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Aufgabe

Schwimmer an der Angel

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der Schwimmer an einer Angel schwebt im Wasser (Gewichts- und Auftriebskraft heben sich auf). Die Masse des Schwimmers beträgt \(m=4{,}0\,\rm{g}\), seine Querschnittsfläche \(A=0{,}80\,\rm{cm^2}\) und seine Länge \(l=10\,\rm{cm}\), von der \(5{,}0\,\rm{cm}\) eingetaucht sind. Die Dichte von Wasser ist \(\rho_{\rm{W}}=1{,}0\cdot 10^3\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\). Ein Fisch zieht am Schwimmer \(3{,}0\,\rm{cm}\) senkrecht nach unten und lässt dann aber wieder los.

a)Zeige, dass der Schwimmer nach dem Loslassen (bei Vernachlässigung der Reibung) harmonisch schwingt.

b)Berechne die Schwingungsdauer der Schwingung.

c)Berechne, mit welcher Geschwindigkeit sich der Schwimmer durch die Gleichgewichtslage bewegt.

d)Gib an, ob sich die Schwingungsdauer ändert, wenn der Schwimmer nur \(1{,}0\,\rm{cm}\) nach unten gezogen wird.

Begründe deine Entscheidung.

e)Erläutere, ob die Schwingung auch noch harmonisch wäre, wenn der Fisch den Schwimmer \(15\,\rm{cm}\) nach unten gezogen hätte.

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a)Bei der Auslenkung um die Strecke \(s\) aus der Ruhelage erfährt der Schwimmer eine zusätzliche Auftriebskraft. Nach dem Archimedischen Prinzip gilt\[F =  - {m_{\rm{W}}} \cdot g =  - A \cdot s \cdot {\rho _{\rm{W}}} \cdot g\]d.h. \(F \sim s\) , d.h. es liegt ein lineares Kraftgesetz mit der Richtgröße \(D = A \cdot {\rho _{\rm{W}}} \cdot g\) vor, d.h. es handelt sich um eine harmonische Schwingung.

b)Berechnung der Schwingungsdauer:\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}  = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{{A \cdot {\rho _{\rm{W}}} \cdot g}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{0{,}0040\,{\rm{kg}}}}{{0{,}80 \cdot {{10}^{-4}}\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot 1{,}0 \cdot {{10}^3}\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}}}  = 0{,}45\,{\rm{s}}\]

c)Berechnung der maximalen Geschwindigkeit:\[\hat v = \omega  \cdot \hat x = \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot \hat x \Rightarrow \hat v = \frac{{2 \cdot \pi }}{{0{,}45\,{\rm{s}}}} \cdot 0{,}030\,{\rm{m}} = 0{,}42\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

d)Die Schwingungsdauer ändert sich nicht, da sie bei der harmonischen Schwingung nicht von der Amplitude abhängt.

e)Die Schwingung ist nicht mehr harmonisch. Ist der Schwimmer ganz ins Wasser eingetaucht, so bleibt die Auftriebskraft konstant, bis er wieder auftaucht. Es gilt also kein lineares Kraftgesetz, also keine harmonische Schwingung.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen