Abb. 1
Bewegung eines Kettenpendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind
Ein Kettenpendel besteht im Allgemeinen aus einem Stück Kette, dessen beiden Enden mit einem Faden verbunden sind. Der Faden wird über eine drehbare Rolle gelegt, die Kette anfangs aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs.
In dieser Aufgabe sollst du schrittweise die Bewegung des Kettenpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\) beschreiben.
a)
Durch Wählen der Checkbox "Größen" in der Animation kannst du dir die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.
Erläutere, warum sich aufgrund des gewählten Koordinatensystems für die Beschleunigung \(a\) in Gleichung \((*)\) \(a = \ddot y(t)\;(1)\) ergibt.
Drücke in Gleichung \((*)\) die beschleunigende Kraft \(F\) und die beschleunigte Masse \(m\) durch Größen aus, die in der Animation dargestellt sind. Die entstehende Gleichung sei Gleichung \((**)\).
b)
Die Kette selbst können wir durch einen Zylinder mit einer Querschnittsfläche der Größe \(A\) gut annähern. So lassen sich die Größen \(m_{\rm{ges}}\) und \(m_{\rm{ü}}\) durch die Dichte \(\rho\) des Materials der Kette, die Größe \(A\) der Querschnittsfläche der Kette, die Länge \(L\) der gesamten Kette und die Länge \(2 \cdot y(t)\) des "überstehenden" Kettenstücks ausdrücken.
Entwickle Terme für die Größen \(m_{\rm{ges}}\) und \(m_{\rm{ü}}\).
Ersetze in Gleichung \((**)\) die Größen \(m_{\rm{ges}}\) und \(m_{\rm{ü}}\) durch diese Terme.
Vereinfache die neue entstehende Gleichung. Die entstehende Gleichung sei Gleichung \((***)\)
c)
Begründe, dass das Kettenpendel harmonisch schwingt.
d)
Gleichung \((***)\) ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung, die noch zwei Anfangsbedingungen zu ihrer kompletten Lösung erfordert.
Gib diese beiden Anfangsbedingungen an.
e)
Weise rechnerisch nach, dass die Zeit-Ort-Funktion \(y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) mit geeignet gewähltem \(\omega\) die Gleichung \((***)\) erfüllt.
Gib den geeigneten Term für \(\omega\) an.
Bestimme den Wert \(\hat y\) so, dass diese Zeit-Ort-Funktion auch die beiden Anfangsbedingungen erfüllt.
f)
Die Kette eines Kettenpendels habe die Länge \(50\,\rm{cm}\) und werde zu Beginn um \(10\,\rm{cm}\) aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt.
Berechne die Schwingungsdauer dieses Kettenpendels.
Berechne die maximale Geschwindigkeit der schwingenden Kette.
In der Animation ist eine vertikal gerichtete Koordinatenachse (\(y\)-Achse) gezeigt, deren Nullpunkt in Höhe der Gleichgewichtslage der Kettenenden liegt und die nach oben orientiert ist. Damit gilt für die Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit \(a = \ddot y(t)\;(1)\).
Da die gesamte Kette schwingt, ist die beschleunigte Masse die Masse \(m_{\rm{ges}}\) dieser gesamten Kette (vgl. Animation). Sie bleibt während der Schwingung konstant. Damit gilt \(m = m_{\rm{ges}}\;(2)\).
Auf die gesamte Kette wirkt die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) des Kettenstücks, die sich jeweils oberhalb des Kettenendes auf der andern Seite der Anordnung befindet (vgl. punktierte Linien in der Animation). Wir bezeichnen die Masse dieses Kettenstücks mit \(m_{\rm{ü}}\), der Betrag der Gewichtskraft ist damit \(\left | F_{\rm{G}} \right | = m_{\rm{ü}} \cdot g\) (vgl. Animation). Wie in der Animation zu erkennen ist, ist die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) entgegengesetzt gerichtet zur Auslenkung \(y\). Wir erhalten also \(F=F_{\rm{G}} = -m_{\rm{ü}} \cdot g\;(3)\).
Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\), (\(2)\) und (\(3)\)\[\ddot y(t) = \frac{-m_{\rm{ü}} \cdot g}{m_{\rm{ges}}}\quad (**)\]
b)
Die gesamte Kette soll die Länge \(L\) haben. Dann ist die Masse der gesamten Kette\[m_{{\rm{ges}}} = \rho \cdot A \cdot L \quad (4)\]Das Kettenstück, das sich zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\) oberhalb des Kettenendes auf der andern Seite der Anordnung befindet (vgl. punktierte Linien in der Animation), hat die Länge \(2 \cdot y(t)\). Dann ist die Masse dieses Kettenstücks\[m_{\rm{ü}} = \rho \cdot A \cdot 2 \cdot y(t) \quad (5)\] Setzen wir \((4)\) und \((5)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}\ddot y(t) = \frac{{\rho \cdot A \cdot 2 \cdot y(t) \cdot g}}{{\rho \cdot A \cdot L}} &=& \frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot y(t)\\\ddot y(t) - \frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot y(t) &=& 0\quad (***)\end{eqnarray}\]Diese letzte Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Flüssigkeitspendels.
c)
Für die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) als rücktreibende Kraft gilt wegen der Gleichungen \((3)\) und \((5)\)\[F_{\rm{G}} = -m_{\rm{ü}} \cdot g = - \rho \cdot A \cdot 2 \cdot y(t) \cdot g = - \rho \cdot A \cdot 2 \cdot g \cdot y(t)\]Hieran sieht man, dass die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{G}}\) entgegengesetzt gerichtet und ihr Betrag proportional zur Auslenkung \(y(t)\) ist. Das bedeutet aber genau, dass die Schwingung harmonisch ist.
d)
Die Anfangsbedingungen lauten \(y(0) = {y_0}\) und \(\dot y(0) = 0\).
e)
Bestimmen wir die 2. Ableitung \(\ddot y(t) = - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) der Zeit-Ort-Funktion und setzen \(y(t)\) und \(\ddot y(t)\) in Gleichung \((***)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) - \frac{{2 \cdot g}}{L} \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega ^2} - \frac{{2 \cdot g}}{L}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega ^2} - \frac{{2 \cdot g}}{L} = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}} }\]Weiter ergibt sich\[y(0) = {y_0} \Rightarrow \hat y \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {y_0} \Rightarrow \hat y = {y_0}\]und mit \(\dot y(t) = - \hat y \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\)\[\dot y(0) = - \hat y \cdot \omega \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]Damit wird die Bewegung des Kettenpendels beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}} \cdot t} \right)\]
f)
Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}} }} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{L}{{2 \cdot g}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{{0{,}50\,{\rm{m}}}}{{2 \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} = 1{,}0\,{\rm{s}}\]Für die maximale Geschwindigkeit \(\hat v\) eines harmonischen Oszillators gilt wegen\[\dot y(t) = - \underbrace {\hat y \cdot \omega }_{\hat v} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]und mit \(\hat y = {y_0} = 0{,}10\,{\rm{m}}\) sowie \(\omega = \sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{L}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{2 \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{0{,}50\,{\rm{m}}}}} = 6{,}3\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\)\[\hat v = \hat y \cdot \omega \Rightarrow \hat v = 0{,}10\,{\rm{m}} \cdot 6{,}3\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 0{,}63\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
