Mechanische Schwingungen

Mechanik

Mechanische Schwingungen

  • Wovon hängt eigentlich die Schwingungsdauer eines Pendels ab?
  • Geht eine Standuhr auf dem Mond genau?
  • Wie misst man im Weltall die Masse der Astronauten?
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1 Verschiedene periodische Bewegungen und Schwingungen

Die Animationen in Abb. 1 zeigen sechs verschiedene Bewegungen. Unabhängig von den Bewegungsrichtungen haben die Bewegungen Gemeinsamenkeiten, aber auch Unterschiede. Findest du sie?

In den oben dargestellten Animationen sind Vorgänge dargestellt, die sich weitgehend auf die gleiche Weise wiederholen. Man sagt zu diesen Vorgängen auch periodische Vorgänge oder periodische Bewegungen. Wir beschäftigen uns im Folgenden mit solchen periodischen Bewegungen.

Definition der periodischen Bewegung

Die Bewegung eines Körpers heißt periodische Bewegung (griech. περίοδος (períodos): das Herumgehen), wenn

der Körper nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt.

Die Periodendauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Periodendauer ist \(T\), für die Einheit der Periodendauer gilt \(\left[ T \right] = 1\,{\rm{s}}\).

Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Periodendauer \(T = 1\,{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1\,{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Periodendauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{T}} \right] = \frac{1}{{1\,{\rm{s}}}} = 1\,{\rm{Hz}}\) (Hz: HERTZ, nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).

Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Frequenz \(f = 1\,{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\,\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Verständnisaufgabe
 

Die Periodendauer \(T\) bei den im Bild aufgezeichneten Herzschlägen sei \(T=0{,}75\,\rm{s}\).

Berechne daraus die Herzfrequenz in \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}\).

Lösung

\[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{{0{,}75\,{\rm{s}}}} = 1{,}33\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 1{,}33 \cdot 60\,\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}} = 80\,\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}\]

Eine besondere Form von periodischen Bewegungen sind die sogenannten Schwingungen.

Definition der Schwingung

Die Bewegung eines Körpers heißt Schwingung, wenn

der Körper Teil eines physikalischen Systems mit einer eindeutigen stabilen Gleichgewichtslage (das ist die Lage, in die das System ohne äußeren Einfluss stets wieder zurückkehrt), der sogenannten Ruhelage oder Nulllage ist,

der Körper eine Periodische Bewegung durch diese Ruhelage vollführt, d.h. nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt (siehe oben).

Ein physikalisches System, das Schwingungen ausführen kann, heißt Oszillator (lat. oscillare: schaukeln). Der Begriff der Ruhelage ist etwas missverständlich, da ein schwingender Körper in der Ruhelage gerade nicht ruht, sondern sich durch diesen Punkt hindurchbewegt. Diejenigen Orte dagegen, an denen der schwingende Körper seine Bewegungsrichtung umkehrt, an denen er somit ruht und die Geschwindigkeit \(v=0\) besitzt, bezeichnet man als Umkehrpunkte.

Üblicherweise vollzieht sich eine Schwingung symmetrisch um die Nullage herum, d.h. es gibt genau zwei Umkehrpunkte, die symmetrisch um die Ruhelage liegen.

Die Schwingungsdauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Schwingungsdauer ist \(T\), für die Einheit der Schwingungsdauer gilt \(\left[ T \right] = 1\,{\rm{s}}\).

Ein Körper schwingt also mit der Schwingungsdauer \(T = 1\,{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1\,{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Schwingungsdauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{P}} \right] = \frac{1}{{1\,{\rm{s}}}} = 1\,{\rm{Hz}}\) (HERTZ nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).

Ein Körper schwingt also mit der Frequenz \(f = 1\,{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\,\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Nach dieser Festlegung wären sowohl das Trampolinspringen als auch der sich ständig wiederholende Herzschlag zwar Periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, weil die Bewegungen nicht symmetrisch um die Ruhelage herum ablaufen. Auch Kreisbewegungen sind zwar periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, da es bei ihnen keine eindeutig festgelegte Ruhelage gibt. Periodische Bewegungen, die nicht symmetrisch um die Ruhelage heraum ablaufen, können aber meistens durch zwei einzelne Schwingungen beschrieben werden, die jeweils nur einen halben Teil der Bewegung abdecken.

