Mechanische Schwingungen

• Bei einer periodischen Bewegung kehrt ein Körper nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder in den gleichen Bewegungszustand zurück.
• Periodische Bewegungen um eine stabile Gleichgewichtslage herum, nennt man Schwingungen.

• Bei einer periodischen Bewegung hat ein Körper nach einer Periodendauer \(T\) wieder den gleichen Bewegungszustand.
• Für die Frequenz einer periodischen Bewegung gilt \(f=\frac{1}{T}\).
• Die Amplitude einer Schwingung ist der Betrag des Maximalwerts der Auslenkung aus der Ruhelage.

• Harmonische Schwingungen können mit Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden.
• Bei harmonischen Schwingungen ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage (lineares Kraftgesetz).
• Das Zeit-Orts-Gesetz lautet \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) 

Erfährt ein schwingender Körper eine rücktreibende Kraft, die entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage ist (lineares Kraftgesetz, kurz \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\)), so wird seine Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion wie z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben.

• Ein Federpendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(x(t) = \hat{x} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\; {\rm{mit}}\;{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \)
• Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}\).

•Ein Feder-Schwere-Pendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = \hat{y} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad{\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]

•Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}\).

• Ein Fadenpendel mit einem Faden der Länge \(l\) schwingt bei kleinen Auslenkungen harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(x(t) = \hat{x} \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right)\) mit \(\omega_0=\sqrt {\frac{g}{l}}\)
• Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \); sie ist insbesondere unabhängig von der Amplitude \(\hat{x} \) der Schwingung und der Masse \(m\) des Pendelkörpers.

• Ein allgemeines Kennzeichen für mechanische Schwingungen ist das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen.
• Bei ungedämpften mechanischen Schwingungen ist die Summe der Energien, die in den beiden Energieformen vorliegen, zeitlich konstant.

• Beim gedämpften Pendel wirkt zusätzlich zur Federkraft auch eine Reibungskraft auf den Pendelkörper.
• Für verschiedene Werte von Pendelmasse \(m\), Federkonstante \(D\) und Dämpfungskonstante \(k\) hat die Bewegungsgleichung unterschiedliche Lösungen
• Man unterscheidet drei Fälle: Schwingfall, aperiodischer Grenzfall und Kriechfall