fadens wird vernachlässigt.
•Der Pendelkörper wird nur ein kleines Stück ausgelenkt.
1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems
Wir wählen eine gebogenes Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Fadenpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist. Damit gilt \(a = \ddot x(t)\;(1)\).
2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)
Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf den Pendelkörper nur zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Kraft des Fadens. Der Faden kompensiert dabei die Komponente der Gewichtskraft, die orthogonal zur der Bahn des Pendelkörpers steht. Die andere Komponente der Gewichtskraft, die tangential zur Bahn des Pendelkörpers steht, beschleunigt den Pendelkörper in Bahnrichtung; diese Komponente bezeichnen wir mit \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels). \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{G,tan}} \quad(2)\]
3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)
Da die Masse des Fadens vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.
4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung
Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{G,tan}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).
Schritt 1
Abb.
2
Detailskizze zur Bestimmung der Tangentialkomponente der Gewichtskraft
In der Detailskizze in Abb. 2 kann man folgendes erkennen:
Der Winkel mit der Weite \(\varphi\) zwischen der Senkrechten (gestrichelt) und dem Faden findet sich in dem kleinen Dreieck, gebildet aus Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\), Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) und gestrichelter Strecke wieder.
Dieses Dreieck ist rechtwinklig mit der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) als Hypotenuse und der Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) als Gegenkathete des Winkels. Damit ergibt sich nach dem Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck\[\sin \left( \varphi \right) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{G,tan}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( \varphi \right)\]Weiter ist die Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) stets gegen die Position \(x\) gerichtet: Ist die Position \(x\) positiv, so wirkt die Tangentialkomponente gegen die Orientierung des Koordinatensystems; ist die Position negativ, so wirkt die Tangentialkomponente mit der Orientierung des Koordinatensystems (vgl. Animation). Es gilt also\[ F_{\rm{G,tan}} = - m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi \right) \quad (3)\]
Schritt 2
Für kleine Winkel ist die im Bogenmaß gemessene Winkelweite \(\varphi\) fast gleich mit dem Sinus \(\sin \left( \varphi \right)\) des Winkels. Es gilt also\[\sin \left( \varphi \right) \approx \varphi \quad (4)\]
Schritt 3
Abb.
3
Detailskizze zur Umrechnung zwischen Winkelweite und Koordinate
Die Detailskizze in Abb. 3 zeigt den aus der Senkrechten (gestrichelt), dem Faden der Länge \(l\) und der \(x\)-Koordinate gebildeten Kreisausschnitt. Für diesen Kreisausschnitt gilt (im Bogenmaß) das Verhältnis\[\frac{{{\rm{Teilwinkel}}}}{{{\rm{Vollwinkel}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{Kreisbogen}}}}{{{\rm{Kreisumfang}}}} \Leftrightarrow \frac{\varphi }{{2 \cdot \pi }} = \frac{x}{{2 \cdot \pi \cdot l}} \Leftrightarrow \varphi = \frac{x}{l}\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[\varphi = \frac{x(t)}{l} \quad(5)\]
Setzen wir \((3)\), \((4)\) und \((5)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{m}\underbrace = _{(3)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi \right)}}{m}\underbrace = _{(4)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \varphi }}{m}\underbrace = _{(5)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \frac{{x(t)}}{l}}}{m} = - \frac{g}{l} \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \frac{g}{l} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Diese Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Fadenpendels.
5. Angeben der Anfangsbedingungen
Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(x_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\).
6. Lösen der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(x(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des Fadenpendels vollständig. Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir Herleitung einblenden lassen.
Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(x(t)\), deren zweite Ableitung \(\ddot x(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(x(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(x(0)=x_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega_0\) und \(\hat x\) bestimmen.
Zur Bestimmung von \(\omega_0\) bilden wir die 2. Ableitung der Funktion\[\ddot x(t) = - \hat x \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und setzen diese und \(x(t)\) in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat x \cdot \omega_0^2 \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right) + \frac{g}{l} \cdot \hat x \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right) &=& 0\\ - \hat x \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right) \cdot \left[ \omega_0^2 - \frac{g}{l} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[\omega_0^2 - \frac{g}{l} = 0 \Rightarrow \omega_0 = \sqrt {\frac{g}{l}}\]
Zur Bestimmung von \(\hat x\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(x(0) = {x_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten\[x(0) = {x_0} \Rightarrow \hat x \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {x_0} \Rightarrow \hat x = {x_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot x(0) = 0\) muss erfüllt sein. Hier sehen wir mit \(v(t)=\dot x(t) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \sin \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\), dass diese bereits erfüllt ist:\[v(0)=\dot x(0) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]
Bewegung des Fadenpendels
Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\) wird die Bewegung eines Fadenpendels mit einem Faden der Länge \(l\) für kleine Auslenkungen beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{g}}{l}} \cdot t} \right)\]Das Fadenpendel schwingt somit für kleine Auslenkungen harmonisch.
Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{g}{l}} }} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \]Die Schwingungsdauer ist insbesondere unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.
Die Animation in Abb. 2 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ort \(x\), Geschwindigkeit \(v\), Beschleunigung \(a\), Tangentialkomponente der Gewichtskraft \(F_{\rm{G,tan}}\), kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\) und potentieller Energie \(E_{\rm{pot}}\) eines Fadenpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern \(m\), \(g\), \(l\) und \(x_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.
m
g
l
xo
2Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Tangentialkomponente der Gewichtskraft, kinetische und potentielle Energie (bezogen auf die Ruhelage) eines Fadenpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern
Hinweise
•Häufig wird fälschlicherweise behauptet, dass die beschleunigende Kraft beim Fadenpendel die vektorielle Summe aus Gewichtskraft und Fadenkraft sei. Hierbei wird übersehen, dass der Faden nicht nur die Komponete der Gewichtskraft orthogonal zur Bahn aufbringen muss, sondern zusätzlich noch die Zentripetalkraft zum Erzwingen der Kreisbahn. Somit ist z.B. beim Durchgang durch die Ruhelage wegen der (dort maximal) aufzubringenden Zentripetalkraft der Betrag der Fadenkraft wesentlich größer als der Betrag der Gewichtskraft. Die vektorielle Summe aus Fadenkraft und Gewichtskraft würde nicht verschwinden, sondern zum Drehpunkt hin nach oben zeigen. Dies lässt sich auch experimentell nachweisen.
•Nur für kleine Winkel kann der Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß ersetzt werden. Das Fadenpendel schwingt daher nur für kleine Auslenkwinkel harmonisch.
Bei der mechanischen Schwingung ist ein periodisches Hin- und Herpendeln zwischen den zwei Energieformen "kinetische Energie" und "potentielle Energie" zu beobachten.
Speziell beim ungedämpften Federpendel gilt:
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}}} + {E_{{\rm{kin}}}}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v{(t)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot y{(t)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\hat y \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {\omega ^2}} \right) \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \underbrace {\left( {\cos {{\left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)}^2} + \sin {{\left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)}^2}} \right)}_1\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2}\end{eqnarray}\]
Die Gesamtenergie der Schwingung ist also zeitlich konstant.
Hinweis:Das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen ist ein allgemeines Kennzeichen einer Schwingung. So tritt z.B. bei den elektromagnetischen Schwingungen ein Hin- und Herpendeln zwischen "elektrischer Energie" und "magnetischer Energie" auf.
1Bewegung eines gedämpften Federpendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind
Ein gedämpftes Federpendel besteht aus einem Pendelkörper, der über eine Feder horizontal befestigt ist und sich z.B. in einem Becken mit Wasser befindet. Der Pendelkörper wird ein Stück aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.
Im Folgenden werden wir die Bewegung des gedämpften Federpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:
•Die Bewegung der Feder verläuft reibungsfrei (die des Pendelkörpers allerdings nicht).
•Die Masse der Feder wird vernachlässigt.
•Der Betrag der Federkraft ist proportional zur Ausdehnung der Feder.
•Auf den Pendelkörper wirkt eine viskose Reibungskraft, d.h. der Betrag der Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Masse.
1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems
Wir wählen eine horizontales Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Federpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist. Damit gilt\[a = \ddot x(t)\quad {\rm{und}} \quad v = \dot x(t) \quad (1)\]
2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)
Auf den Pendelkörper wirken zwei Kräfte: Die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) und die viskose Reibungskraft \(\vec F_{\rm{VR}}\). Wir erhalten also \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{F}}+F_{\rm{VR}} \quad(2)\]
3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)
Da die Masse der Feder vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.
4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung
Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{F}}+F_{\rm{VR}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).