Die Begriffe Schwingungsdauer und Frequenz beschreiben zwar recht gut das zeitliche Verhalten eines Oszillators, nicht aber das räumliche. Aus diesem Grund sind weitere Definitionen nötig.

Definition von Elongation und Amplitude einer Schwingung

Die Elongation \(x\) , besser \(x(t)\) (lat. elongare: entfernen, fernhalten) ist der von der Ruhelage aus gemessene Ort des Körpers (zu einem Zeitpunkt \(t\)). Eine Elongation \(x(t)\) ist also der Funktionswert der Zeit-Orts-Funktion zum Zeitpunkt \(t\). Das Formelzeichen für die Elongation ist \(x\), für die Einheit der Elongation gilt \(\left[ x \right] = 1{\rm{m}}\).

Die Skalierung der Elongation wird üblicherweise so gewählt, dass die Ruhelage durch die Elongation \(x=0\) (nicht unbedingt bei \(t=0\)) beschrieben wird. Die sind der Grund dafür, dass man die Ruhelage auch als Nulllage der Schwingung bezeichnet (siehe oben). Bei dieser Skalierung erhält man sowohl positive als auch negative Werte für die Elongation.

Die Amplitude \({\hat x}\) (lat. amplitudo: die Geräumigkeit) ist der Betrag des Maximalwertes der Elongation. Das Formelzeichen für die Amplitude ist \({\hat x}\), für die Einheit der Amplitude gilt \(\left[ {\hat x} \right] = 1{\rm{m}}\).

Die Amplitude ist per Definition immer positiv. Sie ist wegen der Symmetrie der Schwingung um die Ruhelage der (gleich große) Abstand zwischen der Nulllage und den beiden Umkehrpunkten.

Hinweis: Bei vertikalen Schwingungen wie z.B. beim Feder-Schwere-Pendel benutzt man häufig für die Elongation \(y\) bzw. \(y(t)\) und für die Amplitude \({\hat y}\).

Eine nähere Analyse mechanischer Schwingungen zeigt, dass zum Auftreten einer Schwingung stets eine Rückstellkraft \({{\vec F}_{{\rm{Rück}}}}\) notwendig ist, die auf den Gleichgewichtspunkt hin gerichtet ist.

Was man allgemein unter einer Schwingung versteht, wurde oben bereits behandelt. Im Folgenden geht es um eine wichtige Sonderform der Schwingung, nämlich der harmonischen Schwingung, die man etwas salopp auch als Sinusschwingung bezeichnet.

Definition der harmonischen Schwingung

Eine Schwingung heißt harmonische Schwingung, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllt.

Die Bewegung des schwingenden Körpers stimmt mit der Projektion einer Kreisbewegung überein (und kann somit durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion, z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben werden).

Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper ist entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage, kurz \({{ F}_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\). Wir sprechen dabei vom sogenannten linearen Kraftgesetz.

Erfüllt eine Schwingung eine dieser beiden Bedingungen, so erfüllt sie stets auch die andere.

Hinweis: Versuche und Überlegungen, die weiter unten durchgeführt werden, zeigen, dass z.B. das Federpendel oder auch das Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen harmonische Schwingungen ausführen.

Der Einfachheit halber beschreibt man in der Schule meist eine harmonische Schwingung, die beim Phasenwinkel \(\varphi  = 0\) startet. Dies bedeutet, dass in der folgenden Animation der Körper seine Kreisbewegung beim Winkel \(\varphi  = 0\) startet und sich in die mathematisch positive Richtung dreht (Gegenuhrzeigersinn).

Zeit-Orts-Gesetz \[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz\[v(t) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow v(t) = \hat y \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]Zeit-Beschleunigungs-Gesetz\[a(t) = - \hat a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow a(t) = - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

 

Für den allgemeineren Fall (d.h. befindet sich der Körper zur Zeit \(t  = 0\) bei der Kreisbewegung schon bei einem Winkel \(\varphi  \ne 0\) wird die Beschreibung etwas komplizierter. Die Verallgemeinerung kannst du dir hier einblenden lassen.

Mit Hilfe eines Schattenwurfs wird der auf dem Kreis gleichförmig rotierende Punkt auf eine Wand projiziert.

Begründung des Zeit-Orts-Gesetzes

1 Entstehung des Zeit-Orts-Graphen einer harmonischen Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung

Mit Hilfe des Schalters "Projektion" kann man sich die Bewegung des Schattenbildes auf der \(y\)-Achse einprägen. Die größte Auslenkung aus der Nulllage wird mit \(\hat y\) bezeichnet. Wenn du die Entstehung der Zeit Orts-Funktion (\(t\)-\(y\)-Funktion) der projizierten Bewegung betrachten willst, so drücke den Schalter "Projektion und Zeit-Orts-Kurve".

 

Bei den gegebenen Anfangsbedingungen ergibt sich (\(\varphi  = 0\) bei \(t  = 0\); Drehung im Gegenuhrzeigersinn) ergibt sich als Zeit-Orts-Graph eine Sinuskurve. Dies sieht man auch ohne Animation durch die Betrachtung der \(y\)-Komponente \(r_y\) des Radiusvektors im rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel \(\varphi \). Für \(r_y\) gilt\[r_y\left( \varphi \right) = r \cdot \sin \left( \varphi \right) = r \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]Bei der Schwingung bezeichnen wir die Auslenkung in \(y\)-Richtung mit \(y(t)\) und die maximale Auslenkung (welche dem Radius \(r\) der Kreisbahn entspricht) mit \(\hat y\). Somit gilt dann\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

Begründung des Zeit-Geschwindigkeits-Gesetzes

2 Herleitung des Zeit-Geschwindigkeits-Terms einer harmonischen Schwingung durch die Betrachtung einer Komponente des Geschwindigkeitsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung

Begründung des Zeit-Beschleunigungs-Gesetzes

3 Herleitung des Zeit-Beschleunigungs-Terms einer harmonischen Schwingung durch die Betrachtung einer Komponente des Beschleunigungsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung
5 Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Graphen einer harmonischen Schwingung

Die Animation in Abb. 5 zeigt den Zeit-Orts-, den Zeit-Geschwindigkeits- udn den Zeit-Beschleunigungs-Graphen einer harmonischen Schwingung.

Begründung des Linearen Kraftgesetzes

Nun können wir zeigen, dass aus der Eigenschaft einer harmonischen Schwingung als Projektion einer Kreisbewegung die Eigenschaft des linearen Kraftgesetzes gefolgert werden kann. Gilt nämlich wie oben gezeigt\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad (1)\]\[{v_y}(t) = \omega \cdot \hat y  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad (2)\]\[{a_y}(t) =  - {\omega ^2} \cdot \hat y  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad(3)\], so erhält man nach dem 2. NEWTONschen Axiom \(F=m \cdot a\) für die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{rück}}=F_y\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) (und damit für jede Elongation \(y\))\[{F_{{\rm{rück}}}}(t) = m \cdot {a_y}(t)\mathop  = \limits_{(3)}  - m \cdot {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\mathop  = \limits_{(1)}  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]

Das Wichtigste auf einen Blick

Erfährt ein schwingender Körper eine rücktreibende Kraft, die entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage ist (lineares Kraftgesetz, kurz \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\)), so wird seine Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion wie z.B. \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben.

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1 Bewegung eines Körpers, auf den eine zur Auslenkung entgegengesetzt gerichtete und betraglich proportionale Rückstellkraft wirkt

Die Animation in Abb. 1 zeigt folgende Situation:

Wir betrachten einen schwingenden Körper, dessen Bewegung durch eine Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) beschrieben wird.

Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper folgt dem linearen Kraftgesetz, hat also die Form \({F_{{\rm{rück}}}}(x) =  - k \cdot x\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{rück}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - k \cdot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Masse \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Die Zeit-Orts-Funktion \(x(t)\) des Körpers muss diese Gleichung \((*)\) zu jedem Zeitpunkt \(t\) erfüllen. Aus der Differentialrechnung weiß man nun, dass die zweite Ableitung der Sinusfunktion die "Minus-Sinusfunktion" ist. So findet man leicht, dass z.B. die Zeit-Orts-Funktion \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) die Gleichung \((*)\) erfüllt: Setzt man nämlich\[x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) \Rightarrow \dot x(t) = \sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) \Rightarrow \ddot x(t) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]in Gleichung \((*)\) ein, so erhält man\[ - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]eine stets wahre Aussage. Somit ist \(x(t) = \hat x \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) eine Lösung der Gleichung \((*)\) und damit eine Zeit-Orts-Funktion des schwingenden Körpers.

Aus diesen Überlegungen sieht man auch, dass es zwischen der Konstanten \(k\), der Masse \(m\) und der Kreisfrequenz \(\omega\) bzw. der Schwingungsdauer \(T\) Zusammenhänge gibt: Es gilt\[\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}} \]und wegen \(\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\) bzw. \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\)\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \]sowie\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]

Bemerkungen

In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(x(t)\) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot x(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Schließlich ist die Differentialgleichung homogen, da in der Gleichung \((*)\) kein Summand ohne die Funktion \(x(t)\) oder eine ihrer Ableitungen auftaucht.

Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und zeigen meistens nur, dass eine angegebene Funktion eine Differentialgleichung (und ihre Anfangsbedingungen) erfüllt.

Energiebetrachtung bei der Schwingung

Bei der mechanischen Schwingung ist ein periodisches Hin- und Herpendeln zwischen den zwei Energieformen "kinetische Energie" und "potentielle Energie" zu beobachten.
Speziell beim ungedämpften Federpendel gilt:
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}}} + {E_{{\rm{kin}}}}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v{(t)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot y{(t)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\hat y \cdot \omega  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {\omega ^2}} \right) \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \underbrace {\left( {\cos {{\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)}^2} + \sin {{\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)}^2}} \right)}_1\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2}\end{eqnarray}\]
Die Gesamtenergie der Schwingung ist also zeitlich konstant.

Hinweis: Das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen ist ein allgemeines Kennzeichen einer Schwingung. So tritt z.B. bei den elektromagnetischen Schwingungen ein Hin- und Herpendeln zwischen "elektrischer Energie" und "magnetischer Energie" auf.

Sinusfunktion

Zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung wird im Allgemeinen die Sinusfunktion verwendet. In der Form \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) stellt die Sinusfunktion nur einen Spezialfall dar. Hierbei hat die Schwingung zur Zeit \({t = 0}\) die Auslenkung (Elongation) null und beginnt in die positive \(y\)-Richtung zu schwingen.

Will man die harmonische Schwingung allgemeiner beschreiben, so wählt man die Funktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi_0 } \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t + \varphi_0 } \right)\).

Bezeichnungen

\(\hat y\): Amplitude (maximale Auslenkung); \(\left[ {\hat y} \right] = 1\rm{m}\)   \(T\): Schwingungsdauer; \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\)
\(\omega \): Kreisfrequenz; \({\left[ \omega  \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}\)   \(\varphi_0 \): Phasenverschiebung
\(f\): Frequenz; \({\left[ f \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Hz}}}\)      

Wichtige Beziehungen

\[f = \frac{1}{T}\] \[\omega = 2\pi \cdot f\]

Im Weiteren soll nun gezeigt werden, wie sich der Graph der Grundfunktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) mit \(\hat y = 1{,}0\,\rm{cm}\), \(T = 6{,}3\,{\rm{s}}\) und \({\varphi_0  = 0}\) verändert, wenn man die Amplitude \({\hat y}\), die Kreisfrequenz \(\omega \) oder die Phasenverschiebung \(\varphi_0 \) variiert.

