Mechanik

Die Animation in Abb. 1 zeigt folgende Situation:

•Wir betrachten einen schwingenden Körper, dessen Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) beschrieben wird.

•Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper folgt dem linearen Kraftgesetz, hat also die Form \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{rück}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - k \cdot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Masse \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Die Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) des Körpers muss diese Gleichung \((*)\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) erfüllen. Aus der Differentialrechnung weiß man nun, dass die zweite Ableitung der Sinusfunktion die "Minus-Sinusfunktion" ist. So findet man leicht, dass z.B. die Zeit-Orts-Funktion \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) die Gleichung \((*)\) erfüllt: Setzt man nämlich\[x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) \Rightarrow \dot x(t) = \sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) \Rightarrow \ddot x(t) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]in Gleichung \((*)\) ein, so erhält man\[ - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]eine stets wahre Aussage. Somit ist \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) eine Lösung der Gleichung \((*)\) und damit eine Zeit-Orts-Funktion des schwingenden Körpers.

Aus diesen Überlegungen sieht man auch, dass es zwischen der Konstanten \(k\), der Masse \(m\) und der Kreisfrequenz \(\omega\) bzw. der Schwingungsdauer \(T\) Zusammenhänge gibt: Es gilt\[\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}} \]und wegen \(\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\) bzw. \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\)\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \]sowie\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]

Bemerkungen

•In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(x(t)\) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot x(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Schließlich ist die Differentialgleichung homogen, da in der Gleichung \((*)\) kein Summand ohne die Funktion \(x(t)\) oder eine ihrer Ableitungen auftaucht.

•Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und zeigen meistens nur, dass eine angegebene Funktion eine Differentialgleichung (und ihre Anfangsbedingungen) erfüllt.

Ein Fadenpendel besteht im Allgemeinen aus einem Pendelkörper, der mit einem Faden an einer Befestigung aufgehängt ist. Der Faden wird so dünn gewählt, dass seine Masse vernachlässigt werden kann. Auch wollen wir davon ausgehen, dass sich das Fadendel ungedämpft, d.h. ohne Reibungsverluste bewegen kann. Der Pendelkörper wird anfangs ein kleines Stück (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels) aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs.

Durch Wählen der Checkbox "Größen" kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.

Im Folgenden werden wir die Bewegung des Fadenpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben.

1. Einführung eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine gebogenes Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt im Ruhepunkt des Fadenpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). Damit gilt \(a = \ddot x(t)\;(1)\).

2. Bestimmung der beschleunigenden Kraft \(F\)

Auf den Pendelkörper wirken zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Kraft des Fadens. Der Faden kompensiert dabei die Komponente der Gewichtskraft, die orthogonal zur der Bahn des Pendelkörpers steht. Die andere Komponente der Gewichtskraft, die tangential zur Bahn des Pendelkörpers steht, beschleunigt den Pendelkörper in Bahnrichtung; diese Komponente bezeichnen wir mit \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels).

Wie in der Animation zu erkennen ist, ist die Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) entgegengesetzt gerichtet zur Auslenkung \(x\). Wir erhalten also \(F=-F_{\rm{G,tan}}\;(2)\).

3. Bestimmung der beschleunigten Masse \(m\)

Da die Masse des Fadens vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers (vgl. Animation). Sie bleibt während der Schwingung konstant.

4. Ausfüllen der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot x(t) = \frac{-F_{\rm{G,tan}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Schritt 1

Abb.

2

Detailskizze zur Bestimmung der Tangentialkomponente der Gewichtskraft

In der Detailskizze in Abb. 2 kann man folgendes erkennen:

Der Winkel mit der Weite \(\varphi\) zwischen der Senkrechten (gestrichelt) und dem Faden findet sich in dem kleinen Dreieck, gebildet aus Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\), Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) und gestrichelter Strecke wieder.

Dieses Dreieck ist rechtwinklig mit der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) als Hypotenuse und der Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) als Gegenkathete des Winkels. Damit ergibt sich nach dem Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck\[\sin \left( \varphi  \right) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{G,tan}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]und mit \({F_{\rm{G}}}=m \cdot g\)\[ F_{\rm{G,tan}}= m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi  \right) \quad (3)\]

Schritt 2

Für kleine Winkel ist die im Bogenmaß gemessene Winkelweite \(\varphi\) fast gleich mit dem Sinus \(\sin \left( \varphi  \right)\) des Winkels. Es gilt also\[\sin \left( \varphi  \right) \approx \varphi \quad (4)\]

Schritt 3

Abb.

3

Detailskizze zur Umrechnung zwischen Winkelweite und Koordinate

Die Detailskizze in Abb. 3 zeigt den aus der Senkrechten (gestrichelt), dem Faden der Länge \(l\) und der \(x\)-Koordinate gebildeten Kreisausschnitt. Für diesen Kreisausschnitt gilt (im Bogenmaß) das Verhältnis\[\frac{{{\rm{Teilwinkel}}}}{{{\rm{Vollwinkel}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{Kreisbogen}}}}{{{\rm{Kreisumfang}}}} \Leftrightarrow \frac{\varphi }{{2 \cdot \pi }} = \frac{x}{{2 \cdot \pi \cdot l}} \Leftrightarrow \varphi = \frac{x}{l}\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[\varphi = \frac{x(t)}{l} \quad(5)\]

Setzen wir \((3)\), \((4)\) und \((5)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{{ - {F_{{\rm{G}},{\rm{tan}}}}}}{m}\underbrace  = _{(3)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}{m}\underbrace  = _{(4)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \varphi }}{m}\underbrace  = _{(5)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \frac{{x(t)}}{l}}}{m} =  - \frac{g}{l} \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \frac{g}{l} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Diese Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Fadenpendels mit den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\).

5. Lösen der Bewegungsgleichung

Genau wie die Bewegungsgleichung eines Federpendels wird Gleichung \((***)\) allgemein durch eine Funktion der Form\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]gelöst. Bestimmen wir die 2. Ableitung \(\ddot x(t) = - \hat x \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) und setzen \(x(t)\) und \(\ddot x(t)\) in Gleichung \((***)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat x \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{{g}}{l} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega ^2} - \frac{{g}}{l}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega ^2} - \frac{{g}}{l} = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{g}}{l}} }\]Weiter ergibt sich\[x(0) = {x_0} \Rightarrow \hat x \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {x_0} \Rightarrow \hat x = {x_0}\]und mit \(v(t)=\dot x(t) = - \hat x \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\)\[v(0)=\dot x(0) = - \hat x \cdot \omega \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]Damit wird die Bewegung des Fadenpendels beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{g}}{l}} \cdot t} \right)\]Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{g}}{l}} }} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \]

Ein Körper mit der Masse \(m\) befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante \(D\); Körper und Feder können sich nur in horizontaler Richtung bewegen. Da es sich somit um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob die Größen in die positive oder die negative Ortsrichtung orientiert sind.

Weiter wollen wir die Reibungskräfte auf Körper und Feder vernachlässigen. Eine solche Anordnung bezeichnet man kurz als (horizontales) ungedämpftes Federpendel.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach rechts gerichtete \(x\)-Ortsache mit dem Ursprung in der Ruhelage des Körpers. Lenkt man den Körper aus der Ruhelage bei \(x=0\) auf eine Position \(x(0\,\rm{s}) = {x_0} > 0\) aus, hält ihn dort fest (\(v(0\,\rm{s}) = 0\)) und lässt ihn dann los, so führt er eine periodische Bewegung aus (vgl. Abb. 1).