Die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) ist stets gegen die Position \(x\) gerichtet: Ist die Position \(x\) positiv, so wirkt die Federkraft gegen die Orientierung des Koordinatensystems; ist die Position negativ, so wirkt die Federkraft mit der Orientierung des Koordinatensystems (vgl. Animation). Es gilt also\[F_{\rm{F}} = - D \cdot x\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{F}} = -D \cdot x(t) \quad(3)\]
Die viskose Reibungskraft \(\vec F_{\rm{VR}}\) ist stets gegen die Geschwindigkeit \(v\) gerichtet: Ist die Geschwindigkeit \(x\) positiv, so wirkt die Reibungskraft gegen die Orientierung des Koordinatensystems; ist die Geschwindigkeit negativ, so wirkt die Reibungskraft mit der Orientierung des Koordinatensystems (vgl. Animation). Es gilt also\[F_{\rm{VR}} = - k \cdot v\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(v\) allgemeiner \(v(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{VR}} = -k \cdot v(t) \underbrace{=}_{(1)} -k \cdot \dot x(t) \quad(4)\]
Setzen wir \((3)\) und \((4)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{F}}+F_{\rm{VR}}}{m}\underbrace{=}_{(3),(4)} = \frac{-D \cdot x(t)-k \cdot \dot x(t)}{m} = -\frac{D}{m} \cdot x(t) -\frac{k}{m} \cdot \dot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) +\frac{k}{m} \cdot \dot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des gedämpften Federpendels.
5. Angeben der Anfangsbedingungen
Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(x_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\).
6. Lösen der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(x(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des Federpendels vollständig.
Die Theorie der Differentialgleichungen besagt nun, dass es für verschiedene Werte der Parameter \(m\), \(D\) und \(k\) verschiedene Lösungsfunktionen gibt. Diesen Nachweis kannst du in der entsprechenden Erarbeitungsaufgabe nachvollziehen.
Wir setzen \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und erhalten damit drei Fälle:
Die Theorie der Differentialgleichungen liefert im Fall \(\frac{D}{m} > \delta^2\) bei den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0) = 0\) die Lösung\[x(t) = {x_0} \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{\delta }{\omega } \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)\]mit \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und \({\omega} = \sqrt {\frac{D}{m} - \delta^2} \).
In den meisten Fällen ist aber \(\delta\) klein gegen \(\omega\), so dass der Summand \({\frac{\delta }{\omega } \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)}\) in der Klammer vernachlässigt werden kann. Dann ergibt sich\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]mit \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und \({\omega} = \sqrt {\frac{D}{m} - \delta^2} \).
Diskussion
Die Dämpfung ist umso größer, je größer der Proportionalitätsfaktor für die Reibung ist. Mit zunehmender Masse des Gleiters wird die Dämpfung geringer.
Die Schwingungsfrequenz geht für \(k \to 0\) in die Schwingungsfrequenz der ungedämpften Schwingung über. Ist die Dämpfung aber nicht mehr gering und damit evtl. zu vernachlässigen, so erkennt man, dass die Schwingungsfrequenz vom Faktor \(k\) und der Masse \(m\) abhängt. Die Schwingungsdauer wird sich also bei merklicher Dämpfung erhöhen.
Die Theorie der Differentialgleichungen liefert im Fall \(\frac{D}{m} < \delta^2\) bei den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0) = 0\) die Lösung\[x(t) = {x_0} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }}\left( {\left( {\lambda + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda \cdot t}} + \left( {\lambda - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]mit \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und \(\lambda = \sqrt {{\delta ^2} - \frac{D}{m}}\).
Die Dämpfung ist so stark, dass das schwingungsfähige System sehr langsam in die Nulllage zurückgeht. In der Skizze ist zum Kriechfall aus Vergleichsgründen noch der aperiodische Grenzfall eingezeichnet.
Anwendung
Bei der Tankanzeige sind schnelle Änderungen in der Anzeige unerwünscht. Sehr starke Dämpfung, so dass der Zeiger in seine Endstellung "kriecht".
Die folgende Simulation zeigt dir die Graphen von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Federkraft, viskoser Reibungskraft, Gesamtkraft, kinetischer, potentieller und innerer Energie. Du kannst zusätzlich die Größen \(D\), \(m\), \(k\) und \(x_0\) in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.