Änderung der Amplitude

Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Amplitude
ŷ
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
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1 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Amplitude

Änderung der Kreisfrequenz

Der Graph der Grundfunktion wird in \(x\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Kreisfrequenz
ω
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
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2 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Kreisfrequenz

Änderung der Phasenverschiebung

Der Graph der Grundfunktion wird in \(x\)-Richtung nach rechts oder links verschoben.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Phasenverschiebung
φo
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
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3 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von der Phasenverschiebung

Änderung von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung

Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht und in \(x\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht und nach rechts oder links verschoben.

Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)
Amplitude
ŷ
Kreisfrequenz
ω
Phasenverschiebung
φo
Spezieller Funktionsterm
y(t) = sin(t)
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4 Abhängigkeit des Terms und des Graphen der Sinusfunktion von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung

Anmerkung: Die letzten beiden Animationen zeigen insbesondere, dass \(\sin \left( {\omega  \cdot t + \frac{1}{2}\pi } \right)\) gleich \(\cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) ist

Aufgaben

a) Skizziere die Funktion \(y(t) = 3\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{{0,5}}{s} \cdot t - \frac{\pi }{2}} \right)\)

b) Skizziere die Funktion \(y(t) = -2\thinspace {\rm{cm}} \cdot \sin \left( {\frac{2}{s} \cdot t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

c) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

d) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

Kraftgesetz aufgrund der Schwingungsgleichung: \[F = - m \cdot {\omega ^2} \cdot y \quad(1)\]Kraftgesetz aufgrund der Anordnung: \[{F_{{\rm{rück}}}} =-D \cdot y \quad(2)\]Vergleich von \((2)\) mit \((1)\) liefert \[D = m \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow \frac{D}{m} = {\omega ^2} \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{D}{m}} \] woraus sich wegen \(T = \frac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\) ergibt \[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{D}} \]

Das Wichtigste auf einen Blick

Ein Fadenpendel mit einem Faden der Länge \(l\) schwingt bei kleinen Auslenkungen harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{g}}{l}} \cdot t} \right)\).

Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \); sie ist insbesondere unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.

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1 Schwingung eines Fadenpendels und einige der zur Beschreibung wichtigen Größen

Ein Fadenpendel besteht im Allgemeinen aus einem Pendelkörper, der mit einem Faden an einer Befestigung aufgehängt ist. Der Faden wird so dünn gewählt, dass seine Masse vernachlässigt werden kann. Auch wollen wir davon ausgehen, dass sich das Fadendel ungedämpft, d.h. ohne Reibungsverluste bewegen kann. Der Pendelkörper wird anfangs ein kleines Stück (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels) aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs.

Durch Wählen der Checkbox "Größen" kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.

Im Folgenden werden wir die Bewegung des Fadenpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben.

1. Einführung eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine gebogenes Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt im Ruhepunkt des Fadenpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). Damit gilt \(a = \ddot x(t)\;(1)\).

2. Bestimmung der beschleunigenden Kraft \(F\)

Auf den Pendelkörper wirken zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Kraft des Fadens. Der Faden kompensiert dabei die Komponente der Gewichtskraft, die orthogonal zur der Bahn des Pendelkörpers steht. Die andere Komponente der Gewichtskraft, die tangential zur Bahn des Pendelkörpers steht, beschleunigt den Pendelkörper in Bahnrichtung; diese Komponente bezeichnen wir mit \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels).

Wie in der Animation zu erkennen ist, ist die Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) entgegengesetzt gerichtet zur Auslenkung \(x\). Wir erhalten also \(F=-F_{\rm{G,tan}}\;(2)\).

3. Bestimmung der beschleunigten Masse \(m\)

Da die Masse des Fadens vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers (vgl. Animation). Sie bleibt während der Schwingung konstant.

4. Ausfüllen der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot x(t) = \frac{-F_{\rm{G,tan}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Schritt 1

fadenpendel-ungedaempft-bild-1.svg
Abb.
2
Detailskizze zur Bestimmung der Tangentialkomponente der Gewichtskraft

In der Detailskizze in Abb. 2 kann man folgendes erkennen:

Der Winkel mit der Weite \(\varphi\) zwischen der Senkrechten (gestrichelt) und dem Faden findet sich in dem kleinen Dreieck, gebildet aus Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\), Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) und gestrichelter Strecke wieder.

Dieses Dreieck ist rechtwinklig mit der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) als Hypotenuse und der Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) als Gegenkathete des Winkels. Damit ergibt sich nach dem Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck\[\sin \left( \varphi  \right) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{G,tan}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]und mit \({F_{\rm{G}}}=m \cdot g\)\[ F_{\rm{G,tan}}= m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi  \right) \quad (3)\]

Schritt 2

Für kleine Winkel ist die im Bogenmaß gemessene Winkelweite \(\varphi\) fast gleich mit dem Sinus \(\sin \left( \varphi  \right)\) des Winkels. Es gilt also\[\sin \left( \varphi  \right) \approx \varphi \quad (4)\]

Schritt 3

fadenpendel-ungedaempft-bild-2.svg
Abb.
3
Detailskizze zur Umrechnung zwischen Winkelweite und Koordinate

Die Detailskizze in Abb. 3 zeigt den aus der Senkrechten (gestrichelt), dem Faden der Länge \(l\) und der \(x\)-Koordinate gebildeten Kreisausschnitt. Für diesen Kreisausschnitt gilt (im Bogenmaß) das Verhältnis\[\frac{{{\rm{Teilwinkel}}}}{{{\rm{Vollwinkel}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{Kreisbogen}}}}{{{\rm{Kreisumfang}}}} \Leftrightarrow \frac{\varphi }{{2 \cdot \pi }} = \frac{x}{{2 \cdot \pi \cdot l}} \Leftrightarrow \varphi = \frac{x}{l}\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[\varphi = \frac{x(t)}{l} \quad(5)\]

 

Setzen wir \((3)\), \((4)\) und \((5)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{{ - {F_{{\rm{G}},{\rm{tan}}}}}}{m}\underbrace  = _{(3)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}{m}\underbrace  = _{(4)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \varphi }}{m}\underbrace  = _{(5)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \frac{{x(t)}}{l}}}{m} =  - \frac{g}{l} \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \frac{g}{l} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Diese Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Fadenpendels mit den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\).

5. Lösen der Bewegungsgleichung

Genau wie die Bewegungsgleichung eines Federpendels wird Gleichung \((***)\) allgemein durch eine Funktion der Form\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]gelöst. Bestimmen wir die 2. Ableitung \(\ddot x(t) = - \hat x \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) und setzen \(x(t)\) und \(\ddot x(t)\) in Gleichung \((***)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat x \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{{g}}{l} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega ^2} - \frac{{g}}{l}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega ^2} - \frac{{g}}{l} = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{g}}{l}} }\]Weiter ergibt sich\[x(0) = {x_0} \Rightarrow \hat x \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {x_0} \Rightarrow \hat x = {x_0}\]und mit \(v(t)=\dot x(t) = - \hat x \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\)\[v(0)=\dot x(0) = - \hat x \cdot \omega \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]Damit wird die Bewegung des Fadenpendels beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{g}}{l}} \cdot t} \right)\]Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{g}}{l}} }} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \]

Bewegung des ungedämpften Fadenpendels

Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\) wird die Bewegung eines ungedämpften Fadenpendels mit einem Faden der Länge \(l\) für kleine Auslenkungen beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{g}}{l}}  \cdot t} \right)\]Das Fadenpendel schwingt somit für kleine Auslenkungen harmonisch.

Die Schwingungsdauer ist insbesondere unabhängig von der Masse des Pendelkörpers und beträgt\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \]

Hinweise

Häufig wird fälschlicherweise behauptet, dass die beschleunigende Kraft beim Fadenpendel die vektorielle Summe aus Gewichtskraft und Fadenkraft sei. Hierbei wird übersehen, dass der Faden nicht nur die Komponete der Gewichtskraft orthogonal zur Bahn aufbringen muss, sondern zusätzlich noch die Zentripetalkraft zum Erzwingen der Kreisbahn. Somit ist z.B. beim Durchgang durch die Ruhelage wegen der (dort maximal) aufzubringenden Zentripetalkraft der Betrag der Fadenkraft wesentlich größer als der Betrag der Gewichtskraft. Die vektorielle Summe aus Fadenkraft und Gewichtskraft würde nicht verschwinden, sondern zum Drehpunkt hin nach oben zeigen. Dies lässt sich auch experimentell nachweisen.

Nur für kleine Winkel kann der Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß ersetzt werden. Das Fadenpendel schwingt daher nur für kleine Auslenkwinkel harmonisch.

1 Proportionalität der Rückstellkraft eines Feder-Schwere-Pendels zu dessen Auslenkung

Man unterliegt leicht der Vorstellung, dass ein vertikal aufgehängtes Federpendel (Feder-Schwere-Pendel) wegen der zusätzlichen Gewichtskraft auf den Pendelkörper anders schwingt als ein baugleiches, aber horizontal schwingendes Federpendel. Dass diese Vorstellung falsch ist wollen wir hier kurz zeigen (vgl. Animation in Abb. 1).

Wird an die Feder der Körper mit der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) gehängt, so gilt für den Gleichgewichtsfall \[\left| F_{\rm{G}} \right| = \left| {{F_{\rm{F}}}} \right| \Rightarrow m \cdot g = D \cdot {s_0}\quad (1)\]Wird der Körper zur Schwingung frei gegeben, so gilt in jedem Punkt \[{F_{\rm{res}}} =  - D \cdot \left( {{s_0} + y} \right) + m \cdot g\]Hinweis: Kräfte, die in die positive y-Richtung zeigen werden positiv gezählt. Kräfte, die in negative y-Richtung zeigen werden negativ gezählt.

Multipliziert man die Klammer aus, so ergibt sich \[{F_{\rm{res}}} - D \cdot {s_0} - D \cdot y + m \cdot g\quad (2)\]Ersetzt man mit Hilfe von Gleichung \((1)\) in Gleichung \((2)\) den Ausdruck \(m \cdot g\), so folgt \[{F_{\rm{res}}} = - D \cdot {s_0} - D \cdot y + D \cdot {s_0}\]Hieraus ergibt sich das sogenannte lineare Kraftgesetz (Proportionalität zwischen resultierender Kraft und Auslenkung)\[{F_{{\rm{res}}}} = - D \cdot y\]

2 Rückstellkraft bei einem Feder-Schwere-Pendel als resultierende Kraft aus Federkraft und Gewichtskraft

Die Animation in Abb. 2 zeigt nun noch einmal explizit, dass die Rückstellkraft bei einem Feder-Schwere-Pendel proportional zur Auslenkung ist.

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1 Ungedämpftes Federpendel, bestehend aus einer Feder mit der Federkonstanten \(D\) und einem Pendelkörper der Masse \(m\), der sich reibungsfrei bewegen kann

Ein Körper mit der Masse \(m\) befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante \(D\); Körper und Feder können sich nur in horizontaler Richtung bewegen. Da es sich somit um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob die Größen in die positive oder die negative Ortsrichtung orientiert sind.

Weiter wollen wir die Reibungskräfte auf Körper und Feder vernachlässigen. Eine solche Anordnung bezeichnet man kurz als (horizontales) ungedämpftes Federpendel.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach rechts gerichtete \(x\)-Ortsache mit dem Ursprung in der Ruhelage des Körpers. Lenkt man den Körper aus der Ruhelage bei \(x=0\) auf eine Position \(x(0\,\rm{s}) = {x_0} > 0\) aus, hält ihn dort fest (\(v(0\,\rm{s}) = 0\)) und lässt ihn dann los, so führt er eine periodische Bewegung aus (vgl. Abb. 1).

Wegen der obigen Annahmen wirkt auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung nur eine einzige Kraft:

Die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{F}}\) der Feder. Diese berechnet sich aus der Federkonstanten \(D\) und der momentanen Auslenkung \(x\) durch \(D \cdot x\). Da die Federkraft entgegen der Auslenkung gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{F}} = - D \cdot x\).

Wie wir im Theorieartikel (vgl. Linkliste am Ende dieses Artikels) zeigen, wird das zeitliche Verhalten aller relevanter Größen durch sogenannte trigonometrische Funktionen beschrieben. Es ergibt sich\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat x = {x_0}\;;\;{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]\[{F_{\rm{F}}}(t) =  - \hat F \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) \;\;{\rm{mit}}\;\;\hat F = D \cdot {x_0}\]\[v(t) =  - \hat v \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat v = {x_0} \cdot {\omega _0} = {x_0} \cdot \sqrt {\frac{D}{m}} \]\[a(t) =  - \hat a \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat a = {x_0} \cdot {\omega _0}^2 = {x_0} \cdot \frac{D}{m}\]\[{E_{{\rm{kin}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]\[{E_{{\rm{pot}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]

Die folgende Simulation zeigt dir die zugehörigen Graphen. Du kannst zusätzlich die Größen \(D\), \(m\) und \(x_0\) in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.

D
m
xo
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2 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Federkraft, kinetische und potentielle Energie eines ungedämpften Federpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern
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1 Gedämpftes Federpendel, bestehend aus einer Feder mit der Federkonstanten \(D\) und einem Pendelkörper der Masse \(m\), der sich in einem viskosen Medium z.B. Wasser bewegen kann

Ein Körper mit der Masse \(m\) befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante \(D\); Körper und Feder können sich nur in horizontaler Richtung bewegen. Da es sich somit um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob die Größen in die positive oder die negative Ortsrichtung orientiert sind.

Das gesamte System soll sich in einem viskosen Medium z.B. Wasser befinden, so dass auf den Körper (und die Feder) viskose Reibungskräfte wirken. Eine solche Anordnung bezeichnet man kurz als (horizontales) gedämpftes Federpendel.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach rechts gerichtete \(x\)-Ortsachse mit dem Ursprung in der Ruhelage des Körpers. Lenkt man den Körper aus der Ruhelage bei \(x=0\) auf eine Position \(x=x_0>0\) aus, hält ihn dort fest (\(v=0\)) und lässt ihn dann los, so führt er eine periodische Bewegung aus (vgl. Abb. 1).

Wegen der obigen Annahmen wirken auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung zwei Kräfte:

Die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{F}}\) der Feder. Diese berechnet sich aus der Federkonstanten \(D\) und der momentanen Auslenkung \(x\) durch \(D \cdot x\). Da die Federkraft entgegen der Auslenkung gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{F}} = - D \cdot x\).

Die (viskose) Reibungskraft \(F_{\rm{VR}}\) zwischen Medium und Körper. Diese berechnet sich aus der Reibungskonstanten \(k\) und der momentanen Geschwindigkeit \(v\) durch \(k \cdot v\). Da die viskose Reibung entgegen der Geschwindigkeit gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{VR}} = - k \cdot v\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{F}}}+{F_{\rm{VR}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2.Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{F}}} = {F_{\rm{F}}}(x(t)) = - D \cdot x(t)\) (HOOKEsches Gesetz) sowie \(v = \dot x(t)\) (Definition des Geschwindigkeit als 1.Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{VR}}} = {F_{\rm{VR}}}(v(t)) = - k \cdot v(t) = -k \cdot \dot x(t)\) (Gesetz der viskosen Reibung) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - D \cdot x(t) - k \cdot \dot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Massen \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot \dot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Dies ist die homogene Differentialgleichung 2.Ordnung für die Elongation \(x(t)\) des Körpers während des Schwingungsvorgangs mit den beiden Anfangsbedingungen \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0\,\rm{s}) = 0\).

In den meisten Fällen (schwache Dämpfung, Schwingfall: \(\frac{D}{m} > \delta^2\)) ist die Lösung der Differentialgleichung \((*)\) mit den beiden Anfangsbedingungen \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0\,\rm{s}) = 0\) die Funktion \[x(t) = \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\] mit \(\hat x = x_0\), \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und \({\omega} = \sqrt {\frac{D}{m} - \delta^2} \).

1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall): \(\frac{D}{m} > \delta^2\)